鰲江四中數(shù)學(xué)小論文

1、三角形中的奧秘探求新知，感受三角形魅力鰲江第四中學(xué)：國摘要：本文通過基本的圖形一一三角形，并添加各種不同的輔助線，從而得到不同的三 角形，通過對其三角形的面積及線段之間的巧妙結(jié)合，即借助圖形的直觀性來證 明許多定理，將問題簡單化，從抽象變具體。關(guān)鍵詞：三角形共邊比例定理蝴蝶定理塞瓦定理一、問題的引出數(shù)學(xué)無處不在，它存在于我們生活的每一個角落，從開花到結(jié)果再到落葉，無不蘊 涵著無窮的數(shù)學(xué)奧秘，我們在數(shù)學(xué)的海洋中遨游，徜徉，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)中無限的美好時光其實每個人都在生活中有看到了許許多多的圖形，如：自行車的支架就是利用了三 角形的穩(wěn)定性，那么三角形與它兩邊，及不同三角形之間又有什么聯(lián)系呢？這個問題，

2、引起了我的思考，并由此展開對一條列相關(guān)的問題進(jìn)行了深入的探討與研 究。二、對不同三角形之間的初步探求我們常常看的柵欄，基本呈現(xiàn)出如圖1-1的圖形，我們就可以借助此來進(jìn)行研究。 如圖1-1 已知AB/CD ,我們很容易得出 AOBs/Xdoc從而得出AO 二 BO 二 AB 二 C aob OD - OC - CD - C cod得出S aob /AO、？，B0、2 .AB、?=（一）=（一）=（一）S COD OD OC CDCDCD圖1-2圖圖1-2如果我們將AC, BD連結(jié)就會得到圖1-2過B過B作BP AC于E,過D彳DQAC于Q,則有 Rt BPOsRt DQO則有空DQ則有空DQBO

3、OD于是巨巴S ADCBODO0C圖于是巨巴S ADCBODO0C圖1-4圖1-51 八1 AC.BP BP-AC.DQ DQ2我們可以將圖1-2進(jìn)行變換得到一些基本圖形如圖1-3,圖1-4,圖1-5所示,同理可得_S隹變A adc DO通過借助不同三角形的面積與相應(yīng)邊的關(guān)系，運用基本求三角形面積的方法，及相 似三角形對應(yīng)邊的關(guān)系證明出了共邊比例定理，讓我領(lǐng)略到三角形的簡潔性與直觀性,激發(fā)了我繼續(xù)探究的興趣。BE、AFBF三、由共邊定理引出塞瓦定理CF相交于點P,則由共邊比例定理，有S apc BDS bpc , CD以上三式相乘BE、AFBF三、由共邊定理引出塞瓦定理CF相交于點P,則由共邊

4、比例定理，有S apc BDS bpc , CD以上三式相乘AF BD CEFB CD EAS APB CE S BPCS apc AEAPB S APB SS APBS APC S APC S APBBPC =反之，若有BD CE- 1記竺，_BD,CE設(shè)CF與BE交于P, AD與BE交于P,由共邊比例定理，F(xiàn)B DC EA上 PE S CPE S CPE S CPAPB S CPB S CPA S CPBCE AF CE AFCA FB CE EA FB 1P E S CPE S APE S APCP B S CPB S APB S APB_ AE DC AE DC 1AC BD AE E

5、C BD (1), ,.一1 PE PE 一一 . 一 ,由已知有1,故一于是 ，可見 與 重合，即AD , BE, CF三線PB P B共點。當(dāng)然這只是證明塞瓦定理的一種方法。這種證明方法讓我充分感受到了三角形的變化性及解決數(shù)學(xué)問題的直觀性與準(zhǔn)確性。四、三角函數(shù)與蝴蝶定理我們已經(jīng)學(xué)過了三角函數(shù)，其實我們不難得出SA = -absinCo因此我們可以通過此2與共邊定理來證出蝴蝶定理。如圖1-7 AB為圓中的一條線，過 AB中點P任作弦EF, GH ,設(shè)EH , GF分別交AB 于點AB 于點 C, D, WJ CP=DP證明由AP=BP知，只須證明股 型即可 CP PD證明如下：AC S AE

6、HAE AH sin EACP S EPHEP PH sin EPBDGBBFsinGBFPDGPPFsinGPFEPHGPF,一EH由于sin EAH 2Rsin GBF 2R此處R為圓之半徑代入后發(fā)現(xiàn)只需證AE AH EH GB BF GFEP PH PG PF顯然這是成立的，因為由四點共圓、相似或相交弦定理知AE AH EH AE GB EPEP PH GF EP PB PG二 AE GB一 PA PG_ BF GBPF PG其實自蝴蝶定理自問世以來，有多種證法，這種證明方法只是對以前學(xué)過的知識的 應(yīng)用，這種方法讓我了解到了有關(guān)三角形的一些的定理的聯(lián)系。當(dāng)然，三角形不僅僅只有以上這幾個定理， 還有許許多多的定理等你證明與探究， 數(shù) 學(xué)更是一個寶庫，只要你開采一點，就會得到一點，多多思考，多多探究，讓自己探到 更大更多的金礦，華羅庚曾經(jīng)說過“學(xué)習(xí)中要敢于減法，就是減去前人已經(jīng)解決的部分， 看看還有哪些問題沒解決，需要我們?nèi)ヌ骄拷鉀Q數(shù)學(xué)是思維的體操，它是一種精神，一種理性的精神，正是這種精神，激發(fā)促進(jìn)， 鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試