柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征教學(xué)目標(biāo)：1.掌握柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀 能力2. 能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想 教學(xué)重點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.教學(xué)難點(diǎn)：歸納柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.教學(xué)過程思路1.從古至今，各個(gè)國家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大廈的旋轉(zhuǎn)酒吧、旋轉(zhuǎn) 餐廳，還有上海東方明珠塔上的兩個(gè)球形建筑等.它們都是獨(dú)具匠心、整體協(xié)調(diào)的建筑物，是建筑師們集體智慧 的結(jié)晶.今天我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度來看待這些建筑物呢？引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征思路2.在我們的生活

2、中會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特征如 何？引導(dǎo)學(xué)生回憶，舉例和相互交流.教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評(píng)價(jià).引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.提出問題觀察下面的圖片，請(qǐng)將這些圖片中的物體分成兩類，并說明分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？圖1你能給出多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義嗎？活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論，根據(jù)初中已有的知識(shí)，學(xué)生很快就能分成兩類，對(duì)沒有思路的學(xué)生，教師予以提示根據(jù)圍成幾何體的面是否都是平面來分類.根據(jù)圍成幾何體的面的特點(diǎn)來定義多面體，利用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來定義旋轉(zhuǎn)體討論結(jié)果：通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同樣的

3、特點(diǎn)：組成幾何體的每個(gè) 面都是平面圖形，并且都是平面多邊形，像這樣的幾何體稱為多面體；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同樣的特點(diǎn)：組成它們的面不全是平面圖形，像這樣的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面； 相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).按圍成多面體的面數(shù)分為：四面體、 五面體、六面體、，一個(gè)多面體最少有4個(gè)面，四面體是三棱錐.棱柱、棱錐、棱臺(tái)均是多面體.旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫

4、做旋 轉(zhuǎn)體的軸.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球均是旋轉(zhuǎn)體.提出問題與其他多面體相比，圖片中的多面體（5）、（7）、（9）具有什么樣的共同特征？請(qǐng)給出棱柱的定義？與其他多面體相比，圖片中的多面體（14）、（15）具有什么樣的共同特征？請(qǐng)給出棱錐的定義.利用同樣的方法給出棱臺(tái)的定義.活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，如果學(xué)生沒有思路時(shí)，教師再提示對(duì)于1、3,可根據(jù)圍成多面體的各個(gè)面的關(guān)系來分析.對(duì)于2,利用多面體（5）、（7）、（9）的共同特征來定義棱柱.對(duì)于4,利用多面體（14）、（15）的共同特征來定義棱錐.對(duì)于5,利用圖片中的多面體（13）、（16）的共同特征來定義棱臺(tái).討論結(jié)果：特點(diǎn)是：有兩個(gè)面平行，其余的面

5、都是平行四邊形.像這樣的幾何體稱為棱柱.定義：兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成 的多面體稱為棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊 叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱.分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱其中一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，這樣的幾何體稱為棱錐定義：有一面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的多面體叫做棱錐這個(gè)多邊形 面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)

6、面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰 側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.表示法：用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示.分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面叫做棱 臺(tái)的下底面和上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；底面多邊形與側(cè)面的公共 頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn).表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái).分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)提出問題與其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體（1）、（8）具有什么樣的共同特征？請(qǐng)給出圓柱的定義.其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體（3）、（6）具有

7、什么樣的共同特征？請(qǐng)給出圓錐的定義.類比圓錐和圓柱的定義方法，請(qǐng)給出圓臺(tái)的定義.用同樣的方法給出球的定義.討論結(jié)果：靜態(tài)的觀點(diǎn)：有兩個(gè)平行的平面，其他的面是曲面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體 像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓柱.定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱旋轉(zhuǎn)軸叫做 圓柱的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面， 圓柱的側(cè)面又稱為圓柱面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線表示：圓柱用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體.靜態(tài)的觀點(diǎn)：有一平面，其他的面是曲

8、面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：直角三角形繞其一直角邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體. 像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓錐.定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐 旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面 叫做圓錐的側(cè)面，圓錐的側(cè)面又稱為圓錐面，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓錐側(cè)面的母線 表示：圓錐用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體.定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái). 還可以看成是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截面與底面之間的部分.旋

9、轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸；垂直于旋轉(zhuǎn) 軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓臺(tái)的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面，無論轉(zhuǎn)到什么位 置，這條邊都叫做圓臺(tái)側(cè)面的母線.表示：圓臺(tái)用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體稱為 球體，簡稱球.半圓的圓心稱為球心，連接球面上任意一點(diǎn)與球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點(diǎn)并且過 球心的線段稱為球的直徑.表示：用表示球心的字母表示.知識(shí)總結(jié)：1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征比較，如下表所示:結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺(tái)定義兩個(gè)平面互相平行，其余各 面都是四邊形，并且每相

10、鄰 兩個(gè)四邊形的公共邊都互相 平行，這些面圍成的幾何體 稱為棱柱有一面為多邊形，其 余各面是有一個(gè)公共 頂點(diǎn)的三角形，這些 面圍成的幾何體叫做 棱錐用一個(gè)平行于棱錐底 面的平面去截棱錐， 底面與截面之間的部 分，這樣的多面體叫 做棱臺(tái)底面兩底面是全等的多邊形多邊形兩底面是相似的多邊 形側(cè)面平行四邊形三角形梯形側(cè)棱平行且相等相交于頂點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)平行于底面的 截面與兩底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊 形與兩底面是相似的多 邊形過不相鄰兩側(cè)棱的截面平行四邊形三角形梯形2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征比較，如下表所示:結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺(tái)求定義以矩形的一邊所在 的直線為旋轉(zhuǎn)軸， 其余各邊旋轉(zhuǎn)

11、而形 成的曲面所圍成的 幾何體叫做圓柱以直角三角形 的一條直角邊 為旋轉(zhuǎn)軸，其余 各邊旋轉(zhuǎn)血形 成的曲面所圍 成的幾何體叫 做圓錐以直角梯形垂直于 底邊的腰所在的直 線為旋轉(zhuǎn)軸，其余 各邊旋轉(zhuǎn)而形成的 曲面所圍成的幾何 體叫做圓臺(tái)以半圓的直徑所 在的直線為旋轉(zhuǎn) 軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一 周所形成的曲面 稱為球面，球面所 圍成的幾何體稱 為球體，簡稱球底面兩底面是平行且半 徑相等的圓圓兩底面是平行但半 徑不相等的圓無側(cè)面展開 圖矩形扇形扇環(huán)不可展開母線平行且相等相交于頂點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)無平行于底 面的截面與兩底面是平行且半徑相等的圓平行于底面且半徑不相等的 圓與兩底面是平行且 半徑不相等的圓求的任何截面

12、都 是圓軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓3.簡單幾何體的分類:棱柱多面體棱錐棱臺(tái)簡單幾何體（圓柱圓錐圓臺(tái)壬求應(yīng)用示例例1下列幾何體是棱柱的有（）應(yīng)用示例例1下列幾何體是棱柱的有（）思路1圖25個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)活動(dòng)：判斷一個(gè)幾何體是哪種幾何體，一定要緊扣柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，注意定義中的特殊字眼，切不可 馬虎大意.棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相 鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行.當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱.很明顯，幾 何體均不符合，僅有符合.答案：D變式訓(xùn)練下列幾個(gè)命題中，兩個(gè)面平行且相似，其余各面

13、都是梯形的多面體是棱臺(tái);有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六 面體是棱臺(tái);各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體;分別以矩形兩條不等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形 旋轉(zhuǎn)，所得到的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱.其中正確的有 個(gè).（ ）1B.2C.3D.4分析：中兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn)，所以是錯(cuò)誤的；中兩個(gè) 底面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以不正確；中底面不一定是正 方形，所以不正確；很明顯是正確的.答案：A 下列命題中正確的是（）有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫

14、棱柱有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)答案：D 下列命題中正確的是（）以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑分析：以直角梯形垂直于底的腰為軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，所以B不正確；圓錐僅有一個(gè)底面，所以C 不正確；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以D不正確.很明顯A正確.答案：A思路2例1.長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到沿長方體的表面的最短距離為（）A. 1+

15、舌B. 2 +、而C. 3 切D. 2拓活動(dòng)：解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線 段長，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.，BC=2，BBj1.解：如圖3，在長方體ABCDA1B1C1D1中，BC=2，BBj1.如圖4所示，將側(cè)面ABBA和側(cè)面BCC1B1展開,圖4圖4則有AC1f +12 =岳，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是偵京； 如圖5所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1CR展開，則有ACj/32 + 32 = 32，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面&B1CR時(shí)的最短距離是32 ； TOC o 1-5 h z DtiG

16、4B圖5如圖6所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1CR展開，&GA,D,AD圖6則有ACJ42 + 22 = 2必，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1CR時(shí)的最短距離是2必.由于3抵V 2焰，342 再6，所以由A到在正方體表面上的最短距離為3J2.答案：C變式訓(xùn)練1.圖7是邊長為1m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出實(shí)物模型，將正方 體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線.BB圖7圖8分析：制作實(shí)物模型（略）.通過正方體的展開圖8可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A、B兩點(diǎn)間的線段的長 22 +12 =5.由展開圖可以發(fā)現(xiàn),C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn).具體爬行路線如圖9中的粗

17、線所示，我們要注意的是爬行路線并不唯一.解：爬行路線如圖9（1）一所示:圖9圖92. （2006江西高考，理15）如圖10所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出 發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為.圖10分析：將正三棱柱ABC-ABC沿側(cè)棱AA展開，其側(cè)面展開圖如圖11所示，則沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá) 1111A1點(diǎn)的最短路線的長就是圖11中AD+D&.延長&F至M,，則A1D=DM，如圖12所示.,，則A1D=DM，如圖12所示.A B C E(A)*82 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)2 =10.則沿著三棱柱的

18、側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長就是圖12中線段AM*82 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)2 =10.答案：10知能訓(xùn)練圖13C.（3）A. （1）是棱臺(tái)B. （2）是圓臺(tái)分析：圖（1）不是由棱錐截來的，所以1）不是棱臺(tái)；圖其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以4）是棱柱；很明顯（3）是D. （4）圖13C.（3）A. （1）是棱臺(tái)B. （2）是圓臺(tái)分析：圖（1）不是由棱錐截來的，所以1）不是棱臺(tái)；圖其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以4）是棱柱；很明顯（3）是D. （4）不是棱柱是棱錐2）上下兩個(gè)面不平行，所以2）不是圓臺(tái)；圖（4

19、）前后兩個(gè)面平行，棱錐.答案：C下面幾何體中，A.圓柱過軸的截面一定是圓面的是（）B.圓錐C.球D.圓臺(tái)分析：圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面，所以 A、B、D均不正確.答案：C（2007山東荷澤二模，文13） 一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，如圖14所示，A、B、C是展開圖上的 三點(diǎn)，則在正方體盒子中ZABC=.圖14分析：如圖15所示，折成正方體，很明顯點(diǎn)A、B、C是上底面正方形的三個(gè)頂點(diǎn)， 則 ZABC=90.圖15圖15答案：90（2007山東東營三模，文13）有一粒正方體的骰子每一個(gè)面有一個(gè)英文字母，如圖16所示.從3種不同角

20、度看同一粒骰子的情況，請(qǐng)問H反面的字母是一分析：正方體的骰子共有6個(gè)面，每個(gè)面都有一個(gè)字母，從每一個(gè)圖中都看到有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，與標(biāo)有S 的面相鄰的面共有四個(gè)，由這三個(gè)圖，知這四個(gè)面分別標(biāo)有字母H、E、O、p、d，因此只能是標(biāo)有“p”與“d” 的面是同一個(gè)面，p與d是一個(gè)字母；翻轉(zhuǎn)圖，使S面調(diào)整到正前面，使p轉(zhuǎn)成d，則O為正下面，所以H的 反面是O.答案：O，圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45，求這個(gè) 圓臺(tái)的高、母線長和底面半徑.，延長AA1交OO1的延長線于S.設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為x cm和3x cm 在 RtASOA 中，

21、/ASO=45，則延長AA1交OO1的延長線于S.11又(6x+2x) 2x=392，解得 x=7,A所以圓臺(tái)的高OO1=14 cm， 母線長 l=x/2OOjM cm，而底面半徑分別為7 cm和21 cm, 即圓臺(tái)的高14 cm， 母線長14 2 cm，底面半徑分別為7 cm和21 cm.（2005全國高中數(shù)學(xué)競賽浙江預(yù)賽，4）正方體的截平面不可能是 鈍角三角形;直角三角形;菱形;正五邊形;正六邊形下述選項(xiàng)正確的是：（）A.B.C.D.分析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形（證 明略）；對(duì)四邊形來講，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（證明略）； 對(duì)五邊形來講，不可能是正五邊形（證明略）；對(duì)六邊形來講，可以是六邊形（正六邊形）.答案：B拓展提升有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？分析：如圖18所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱，因此 說有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.圖18圖18由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱，關(guān)鍵是緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：有兩個(gè)面互相平行；其余各面 都是四邊形;每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.這3個(gè)特征缺一不可