專題15 幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-2021年中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)（教師版含解析）

1、幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)鞏固練習(xí)(提優(yōu))1.如圖，P是銳角ABC所在平面上一點(diǎn)，如果APBBPCCPA120，則點(diǎn)P就叫做ABC費(fèi)馬點(diǎn)。(1)當(dāng)ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離為 ；(2)若點(diǎn)P是ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，ABC60，PA2，PC3，則PB的值為 ；(3)如圖2，在銳角BC外側(cè)作等邊ACB，連接BB.求證：BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P.【解答】(1)；(2)；(3)見解析【解析】(1)延長(zhǎng)AP，交BC于D，如圖所示：ABACBC，APBBPCCPA120，P為三角形的內(nèi)心，ADBC，BDCD2，PBD30，；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC

2、，又APBBPC120，ABPBCP，即；(3)證明：在BB上取點(diǎn)P，使BPC120，連接AP，再在PB上截取PEPC，連接CE，如圖所示：BPC120，EPC60，PCE為正三角形PCCE，PCE60，CEB120ACB為正三角形，ACBC，ACB60，PCAACEACEECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P.2.如圖1，P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且APBBPCCPA120，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn)：(1)若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P (填是或不是)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；(2)如果點(diǎn)P為

3、銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且ABC60，求證：ABPBCP；(3)已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，如圖2，求CPD的度數(shù)；求證：P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn).【解答】(1)是；(2)見解析；(3)CPD60，見解析【解析】(1)延長(zhǎng)AP與BC交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)M，如圖所示：ABBC，BM是AC的中線，MB平分ABC，同理：AN平分BAC，PC平分BCA，ABC為等邊三角形，ABP30，BAP30APB120同理：APC120，BPC120，P是ABC的費(fèi)馬點(diǎn)；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC

4、120，ABPBCP；(3)如圖所示，ABE與ACD都為等邊三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在ACE與ABD中，ACEABD(SAS)，12，34，CPD6560；證明：ADFCFP，AFPFDFCF，AFPCFD，AFPCDFAPFACD60，APCCPDAPF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn).3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D， 使CD，過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過

5、B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式； (3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短【解答】(1)；(2)；(3)【解析】(1)，設(shè)DE與軸交于點(diǎn)M，由DEAB可得DMCAOC，又，同理可得EM3，；(2)由(1)可得，由DEAB，EMMD可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F在y軸上，ED與CF互相垂直平分，CDDFFEEC，四邊形CDFE是菱形，且點(diǎn)M為對(duì)稱中心，作直線BM

6、，設(shè)BM與CD、EF分別交于點(diǎn)S、T，如圖所示：易證FTMCSM，F(xiàn)TCS，F(xiàn)ECD，TESD，ECDF，TEECCSSTSDDFFTTS，直線BM將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，由點(diǎn)B(6，0)，點(diǎn)在直線上，直線BM的解析式為；(3)設(shè)點(diǎn)P在直線AG上的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)P在y軸上的運(yùn)動(dòng)速度為2，則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A的時(shí)間為，過點(diǎn)G作GHBM于點(diǎn)H，如圖所示：易證MGHMBO，則，.要使t最小，則GHGA最小，即當(dāng)點(diǎn)G、A、H三點(diǎn)一線時(shí)，t有最小值，確定G點(diǎn)位置的方法：過A點(diǎn)作AHBM于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn)，由OB6，可得OBM60，BAH30，在RtOAG中，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7、或G點(diǎn)的位置為線段OM的靠近O點(diǎn)的三等分點(diǎn)).4.如圖，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到，連接EN.(1)求證：AMBENB；(2)若AMBMCM的值最小，則稱點(diǎn)M為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。若點(diǎn)M為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)AMB、BMC、CMA的度數(shù).【解答】(1)見解析；(2)AMB、BMC、CMA都等于120【解析】(1)證明：ABE為等邊三角形，ABBE，ABE60，而MBN60，ABMEBN，在AMB與ENB中，MBENB(SAS)(2)連接MN，如圖所示：由(1)知，AMEN，MBN60，BMBN，BM

8、N為等邊三角形，BMMN，AMBMCMENMNCM，當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AMBMCM的值最小，此時(shí)，BMC180NMB120，AMBENB180BNM120，AMC360BMCAMB120.5.已知銳角ABC，ACB60，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請(qǐng)找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究SABC與SABD的和，SBCE與SACF的和是否相等.【解答】SABCSABDSBCESACF【解析】證明：過點(diǎn)A作AMFC交BC于點(diǎn)M，連接DM、EM，如圖所示：ACB60，CAF60，ACBCAF，AFMC，四邊形AMCF是平行四邊形，又FAFC，四邊形AMCF是菱形，ACCMAM，且MAC60，在BAC與EMC中，CACM，ACBMCE，CBCE，BACEMC，DAMDABBAM60BAM，BACMACBAM60BAM，BACDAM，在ABC和ADM中，ABAD，BACDAM，ACAM，ABCADM(SAS)，故ABCMECADM，在B上截取CM，使CMCA，再連接AM、DM、EM(輔助線這樣做AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡(jiǎn)便)，易證AMC為等邊三角形，在ABC與MEC中，CACM，ACBMCE，CBCE，ABCMEC(SAS)，ABME，BCMEC，