2021-2022學(xué)年湖南省茶陵高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD2設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（ ）ABCD3下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（ ）ABCD4已知函數(shù)，若關(guān)于

2、的方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD5某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法中錯誤的是（ ）A收入最高值與收入最低值的比是B結(jié)余最高的月份是月份C與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D前個月的平均收入為萬元6如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）.ABCD7中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程

3、是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（ ）A6里B12里C24里D48里8已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）ABCD19雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x3)2y2A3B2C3D610在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（ ）ABCD211已知向量，則與共線的單位向量為( )ABC或D或12如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，某市一學(xué)

4、校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時，面積為最小，政府投資最低？14已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)15已知向量，滿足，則的取值范圍為_.16兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點(diǎn)處的切線方向相同如圖所示，一列圓 (an0，rn0，n=1，2)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=_，rn=_三、解

5、答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表.（1）從男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的概率：（2）從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談，記為抽到高中的人數(shù)，求的分布列；（3）當(dāng)時，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.（直接寫出結(jié)果）18（12分）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，已知, (1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式19（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， 曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

6、（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.20（12分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，證明：.21（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.22（10分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與

7、的圖象，因?yàn)闀r，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2B【解析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.3C【解析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對于

8、D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，令，解得，故當(dāng)時，當(dāng)，且，故方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖

9、，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).5D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項(xiàng)正確；結(jié)余最高為月份，為，故項(xiàng)正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項(xiàng)正確；前個月的平均收入為萬元，故項(xiàng)錯誤綜上，故選6C【解析】易得，又，平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，所以，即，故離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系，是一道中檔題.7C【

10、解析】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題8C【解析】先將，化簡轉(zhuǎn)化為，再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為-1.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9A【解析】由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y22x，圓心坐

11、標(biāo)為(3,0)由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r答案：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，有最大值為，即，故.當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11D【解析】根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得 或所以與共線的單位向量為或.故選：

12、D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.12D【解析】由半圓面積之比，可求出兩個直角邊 的長度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知 ，以 為直徑的半圓面積，以 為直徑的半圓面積，則，即.由 ，得 ，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（1）；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，進(jìn)而表示直線的方程，由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得，即可

13、表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍，進(jìn)而對原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元，再令進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，.所以直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時，取得最大值，取最小值.答：當(dāng)時，面積為最小，政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再

14、按模型求最值，屬于難題.14y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x0時，-x0時，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x0時，求函數(shù)的解析式”有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)15【解析】設(shè)，由，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：因?yàn)?，所以A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義，還考查了數(shù)形

15、結(jié)合的方法，屬于中檔題.16 【解析】第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入得，整理得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）詳見解析（3）初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】（1）由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求

16、解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；（3）由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】（1）100名學(xué)生中共有男生48名，其中共有20人參加公益勞動時間在，設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為，那么；（2）的所有可能取值為0，1，2，3.；.隨機(jī)變量的分布列為：（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時間較長.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查超幾何分布的分布列的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18 (1)（2）【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q

17、，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1qn-1=2n-1，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解：（1）（2）， 兩式相減：19（1），（2）0【解析】（1）分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時的幾何意義求解【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即（2）把為參數(shù)）代入，得，解得：，即，滿足【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題20 (1) (2)見證明【解

18、析】（1） 利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對值求解；（2） 利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時，不等式可化為.當(dāng)時，所以；當(dāng)時，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，得，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.21（1）見解析（2）2【解析】（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時,定義域?yàn)?由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時,；當(dāng)時,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當(dāng)時,直線和函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn),即函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)或,即或時,直線和函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn),即函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)即時,直線與函數(shù)的象沒有交點(diǎn),即函數(shù)無零點(diǎn).（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,故,單調(diào)遞減,不符合題意；若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以,由,得,設(shè),則,當(dāng)時,單調(diào)遞減；當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以,所以,又,