數(shù)的整除(能被7、9、11、13整除的數(shù)的特征)專題訓(xùn)練

1、數(shù)的整除（能被7、 9、 11、 13整除的數(shù)的特征）專題訓(xùn)練知識(shí)梳理：1、整數(shù)a 除以整數(shù)b（b 0，所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說 ）a 能被 b 整除（也可以說b 能整除a）。2、如果整數(shù)a 能被整數(shù)b（b 0整除，則稱）a 是 b 的倍數(shù)，b 是 a 的約數(shù)。3、整除的數(shù)，其數(shù)字和一定是9 的倍數(shù)4、能被11 整除的數(shù)的特征是這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11 整除。5、一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（ 11 或 13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（ 11 或13）整除。例題精講1、判斷 47382能否

2、被 3 或 9 整除？分析： 能被 3 或 9 整除的數(shù)的特點(diǎn)是這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和是3 或 9 的倍數(shù)。47382各個(gè)數(shù)位的數(shù)字相加和是24， 24是 3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)。解： 47382能被 3整除，不能被9整除2、判斷42559， 7295871 能否被 11 整除？分析： 一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被11 整除， 只須看這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11 整除。解： 42559奇數(shù)位的數(shù)字和為4+5+9=18，偶數(shù)位的數(shù)字和為2+5=7， 18-7=11 是 11 的倍數(shù)，所以 42559 能被 11 整除； 7295871 奇數(shù)位的數(shù)字和為7+9+8+1=25，

3、偶數(shù)位的數(shù)字和為2+5+7=14，25-14=11 是 11 的倍數(shù)，所以7295871 也能被 11 整除。3、 32335 能否被 7 整除？分析： 一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（ 11 或 13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（ 11 或 13）整除。解：335-32=303， 303不能被 7 整除，所以32335不能被7整除。專題特訓(xùn)1、把 516 至少連續(xù)寫幾次，所組成的數(shù)能被9 整除？2、四位數(shù)36AB 能同時(shí)被2、 3、 4、 5、 9 整除，則A= B= ？3、 173是一個(gè)四位數(shù)，在這個(gè) 中先后填入3 個(gè)數(shù)，所得到

4、的3 個(gè)四位數(shù)依次能被9、 11、 6 整除，先后填入的3 個(gè)數(shù)分別是幾？4、九位數(shù)8765 4321能被21 整除， 中應(yīng)填幾？5、用17 七個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)數(shù)字且能被11 整除的七位數(shù)，最大的七位數(shù)與最小七位的數(shù)差是多少？6、一個(gè)五位數(shù)a236b能被63整除，這個(gè)五位數(shù)是多少？7、如果六位數(shù)1992 口口能被105 整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少?8、有三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是 11 的倍數(shù).這三個(gè)數(shù)可能是多少？9、一個(gè)六位數(shù)23 56是 88 的倍數(shù),這個(gè)數(shù)除以88所得的商可能是多少？10、 42 28是 99的倍數(shù),這個(gè)數(shù)除以99所得的商是多少？1、解：能被9 整除

5、的數(shù)的特點(diǎn)是各數(shù)位的數(shù)字和能被9 整除，5+1+6=12，至少再連續(xù)寫三次，得到516516516各數(shù)字的和為36，才能被9 整除。 TOC o 1-5 h z 2、解：由能被2 和 5 整除可判斷B=0。能被3 和 9 整除可得A 可能是0、 9，由能被 4 整除可得A 只能為0，所以A=0， B=0。3、解：能被9 整除， 中應(yīng)填7，能被11 整除， 中應(yīng)填 8，能被 6 整除， 中應(yīng)填 44、解：21=3 7，所以8756 4321能被3 和 7 同時(shí)整除，根據(jù)特征判斷可得中應(yīng)填0。5、解：根據(jù)能被11 整除的數(shù)的特征，最大的七位數(shù)應(yīng)為7645231，最小的七位數(shù)為1235476，二者的

6、差為7645231-1235476=64097556、解：這個(gè)數(shù)能被63 整除即能被7 和 9 同時(shí)整除，符合條件的數(shù)為22365。7、解：因?yàn)?05=3 7 5，所以這個(gè)六位數(shù)同時(shí)滿足能被3、 7、 5 整除的數(shù)的特征即可。根據(jù)整除特征可得末位只能為0 或 5。如果末位填入0，那么數(shù)字和為1+9+9+2+口 +0=21+口，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以口可以為0， 3， 6， 9，驗(yàn)證均不是200-199=1， 230-199=31，260-199=61， 290-199=91，有 9l 是 7 的倍數(shù)，即199290是 7 的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90。8、解：三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)其和必是

7、3的倍數(shù) ,已知其和是11 的倍數(shù),而 3與 11互質(zhì) ,所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3 個(gè) ,它們是33、 66、 99.所以有當(dāng)和為33時(shí),三個(gè)數(shù)是10,11,12；當(dāng)和為66時(shí),三個(gè)數(shù)是21,22,23；當(dāng)和為99 時(shí),三個(gè)數(shù)是32,33,34。9、 解： 一個(gè)數(shù)如果是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)必然既是8 的倍數(shù),又是11 的倍數(shù).根據(jù)8 的倍數(shù) ,它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個(gè)六位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是0或 8.而 11 的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0 或 11 的倍數(shù),從已知的四個(gè)數(shù)看,這個(gè)六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個(gè)方框內(nèi)填入的數(shù)字是相

8、同的,因此這個(gè)六位數(shù)有兩種可能又 230560 88=2620238568 88=2711所以,本題的答案是2620或 2711。10、解：因?yàn)?9=9 11,所以42 28既是9 的倍數(shù) ,又是 11 的倍數(shù) .根據(jù)是 9 的倍數(shù)的特點(diǎn),這個(gè)數(shù)各位上數(shù)字的和是9 的倍數(shù) .42 28這個(gè)六位數(shù)中已知的四個(gè)數(shù)的和是4+2+2+8=16,因此空格中兩個(gè)數(shù)字的和是2 或 11.我們把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知兩個(gè)數(shù)字的和是2+2=4，而偶位上已知兩個(gè)數(shù)字的和是4+8=12，再根據(jù)是11 的倍數(shù)的特點(diǎn)，奇位上數(shù)字的和與偶位上數(shù)的和之差是0 或 11 的倍數(shù)，所以填入空格的兩個(gè)數(shù)應(yīng)該相

9、差3 或相差 8.從以上分析可知填入的兩個(gè)數(shù)字的和不可能是2,應(yīng)該是11.顯然它們的差不可能是 8,應(yīng)該是3,符合這兩個(gè)條件的數(shù)字只有7和 4.填入空格時(shí)要注意7填在偶位上 ,4填在奇位上,即原六位數(shù)是42 7 28 4 ，又 427284 99=4316，所以所得的商是 4316。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48 能被 16 整除， 16 能被 8 整除，那么48 一定能被8 整除。性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21 與 15 都能被 3 整除，那么21 1

10、5 及 21-15 都能被 3 整除。性質(zhì) 3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126 能被 9 整除，又能被7 整除，且9與 7 互質(zhì)，那么126 能被9 7 63 整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。例 1. 在 853 后面補(bǔ)上3 個(gè)數(shù)字組成一個(gè)六位數(shù)，使這個(gè)六位數(shù)能同時(shí)被3,4,5整除。這樣的六位數(shù)中最大的是多少？解題思路：因?yàn)?3,4,5兩兩互質(zhì)，所以853末兩位可以是20,40,60,80,00，再根據(jù)能被3 整除的數(shù)的特征，8+5+3+9+8+0=33，這個(gè)數(shù)最大是853980。解：這樣的六

11、位數(shù)中最大的是853980。做練習(xí)題。例 2判斷34101 能不能被7 或 11 或 13 整除。解題思路：根據(jù)能被7,11,13整除的數(shù)的特征，用末三位101 減去末三位前面的數(shù)34， 即 101-34=67， 看這個(gè)差能不能被7、 11、 13 整除就可以判斷出34101能不能被7、 11、 13 整除。解： 101-34=6767 不能被 7 整除， 所以 34101 不能被 7 整除。 67 不能被 11 整除， 所以 34101不能被 11 整除。 67 不能被 13 整除，所以34101 不能被 13 整除。例 3由4， 5， 6 三張數(shù)字卡片能組成多少個(gè)能被2 整除的三位數(shù)？解題

12、思路：卡片6 可以看成9，所以能被2 整除的有564， 654， 594， 954，456， 546。解： 6 個(gè)?？偨Y(jié)：我們要牢記能被n 個(gè)特殊數(shù)整除的特征，歸納出一般性的規(guī)律。（ 1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0， 2， 4， 6， 8 中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被 2 整除。（ 2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0 或 5，那么這個(gè)數(shù)就能被5 整除。 TOC o 1-5 h z （ 3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。（ 4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125） 整除， 那么這個(gè)數(shù)就能被8

13、（或125）整除。（ 6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。練習(xí)： 1. 用 0， 1， 2， 3， 4， 5 這六個(gè)數(shù)碼組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中，能被 5 整除的有幾個(gè)？能被2 整除的有幾個(gè)？能被10 整除的有幾個(gè)？2.42 28是99 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99 所得的商是多少？五位數(shù)能被 72 整除，問：A與 B各代表什么數(shù)字？七位數(shù)175 62的末位數(shù)字是_的時(shí)候，不管千位上是0 到 9 中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11 的倍數(shù)。學(xué)校買了72 只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是 67.9 元，你知道每只小足球多少錢嗎？某個(gè)七位數(shù)

14、1993能同時(shí)被2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？比一比 . 在一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)字，就變成了一個(gè)三位數(shù)。如 52中間插入4 后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有多少個(gè)？. 解：有 9 個(gè)能被 5 整除；有13 個(gè)能被 2 整除；有5 個(gè)能被 10 整除。2講析：能被99 整除的數(shù)，一定能被9 和 11 整除。設(shè)千位上和個(gè)位上分別填上數(shù)字a、 b， 則： 各位上數(shù)字之和為16+（ a+b） 。要使原數(shù)能被9 整除，必須使16+（ a+b） 是 9 的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或 1

15、1。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8） ，要使原數(shù)能被11 整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11 的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，（ b-a-8）是 11 的倍數(shù)不合。所以a-b=3。又 a+b=2或11，可求得a=7， b=4。從而很容易求出商為427284 99=4316。 解：已知能被 72 整除。 因?yàn)?2 89 ， 8 和 9 是互質(zhì)數(shù)，所以既能被 8 整除，又能被9 整除。根據(jù)能被8 整除的數(shù)的特征，要求能被 8整除，由此可確定B 6。再根據(jù)能被9 整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A329BA3f296A20，在這個(gè)范圍內(nèi)只有27 能被 9 整除，

16、所以A 7。.講析：設(shè)千位上和個(gè)位上的數(shù)字分別是a和 b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是3+（ b-a） 或 （ a-b） -3。要使原數(shù)是11 的倍數(shù)，只需3+（ b-a） 或 （ a-b） -3是11 的倍數(shù)。則有b-a=8，或者a-b=3。當(dāng)b-a=8時(shí)，b 可取9、8；當(dāng)a-b=3時(shí)，b 可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當(dāng)這個(gè)七位數(shù)的末位數(shù)字取7 時(shí)， 不管千位上數(shù)字是幾，這個(gè)七位數(shù)都不是 11 的倍數(shù)。.解：367.92/72=5.11（元）.講析：因?yàn)?、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍數(shù)是2520。而1993000 2520=790余 2200。于是再加

17、上（2520-2200） =320時(shí)，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、 2、 0。比一比.講析：因?yàn)椴迦胍粋€(gè)數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9 倍，且個(gè)位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0 或 5。 TOC o 1-5 h z 又插入的一個(gè)數(shù)字，必須小于個(gè)位數(shù)字，否則新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個(gè)位不能為0，而一定是5。結(jié)合被 9 整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、 35、 25 和 15共 4 個(gè)。能被 7 整除的數(shù)的特征若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉,再從余下的數(shù)中,減去個(gè)位數(shù)的2 倍 ,如果差是7 的倍數(shù) ,則原數(shù)能被7 整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀

18、察出來，就重復(fù)此過程。（截尾、倍大、相減、驗(yàn)差能被 8 整除的數(shù)的特征若一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8 整除， 則這個(gè)數(shù)能被 8 整除能被9 整除的數(shù)的特征若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9 整除，則這個(gè)整數(shù)能被9 整除能被11整除的數(shù)的特征若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11 整除，則這個(gè)數(shù)能被11 整除。 11 的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7 的割尾法處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2 而是1能被12 整除的數(shù)的特征若一個(gè)整數(shù)能被3 和 4 整除，則這個(gè)數(shù)能被12 整除能被13 整除的數(shù)的特征把一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4 倍，如果和是13 的倍數(shù)，則原數(shù)能被13 整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。如：判斷1284322 能不能被13 整除。128432+2 4=12844012844+0 4=12844 1284+4 4=1300， 截尾、倍大、相加、驗(yàn)差的過程，直到能清楚判斷為止能被 17 整除的數(shù)的特征1、 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中， 減去個(gè)位數(shù)的5 倍， 如果差是17 的倍數(shù)， 則原數(shù)能被17 整除。 如果差太大或心算不易看出是否17 的倍數(shù)， 就需要繼續(xù)上述截