專題15 幾何最值之費馬點鞏固練習（提優(yōu)）-2021年中考數(shù)學幾何專項復習（教師版含解析）

1、幾何最值之費馬點鞏固練習(提優(yōu))1.如圖，P是銳角ABC所在平面上一點，如果APBBPCCPA120，則點P就叫做ABC費馬點。(1)當ABC是邊長為4的等邊三角形時，費馬點P到BC邊的距離為 ；(2)若點P是ABC的費馬點，ABC60，PA2，PC3，則PB的值為 ；(3)如圖2，在銳角BC外側(cè)作等邊ACB，連接BB.求證：BB過ABC的費馬點P.【解答】(1)；(2)；(3)見解析【解析】(1)延長AP，交BC于D，如圖所示：ABACBC，APBBPCCPA120，P為三角形的內(nèi)心，ADBC，BDCD2，PBD30，；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC

2、，又APBBPC120，ABPBCP，即；(3)證明：在BB上取點P，使BPC120，連接AP，再在PB上截取PEPC，連接CE，如圖所示：BPC120，EPC60，PCE為正三角形PCCE，PCE60，CEB120ACB為正三角形，ACBC，ACB60，PCAACEACEECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P為ABC的費馬點，BB過ABC的費馬點P.2.如圖1，P為ABC所在平面上一點，且APBBPCCPA120，則點P叫做ABC的費馬點：(1)若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P (填是或不是)該三角形的費馬點；(2)如果點P為

3、銳角ABC的費馬點，且ABC60，求證：ABPBCP；(3)已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點，如圖2，求CPD的度數(shù)；求證：P點為ABC的費馬點.【解答】(1)是；(2)見解析；(3)CPD60，見解析【解析】(1)延長AP與BC交于點N，延長BP交AC于點M，如圖所示：ABBC，BM是AC的中線，MB平分ABC，同理：AN平分BAC，PC平分BCA，ABC為等邊三角形，ABP30，BAP30APB120同理：APC120，BPC120，P是ABC的費馬點；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC

4、120，ABPBCP；(3)如圖所示，ABE與ACD都為等邊三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在ACE與ABD中，ACEABD(SAS)，12，34，CPD6560；證明：ADFCFP，AFPFDFCF，AFPCFD，AFPCDFAPFACD60，APCCPDAPF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P點為ABC的費馬點.3.如圖，在平面直角坐標系中，ABC三個頂點的坐標分別為，延長AC到點D， 使CD，過點D作DEAB交BC的延長線于點E.(1)求D點的坐標； (2)作C點關于直線DE的對稱點F，分別連結DF、EF，若過

5、B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式； (3)設G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短【解答】(1)；(2)；(3)【解析】(1)，設DE與軸交于點M，由DEAB可得DMCAOC，又，同理可得EM3，；(2)由(1)可得，由DEAB，EMMD可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線，點C關于直線DE的對稱點F在y軸上，ED與CF互相垂直平分，CDDFFEEC，四邊形CDFE是菱形，且點M為對稱中心，作直線BM

6、，設BM與CD、EF分別交于點S、T，如圖所示：易證FTMCSM，F(xiàn)TCS，F(xiàn)ECD，TESD，ECDF，TEECCSSTSDDFFTTS，直線BM將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，由點B(6，0)，點在直線上，直線BM的解析式為；(3)設點P在直線AG上的運動速度為，點P在y軸上的運動速度為2，則點P到達點A的時間為，過點G作GHBM于點H，如圖所示：易證MGHMBO，則，.要使t最小，則GHGA最小，即當點G、A、H三點一線時，t有最小值，確定G點位置的方法：過A點作AHBM于點H，則AH與y軸的交點為所求的G點，由OB6，可得OBM60，BAH30，在RtOAG中，G點的坐標為(

7、或G點的位置為線段OM的靠近O點的三等分點).4.如圖，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到，連接EN.(1)求證：AMBENB；(2)若AMBMCM的值最小，則稱點M為ABC的費馬點。若點M為ABC的費馬點，試求此時AMB、BMC、CMA的度數(shù).【解答】(1)見解析；(2)AMB、BMC、CMA都等于120【解析】(1)證明：ABE為等邊三角形，ABBE，ABE60，而MBN60，ABMEBN，在AMB與ENB中，MBENB(SAS)(2)連接MN，如圖所示：由(1)知，AMEN，MBN60，BMBN，BM

8、N為等邊三角形，BMMN，AMBMCMENMNCM，當E、N、M、C四點共線時，AMBMCM的值最小，此時，BMC180NMB120，AMBENB180BNM120，AMC360BMCAMB120.5.已知銳角ABC，ACB60，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請找出ABC的費馬點，并探究SABC與SABD的和，SBCE與SACF的和是否相等.【解答】SABCSABDSBCESACF【解析】證明：過點A作AMFC交BC于點M，連接DM、EM，如圖所示：ACB60，CAF60，ACBCAF，AFMC，四邊形AMCF是平行四邊形，又FAFC，四邊形AMCF是菱形，ACCMAM，且MAC60，在BAC與EMC中，CACM，ACBMCE，CBCE，BACEMC，DAMDABBAM60BAM，BACMACBAM60BAM，BACDAM，在ABC和ADM中，ABAD，BACDAM，ACAM，ABCADM(SAS)，故ABCMECADM，在B上截取CM，使CMCA，再連接AM、DM、EM(輔助線這樣做AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡便)，易證AMC為等邊三角形，在ABC與MEC中，CACM，ACBMCE，CBCE，ABCMEC(SAS)，ABME，BCMEC，