石大線代5課件

1、第二章 矩 陣 本章討論 矩陣的基本概念與運(yùn)算、 逆矩陣存在的條件、 伴隨矩陣的性質(zhì)、 矩陣的初等變換、 矩陣的秩。上述內(nèi)容都應(yīng)熟練掌握。2.1 矩陣及其運(yùn)算設(shè)有關(guān)系式：其中 為常數(shù) ，這種從變量 到變量的變換叫做線性變換。1. 線性變換與矩陣將（1）中的系數(shù)寫下來，即可得一矩陣。定義1 由mn 個(gè)數(shù)矩陣（2）常簡記為 排成 m 行 n 列的數(shù)表叫做 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣。有關(guān)矩陣的一些概念：注意矩陣與行列式的區(qū)別. 元素。元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣；元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。當(dāng) m= n 時(shí)，稱A為 n 階方陣。若兩個(gè)矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別相同，則稱它們?yōu)橥?矩陣。1 行

2、n 列的矩陣稱為行矩陣；n 行 1 列的矩陣稱為列矩陣。如: 則A為行矩陣， B為列矩陣。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。結(jié)論 線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。例 寫出與下列變換所對(duì)應(yīng)的矩陣。解通常稱（1）為單位矩陣，稱（2）是對(duì)角矩陣。上三角矩陣下三角矩陣矩陣與行列式在形式上有些相似，但在意義上則完全不同，行列式的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)，而矩陣僅是一個(gè)數(shù)表。即：將兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素相減。易知矩陣加法運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律：亦即 規(guī)定利用負(fù)矩陣，可定義減法運(yùn)算：定義3 數(shù)與矩陣A的乘積記為 A 或 A， 規(guī)定為即：數(shù)乘矩陣就是用數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素。易知，數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律： （)A=(A); (+)A

3、=A+A (A+B)=A+ B二、數(shù)與矩陣相乘引言 設(shè)有兩個(gè)線性變換則稱此線性變換為前兩線性變換的乘積。三、矩陣與矩陣相乘則可得 到 的變換。(C=AB為11的矩陣，D=BA為33的矩陣)例（教材P42習(xí)題4（1）（2）思考 設(shè)A為13矩陣，B為31矩陣，問C=AB與 D=BA的階數(shù)分別如何？計(jì)算求矩陣 的乘積 AB 及 BA ?？梢姡诒纠?ABBA。注：矩陣乘法一般不滿足交換律和消去律。解例（教材P37例4）結(jié)合律 (AB)C=A(BC)分配律 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA與數(shù)乘結(jié)合律 (AB)=(A)B=A(B) 是數(shù)矩陣的乘法仍滿足下列運(yùn)算規(guī)律：有了矩陣乘積的

4、概念，我們就可以定義方陣的冪。定義 設(shè)A為 n 階方陣，定義其中 為正整數(shù)。定義 設(shè)A為 n 階方陣，如果滿足 即 那么稱 A 為對(duì)稱陣。如果滿足 即 那么稱 A 為反對(duì)稱陣。對(duì)稱陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等；反對(duì)稱陣的特點(diǎn)是：主對(duì)角線元素為 0 ，其它元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸成互為相反數(shù)。 有了轉(zhuǎn)置的概念，我們可以定義對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣。證 注意到 XTX 是一個(gè)數(shù)，而 XXT 是 n 階方陣。證畢1. (P40例 8) 設(shè)列矩陣 滿足 E為 n 階單位矩陣， 證明 H 是對(duì)稱矩陣， 且所以 H 是對(duì)稱陣。又設(shè) A，B為 n 階方陣，為數(shù)，則有：五、方陣的行列式定義 由 n 階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位 置不變），叫做方陣A的行列式。 記作 利用方陣的行列式，就可以討論伴隨矩陣及其性質(zhì)。稱為方陣A的伴隨矩陣。請(qǐng)注意伴隨矩陣的構(gòu)造。定義 行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu) 成的如下方陣注：易知 例 試寫出 的伴隨矩陣。解 寫 2 階矩陣的伴隨矩陣的方法可概括為：主交換、輔變號(hào)。結(jié)論 伴隨矩陣有如下重要性質(zhì)：注 這個(gè)性質(zhì)在解有關(guān)伴隨矩陣的問題時(shí)經(jīng)常要用到，思考 若在 兩邊取行列式，結(jié)果如何？ （參見 教材P65習(xí)題5）答 由從而可得證 由題證明：若A是對(duì)稱矩陣，則由