中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：四邊形四邊關(guān)系問(wèn)題探析

1、四邊形四邊關(guān)系問(wèn)題探析 由于受到思維定勢(shì)的影響，許多同學(xué)一看到求多邊形邊長(zhǎng)的取值范圍的問(wèn)題時(shí)，就想到用三角形的兩邊之和大于第三邊，或三角形的兩邊之差小于第三邊.其實(shí)對(duì)于某些問(wèn)題來(lái)說(shuō)，用“兩點(diǎn)之間，線段最短”更為直接簡(jiǎn)單. 一、問(wèn)題的提出 問(wèn)題1 在一個(gè)四邊形中，已知其中三邊長(zhǎng)為3、5、12，則第四邊的長(zhǎng)度的取值范圍是 . 分析 本題可以將問(wèn)題進(jìn)行如下的轉(zhuǎn)化，如圖1，在四邊形中，已知，求第四邊的長(zhǎng)度的取值范圍.解答 連結(jié)，設(shè)，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，得,.只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖1所示的四邊形.解得.筆者認(rèn)為以上解法缺少理論依據(jù).于是本人對(duì)本題進(jìn)行了研究，提出如下方

2、法求解.另解 如圖2，連結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.得.而在中，有.只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖1所示的四邊形.解得. 但是，筆者想到一個(gè)反例，將四邊形的邊長(zhǎng)進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整，得到一個(gè)不同的結(jié)果. 如圖3，在四邊形，已知，求第四邊的長(zhǎng)度的取值范圍.連結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，得.而在中，有. 只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖3所示的四邊形. 解得. 由此可見，上面的解法不正確. 為了得到本題的正確解答過(guò)程，筆者采用了追本溯源的策略，找到三角形兩邊之和大于第三邊的理論依據(jù)，即兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.為此筆者做了如下解答:

3、解法1,即.解得(如圖4). 在解上面的不等式組時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)下面的一個(gè)重要的結(jié)論:不在同一條直線上的四條線段滿足較小的三條線段之和大于最長(zhǎng)的線段，那么由這四條線段可以構(gòu)成四邊形.解法2 由于不知道最大邊是或是，故有,即.解得(如圖4). 二、對(duì)結(jié)論的拓展 類比三角形的三邊關(guān)系和四邊形的四邊關(guān)系，我們得到下面兩條結(jié)論:不在同一條直線上的條線段滿足較小的條線段之和大于最長(zhǎng)的線段，那么由這條線段可以構(gòu)成邊形. 問(wèn)題2 在一個(gè)邊形中，已知條邊長(zhǎng)為、 ()，則第邊的長(zhǎng)度的取值范圍是 .解 由于不知道最大邊是，或是.,解得: (如圖5). 三、解題體會(huì) 1、數(shù)學(xué)定理、公式等的附加約束條件越多，其適應(yīng)范圍就越窄;反之，數(shù)學(xué)定理、公式等的附加約束條件越少，其適應(yīng)范圍就越寬. 2、得到一個(gè)結(jié)論或一種方法，不論有多