復(fù)數(shù)單元教學(xué)設(shè)計

1、復(fù)數(shù)的概念元教學(xué)設(shè)計安徽省無為第三中學(xué) 王玉 數(shù)系的擴(kuò)和復(fù)數(shù)概念（人教）一、單教學(xué)內(nèi)容，本單元是復(fù)數(shù)內(nèi)容第一單元，是復(fù)數(shù)一章教學(xué)起始課，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)系的 擴(kuò)充及相應(yīng)的運算規(guī)律。本單元主要內(nèi)容是數(shù)系的三次擴(kuò)充過程，復(fù)數(shù)的引入過 程，復(fù)數(shù)概念的知識二、單教學(xué)目標(biāo)知識與能1、了解數(shù)擴(kuò)充的過程及引入復(fù)數(shù)的需要2掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和代數(shù)符號形式復(fù)數(shù)的分類方法及復(fù)數(shù)相等的充要條件 過程與法1、通過數(shù)擴(kuò)充的介紹，讓學(xué)生體會數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)律2、通過具到抽象的過程，讓學(xué)生形成復(fù)數(shù)的一般形式情感態(tài)與價值觀1、體會數(shù)的擴(kuò)充過程中蘊含的創(chuàng)新精神與實踐精神，感受人類理性思維的作用 2、體會類、分類討論、等價轉(zhuǎn)化的

2、數(shù)學(xué)思想方法三、單教學(xué)重點引入復(fù)數(shù)的必要性與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)相等的充要條件四、單教學(xué)難點虛數(shù)單位 i 的引進(jìn)和復(fù)數(shù)的概念五、學(xué)分析學(xué)生在本章之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了推理與證明的內(nèi)容，有了一定的推理與證明能力， 并且對自然數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)及其有關(guān)運算規(guī)律有了較好的認(rèn)識，知識鋪墊較好，有 利于本節(jié)課運用類比思想對實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充。六、教方法及教學(xué)具啟發(fā)引導(dǎo)、類比探究并運用多媒體課件展示相關(guān)知識七、教過程（一）題引入 家都知道，數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是我們生活和科學(xué)技術(shù)時刻離不開的 語言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個與數(shù)有關(guān)的問題，大家看看該怎樣解 決呢？問題 1已知 x+y=3，xy 3，

3、求 x 和 的值生（獨立完成出關(guān)于 x 的一元二次方程后，生可能認(rèn)為無解 師：既然問題是要求出 x y 值，說明確實有這樣的數(shù)存在。該怎么求呢？ 你 又是怎么想的呢？（留一定時間，讓學(xué)生討論）師：事實上在實數(shù)范圍 x 和 y 確實不存在？為什么會這樣呢？假設(shè) 和 是 存 在的，那么就肯定是一些不是實數(shù)的數(shù)，那么，這些數(shù)是什么呢？我們能不能解 決這個問題呢？1正如同學(xué)們所分析的，數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展，實數(shù)集需要擴(kuò)充。這就是本 節(jié)課要研究的內(nèi)容3.3.1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念。設(shè)計意： 現(xiàn)問題，激發(fā)學(xué)生探究意識。（二）顧數(shù)系的擴(kuò)歷程應(yīng)該如何進(jìn)行數(shù)的擴(kuò)充呢？到目前為止，大家已經(jīng)知道，數(shù)系經(jīng)歷了三

4、次 擴(kuò)充，就讓我們通過回憶，從中尋找數(shù)系擴(kuò)充的方法。請大家以四人為一組合作探討下面的問題。問題 2：數(shù)在不斷的發(fā)展，到目前為止，經(jīng)歷了三次擴(kuò)充，（1）回顧數(shù)從自然數(shù)發(fā)展到實數(shù)的三次擴(kuò)充歷程。 ）說明數(shù)集 的關(guān)系 ）分析每一次引入新數(shù)，擴(kuò)大數(shù)系的原因。師：經(jīng)過同學(xué)們的討論，我們知道，數(shù)的這種發(fā)展一方面是生產(chǎn)生活的需要， 另一方面也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。并能有效解決“數(shù)不夠用”的問題。數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系正是通過一些運算建立起來的， 如果沒有運算數(shù)不過是 一些孤立的符號毫無意義， 下來讓我們從運算的角度進(jìn)一步討論數(shù)的擴(kuò)充。問題 3：集中，對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數(shù) 任意

5、兩個數(shù)運算所得的結(jié)果是否仍然屬于這個數(shù)集。 試著分析，引入負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，無理數(shù)對于運算的影響。運加法減法乘法除法乘方開方算數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集是是是是否是是是是是是是否否是是是是是是否否否否通過這個表格，我們看到，新的數(shù)集中，原有的運算律仍然適用， 同時引入 新數(shù)后，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。通過不斷的引入新數(shù)，數(shù)系逐步擴(kuò)大到了實數(shù)系。師：現(xiàn)在，我們再看看以前是怎么解決“數(shù)不夠用”的問題的。2原因 1自然數(shù)（） 計數(shù) 盾原因 規(guī)律1、實際需、運算矛2 、引入新數(shù)解決問 題，運算保持，運算 律不變整數(shù)（Z） 具有相反意義的量 減法在 N 不能完全運算有理數(shù)（Q）測量，分

6、配 除法在 Z 能完全運算實數(shù)（R） 單位正方形對角線長 開平方在 不能完全運算設(shè)計意： 利用已有知識，引導(dǎo)學(xué)生找到探究的途徑和方法，感受類比的思想方 法的作用。（三）比，引入新，將實集擴(kuò)充1、類比數(shù)的擴(kuò)充規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出解決“實數(shù)不夠用”這個問題的辦法 生：引入新數(shù)，使得平方為負(fù)數(shù)師：我們希望引入的數(shù)的平方為負(fù)數(shù)，但是負(fù)數(shù)有無窮多個，我們不可能一下子 引入那么多，只要引入平方為多少就行呢？（引導(dǎo)學(xué)生找到-1，因為任何個負(fù)數(shù)都可以寫成正數(shù)與1 的乘積）2、到目前止，負(fù)數(shù)開偶次方的問題還沒有解決，我們不妨先來研究負(fù)數(shù)開平方的問題，從運算的角度來說，也就是要解決方程在實數(shù)系中無解的問題。像大家說

7、的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數(shù)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾 給這些數(shù)起名叫虛數(shù)，即 虛的數(shù)”與“實數(shù)”相對應(yīng)這是因為最開始研究這 種新數(shù)是在 16 世紀(jì)，而那個時候人們沒能發(fā)現(xiàn)什么事物可以支持這樣的數(shù)。如果引入虛數(shù)，負(fù)數(shù)可以開方了，那么就有意義了。我們希望，引入虛數(shù)后，原來在實數(shù)集中給出的運算規(guī)則仍能適用。例如，在引入虛數(shù)后，我們希望能把表示成的形式。實際上任何一個負(fù)數(shù)的平方根都可以表示成一個實數(shù)與的乘積的形式，因此，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利提出可以把看作虛數(shù)單位。負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)和無理數(shù)引入時，都相應(yīng)的帶來了一種新的記號，那么對于虛數(shù)， 用一種什么樣的記號來表示呢？現(xiàn)在我們規(guī)定：）；（2） 。使用 來表

8、示這個數(shù)，是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉 1777 年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對科學(xué)問題的思索與追求的結(jié)果，從而讓虛3數(shù)有了一個特征性的記號。從此，也就不在使用表示虛數(shù)單位了，而是 了。那么 ，這種表示方法既簡潔又有特點。3、探究復(fù)的一般形式：首先，我們有1）（2）i 與實數(shù)可以做運算、并且運算律不變師：我們不妨把 i 加到實數(shù)集里面成為一個新的集合 A，根 i 的性質(zhì)，我們拿 兩個實數(shù) a 和 b 與 i 任意的做加法、乘法運算，可以得到哪些數(shù)呢？生：說出各種表達(dá)形式（引導(dǎo)學(xué)生觀察得到以上這些數(shù)都可以看成 的形式）師：于是我們得到復(fù)數(shù)的定義：形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù) 數(shù)，

9、其中 叫做復(fù)數(shù)的實部， 叫做復(fù)數(shù)的虛部。用字母 z 表示，其中 a 叫做復(fù)數(shù) 的實部， b 做復(fù)數(shù)的虛部，i 稱為虛數(shù)單位，所有復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集， 記為 C（請生用描述法寫出復(fù)數(shù)集 那么，我們現(xiàn)在就把實數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù) 集了，而負(fù)數(shù)也就可以開平方了，至此，我們有 N， ，R， 。師給出幾個簡單復(fù)數(shù)形式的判斷并指出它的實部和虛部各是什么？總結(jié)：實部和虛部都是實數(shù)；通常把一個復(fù)數(shù)化簡到形式 才可以進(jìn) 行判斷。4、復(fù)數(shù)的用：復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)及其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，復(fù) 數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)。設(shè)計意：過數(shù)學(xué)史介紹和數(shù)系擴(kuò)充過程教學(xué)，

10、以展示知識的形成過程，解 決學(xué)生知其所以然的問題，讓學(xué)生學(xué)到探究問題的思路，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)， 形成學(xué)生的研究技能，達(dá)到數(shù)學(xué)文化的教育功能。（四）數(shù)的分類師然實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集么復(fù)數(shù) 在什么條件下退化為實數(shù)呢？ （引出復(fù)數(shù)的分類）例 1 實數(shù) 分別取什么值時，復(fù)數(shù) zm+1(m-1)i 是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛 數(shù)？分析：因為 m，所以 ， 都是實數(shù)，由復(fù)數(shù) a 是實、虛數(shù)、純 虛數(shù)與零的條件可以確定實數(shù) m 的值.總結(jié)1）前提是 m 為實數(shù)，否則必須化成 的形式（2 實數(shù)與虛數(shù)組成了復(fù)數(shù)那么這種形式什么時候表示實數(shù)，什么時候表示虛數(shù)呢？練習(xí) 1.判斷下列各數(shù)哪些是實數(shù)、虛數(shù)

11、、純虛數(shù)，并指出它們各自的實部和虛 部。4練習(xí) 2當(dāng) 取何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是：（1實數(shù) （2） 虛數(shù) （3純虛數(shù) （4） 零以上由學(xué)生板演。設(shè)計意：通過例題及練習(xí)教學(xué)，達(dá)到及時鞏固所學(xué)知識的目的，克服遺忘障 礙。（五）數(shù)相等的充條件問 ： 什么時候等于 ？（注意引導(dǎo)學(xué)生將 寫成 0+0i 形式，由 此得出兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件）問 2：如何根據(jù)第一問推導(dǎo)出兩個復(fù)數(shù) c+di 相等的充要條件？總結(jié)：兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件：a,b,c,d 為實數(shù)， 例 2 知 其中，x,y，求 與 y，分析：因為 x，yR所以由兩個復(fù)數(shù)相等的定義，可列出關(guān) x， 的方程組， 解這個方程組，可求出 x ，y 的值總結(jié)：復(fù)數(shù)相等的充要條件可以把復(fù)數(shù)相等的問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題， 是一種轉(zhuǎn)化的思想。設(shè)計意： 簡到繁的設(shè)計教學(xué)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。（六）堂小結(jié)1、由于實的需要，我們總結(jié)數(shù)的三次擴(kuò)充過程的規(guī)律，運用類比的方法， 我們引進(jìn)了新的數(shù) i，并將實數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，認(rèn)識到了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 并討論了復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件并且利用相等的條件把復(fù)數(shù) 問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題 ，通過這堂課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？2、那么，數(shù)究竟是什么