謂詞邏輯4課件

1、謂詞邏輯4謂詞邏輯4考試時間：1月11日上午8:00-10:00 考試地點：2-201第4章謂詞邏輯第4.2 摩狀詞第4章謂詞邏輯4.3 謂詞公式真值4.2 摩狀詞第4.3 謂詞公式真值(10) x(Gxy(Gyy=x)Fx)“假”不是“真”的邏輯后承(b)張三家有好幾頭牛解釋方法的這一作用是其第一作用的延伸謂詞和運算符是有區(qū)別的，其區(qū)別在于：D 上的謂詞的定義域為 D，值域是真或假，而 D 上的運算符的定義域是解釋域 D，值域也是解釋域 D。(x)Fx，(x) Fx的有關解釋的有關規(guī)則：指示代詞 +形容詞 +普通名詞在數(shù)理邏輯中對于摹狀詞使用上的分歧，都集中在當使得 Fx成立的惟一的 x不存

2、在時，怎樣處理 LxFx的問題上判定一公式的非普遍有效性，是解釋方法的第一個作用，對于摹狀詞使用上的分歧，都集中在當使得 Fx成立的惟一的 x不存在時，怎樣處理 LxFx的問題上所以(8)不是(6)的否定4.2 摩狀詞第4章謂詞邏輯4.3 謂詞公式真值(10) x(Gxy(Gyy=x)Fx)4.2 摩4.2.0 摹狀詞(一)摹狀詞就是表述獨具某種性質(zhì)的特定事物的語詞摹狀詞具備兩個特點：它指稱的事物應當是惟一的它所揭示的一事物的某種性質(zhì)應當是該事物獨有的如：(1)集合論的創(chuàng)立者(2)世界上最高的山峰(3)15 和 27 的最大公約數(shù)(4)張三家的那頭牛。摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.0 摹狀詞(一

3、)摹狀詞就是表述獨具某種性質(zhì)的特定事物4.2.0 摹狀詞翻譯(一)摹狀詞的結(jié)構(gòu)是形容詞 +普通名詞指示代詞 +形容詞 +普通名詞在數(shù)理邏輯中摹狀詞的一般形式(即符號化的摹狀詞)是LxFx意即：“那個惟一具有性質(zhì) F 的個體 x”L 是邏輯常項，含意為：這(或那)個摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.0 摹狀詞翻譯(一)摹狀詞的結(jié)構(gòu)是摩狀詞第4.2.0 摹狀詞翻譯(二)含有摹狀詞的命題翻譯(6)張三家的那頭牛是壯的令：“G”表示“是張三家的牛”，“F”表示“是壯的”譯：FLxGx讀：那頭張三家的牛是壯的(7)世界上最高的山峰在中國令：“H”表示“是世界上最高的山峰”，“E”表示“在中國”譯：ELxHx讀

4、：那座世界上最高的山峰在中國摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.0 摹狀詞翻譯(二)含有摹狀詞的命題翻譯摩狀詞第4.2.1 摹狀詞命題真值(一)含有摹狀詞的命題，它們的真假要比一般命題的真假稍為復雜些只有在(a)張三家至少有一頭牛(b)張三家只有一頭牛(c)那頭牛是壯的這三種情況同時存在時，(6)上式為真當 (a)張三家沒有牛(b)張三家有好幾頭牛(c)那頭牛不是壯的這三種情況之一存在，(6)則上式為假摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.1 摹狀詞命題真值(一)含有摹狀詞的命題，它們的真假4.2.1 摹狀詞命題真值(二)根據(jù)以上分析，(6)或(6)的否定應當是(a)、(b)和(c)這三種情況的析取不應當簡單地

5、斷定為(8)張三家的那頭牛不是壯的即FLxGx不是 FLxGx的否定如果認為(8)( p)就是(6)(p)的否定則 pp 永真但是，倘若事實上張三家沒有牛，則(6)和(8)都不是真的(是無意義的)，因而pp也不是真的。這樣就導致了悖論摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.1 摹狀詞命題真值(二)根據(jù)以上分析，(6)或(64.2.1 摹狀詞命題真值(三)(6)的否定應是(a)、(b)和(c)的析取，或者簡單地就是(9)并非張三家的那頭牛是壯的。其相應的符號是(9)(FLxGx)如果不用摹狀詞符號而用一般的謂詞公式符號翻譯命題(6)：(10) x(Gxy(Gyy=x)Fx)(10)讀：“有個體是張三家的牛，

6、且對所有個體而言，如果它是張三家的牛那么它就是該個體，且該個體是壯的(10)蘊涵了情況(a)、(b)、(c)摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.1 摹狀詞命題真值(三)(6)的否定應是(a)、(4.2.1 摹狀詞命題真值(四)命題(8)的相應公式是：(11) x(Gxy(Gyy=x)Fx 可以看出(11)不是(10)的否定所以(8)不是(6)的否定命題(9)的相應的公式：(12)x(Gxy(Gyy=x)Fx (12)是(10)的否定對于摹狀詞使用上的分歧，都集中在當使得 Fx成立的惟一的 x不存在時，怎樣處理 LxFx的問題上摩狀詞第4章謂詞邏輯4.2.1 摹狀詞命題真值(四)命題(8)的相應公式是：

7、摩狀4.2 摩狀詞第4章謂詞邏輯4.3 謂詞公式真值4.2 摩狀詞第4.3 謂詞公式真值4.3.0 謂詞命題解釋(一)由于原子公式的真假與量詞的使用和個體變項的變化范圍有很大關系量詞的使用若 Fx表示 x吃肉(x)Fx是假的(x)Fx卻是真的個體變項的變化范圍如果確定 x的變化范圍為整個老虎的集合xFx是真的如果確定 x 的變化范圍是牛的集合xFx是假的不能簡單地給原子公式指派以真假來判定公式是否為重言式對于謂詞演算中的公式，采用解釋的方法來判定論證是否有效，判定前提是否協(xié)調(diào)謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.0 謂詞命題解釋(一)由于原子公式的真假與量詞的使用4.3.0 謂詞命題解釋(二)(x

8、)Fx，(x) Fx的有關解釋的有關規(guī)則：第一，把解釋域 D 確定下來第二，原公式 Q 中的量詞(存在、全稱)和聯(lián)結(jié)詞保持不變，但在 Q 的解釋 P 中量詞僅對 D 而言第三，把 Q 中的謂詞解釋成 D 上的謂詞，即謂詞的解釋一定要使解釋域中的東西或真或假謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.0 謂詞命題解釋(二)(x)Fx，(x) Fx的4.3.0 謂詞命題解釋(三)假定解釋域是魚，謂詞卻解釋成“是聰明的”，這就不能使解釋域中的元素有真有假，因為我們既不能說“魚是聰明的”是真，也不能說它是假一元謂詞解釋成一元謂詞，二元謂詞解釋成二元謂詞謂詞“ =”一般是不加解釋的，就是說“ =”在解釋語句 P

9、中，仍表示兩個個體的同一關系第四，假如把謂詞解釋成演算符，或者原公式中本來就有運算符的話，那么，解釋后的語句的運算符的運算始終不超過解釋域內(nèi)所包含的元素范圍謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.0 謂詞命題解釋(三)假定解釋域是魚，謂詞卻解釋成“4.3.0 謂詞命題解釋(四)規(guī)定解釋域為正整數(shù)，那就不能把 xQy解釋為 x減去 y，因為這樣減的結(jié)果有可能導致負的，從而超出 D 域元素范圍謂詞和運算符是有區(qū)別的，其區(qū)別在于：D 上的謂詞的定義域為 D，值域是真或假，而 D 上的運算符的定義域是解釋域 D，值域也是解釋域 D。第五，命題中的自由變項和專有名詞在 P 中都應當解釋為專有名詞，或叫做真名，

10、并且這些專有名詞所指稱的對象應當是解釋域中的元素有一公式 xPa，設解釋域為正整數(shù)集合，那么專有名詞 a只有解釋成正整數(shù)，如 1、2 等，不能解釋為正整數(shù)之外的個體謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.0 謂詞命題解釋(四)規(guī)定解釋域為正整數(shù)，那就不能把4.3.0 謂詞命題解釋(五)例 1 (x)(HxMx)解釋1： D：正整數(shù)，Hx：x3，Mx：x2 (x)(x3x2)凡大于 3 的正整數(shù)都大于 2，真解釋解釋2：D：正整數(shù)，Hx：x1， Mx：x2 (x)(x1x2)凡大于 1 的正整數(shù)都大于 2，假解釋命題不是在任何可能情況下都是真的，因而不是永真式謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.0 謂詞

11、命題解釋(五)例 1 (x)(HxMx)4.3.1 普遍式(一)謂詞邏輯里的命題解釋的作用：證明論證無效效 (一公式不是普遍式)、前提是協(xié)調(diào)、公理是獨立命題邏輯中的永真式叫重言式，謂詞邏輯中的永真式一般叫普遍有效式一個公式是普遍有效式，當且僅當它在每一個非空的個體域中的每一解釋都是真的判定一公式的非普遍有效性，是解釋方法的第一個作用，解釋不能證明一公式是普遍有效式謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.1 普遍式(一)謂詞邏輯里的命題解釋的作用：證明論證4.3.1 普遍式(二)一個論證是非有效式，當且僅當在某一非空論域中有一解釋，使得該論證的前提真而結(jié)論假解釋方法的這一作用是其第一作用的延伸(x)(

12、MxLx)MaLa解釋：D：正整數(shù)集合，Mx：x為正整數(shù)，Lx：x為偶數(shù)，a=1(x)(x為正整數(shù)x為偶數(shù))1 是正整數(shù)，推出 1 是偶數(shù)謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.1 普遍式(二)一個論證是非有效式，當且僅當在某一非4.3.2 協(xié)調(diào)式(一)一公式集合是協(xié)調(diào)式，當且僅當它在某個非空的個體域中有一個公共的真解釋證明諸公式的協(xié)調(diào)性是解釋的第二個作用(x)(y)(z)(xQyyQzxQz) (x)(y)(xQyyQx)解釋：D：正整數(shù)集合，xQy：xy (x)(y)(z)( xyyzxz) (x)(y)( xyyx)把解釋域確定為數(shù)的集合，把謂詞都解釋為算術(shù)運算的解釋一般叫做算術(shù)解釋謂詞公式真

13、值第4章謂詞邏輯4.3.2 協(xié)調(diào)式(一)一公式集合是協(xié)調(diào)式，當且僅當它在某個4.3.2 協(xié)調(diào)式(二)解釋幾個公式的協(xié)調(diào)性時，要求各式合取的解釋為真解釋1：D：正整數(shù)集合， xQy：x y(x)(y)(z)(xyyzxz) (x)(y)(xyyx) (x=y=z) 前真后假解釋2： D：正整數(shù)，xQy：xy+1 (x)(y)(z)(xy+1yz+1xz+1)(x)(y)(xy+1yx+1) (x=3,y=2,z=1) 前假后真不能證明該式協(xié)調(diào) 謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.2 協(xié)調(diào)式(二)解釋幾個公式的協(xié)調(diào)性時，要求各式合取4.3.3 獨立性(一)公理的獨立性：一公理根據(jù)給定的推演規(guī)則不能從

14、其他公理邏輯地推出，那么該公理相對于其他公理就是獨立的相對于一定的推演規(guī)則，如果一公理不是其他公理的邏輯后承，那么該公理對于其他公理來說是獨立的證明公理的獨立性是解釋的第三個作用謂詞公式真值第4章謂詞邏輯4.3.3 獨立性(一)公理的獨立性：一公理根據(jù)給定的推演規(guī)(b)張三家有好幾頭牛根據(jù)以上分析，(6)或(6)的否定應當是(a)、(b)和(c)這三種情況的析取一個公式是普遍有效式，當且僅當它在每一個非空的個體域中的每一解釋都是真的第三，把 Q 中的謂詞解釋成 D 上的謂詞，即謂詞的解釋一定要使解釋域中的東西或真或假“假”不是“真”的邏輯后承空域中能找到它的一個假的解釋，即(x)Ax真而(x)

15、Ax假：例 1 (x)(HxMx)指示代詞 +形容詞 +普通名詞在數(shù)理邏輯中根據(jù)以上分析，(6)或(6)的否定應當是(a)、(b)和(c)這三種情況的析取證明公理的獨立性是解釋的第三個作用不能簡單地給原子公式指派以真假來判定公式是否為重言式1 摹狀詞命題真值(二)在空解釋中，有可能把普遍有效式解釋成非普遍有效式，因而我們不能用空解釋域指示代詞 +形容詞 +普通名詞在數(shù)理邏輯中解釋幾個公式的協(xié)調(diào)性時，要求各式合取的解釋為真把解釋域確定為數(shù)的集合，把謂詞都解釋為算術(shù)運算的解釋一般叫做算術(shù)解釋D：正整數(shù)，Hx：x1， Mx：x2假定解釋域是魚，謂詞卻解釋成“是聰明的”，這就不能使解釋域中的元素有真有

16、假，因為我們既不能說“魚是聰明的”是真，也不能說它是假4.3.3 獨立性(二)要證明一公式不是其他公式的邏輯后承(重言蘊涵)，只要給出使該公式為假，其他公式為真的一個解釋即可“假”不是“真”的邏輯后承例：x y證明了(x)(y)xQyyQx)獨立于(x)(y)(z)( xQyyQzxQz)xy+1證明了(x)(y)(z)(QyyQzxQz)獨立于(x)(y)xQyyQx謂詞公式真值第4章謂詞邏輯(b)張三家有好幾頭牛4.3.3 獨立性(二)要證明一公式4.3.4 空集解釋解釋域必須為空的解釋是無意義的普遍式(x)Ax(x)Ax空域中能找到它的一個假的解釋，即(x)Ax真而(x)Ax假：D:一個沒有人的房間(x)Ax：這個房間里的都是中國人盡管這個房間并無人，但我們知道語句表示成的(x)Ax是個蘊含式，即“如這房里的