2021-2022學年江蘇省啟東市長江高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升

2、級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖. 根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結論是（ ）A截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B10年來全球新增裝機容量連年攀升C10年來中國新增裝機容量平均超過D截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過2若單位向量，夾角為，且，則實數(shù)（ ）A1B2C0或1D2或13已知直線與圓有公共點，則的最大值為（ ）A4BCD4甲乙兩人有三個不同的學習小組， ， 可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（ ）A B C D5關于函數(shù)，有下列三個結論:是的一個周期；在

3、上單調遞增；的值域為.則上述結論中，正確的個數(shù)為（）ABCD6設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（ ）ABCD7在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則（ ）ABCD8若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（ ）ABCD9祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

4、充分也不必要條件10過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD11已知函數(shù)，若成立，則的最小值是（ ）ABCD12胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為_

5、.14九章算術中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設分別為人數(shù)、豬價，則_，_.15在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為_16某部隊在訓練之余，由同一場地訓練的甲乙丙三隊各出三人，組成小方陣開展游戲，則來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道

6、，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路， 以所在的直線分別為軸，軸， 建立平面直角坐標系， 如圖所示， 山區(qū)邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.18（12分）設函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù).（）討論f（x）的單調性；（）證明：當x1時，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內恒成立.19（12分）設函數(shù)（其中

7、），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.20（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求證：當時，21（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，（單位：百米）.（1）分別求，關于x的函數(shù)關系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.22（10分）已知函數(shù)()當時，討論函數(shù)的單調區(qū)間；()若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共

8、60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結合數(shù)據(jù)研究單調性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯

9、誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2D【解析】利用向量模的運算列方程，結合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.3C【解析】根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，此時， 因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關系以及二次函數(shù)的性質，

10、還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.5B【解析】利用三角函數(shù)的性質，逐個判斷即可求出【詳解】因為，所以是的一個周期，正確；因為，所以在上不單調遞增，錯誤；因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域當時，在上單調遞增，所以，的值域為，錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質應用6B【解析】設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關系，進而判斷大小，結合橢圓的焦距為2，即可求出結論.【詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依

11、題意，橢圓的焦距，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.7B【解析】計算出的值，推導出，再由，結合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，則，由，得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導出數(shù)列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8D【解析】推導出函數(shù)的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數(shù)的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所

12、以，即，解得或.當時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；當時，當且僅當時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9A【解析】由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，

13、所以是的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.10D【解析】求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.11A【解析】分析：設，則，把用表示，然后令，由導數(shù)求得的最小值詳解：設，則，令，則，是上

14、的增函數(shù)，又，當時，當時，即在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值也是最小值，的最小值是故選A點睛：本題易錯選B，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構造新函數(shù)，轉化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調區(qū)間也很容易出錯12D【解析】設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13或【解析】用表示出的面積，求得等量關系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的

15、離心率為或.故答案為：或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.1410 900 【解析】由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10 900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎題型.15【解析】解法一：曲線上任取一點，利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點坐標，再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點，該點到直線的距離為，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，曲線上任意一點到直線距離的最小值為；解法二（導數(shù)法

16、）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設過曲線上任意一點的切線與直線平行，則，解得，當時，到直線的距離；當時，到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉化為利用切線與直線平行來找出切點，轉化為切點到直線的距離，也可以設曲線上的動點坐標，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16【解析】分兩步進行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，對每一行選人；最后，利用計算出概率即可.【詳解】首先，第一行隊伍的排法有種；第二行隊伍的排法有2種；第三行隊伍的排法有1種；然后，第一行的每

17、個位置的人員安排有種；第二行的每個位置的人員安排有種；第三行的每個位置的人員安排有種.所以來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率.故答案為：.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理，排列與組合知識，考查了轉化能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】（1）設切點的坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點間距離得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調性，從而得出極值和最值，即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設

18、點的坐標為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標軸交點為：，則，故，設，則.令，解得=10.當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù).所以當時，函數(shù)有極小值，也是最小值， 所以， 此時.故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2） 在中，,所以， 所以，根據(jù)正弦定理,，又， 所以.在中，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點睛】本題考查利用導數(shù)解決實際的最值問題，涉及構造函數(shù)法以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性和極值，還考查正余弦定理的實際應用，還考查解題分析能力和計算能力.18（）當時，0，單調遞減；當時，0，單調遞增；（）詳見解析；（）.【解析】試題分析：本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解決

19、恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數(shù)的單調性；第（）問，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而證明結論，第（）問，構造函數(shù)=（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而求解a的值.試題解析：（）0，在內單調遞減.由=0有.當時，0，單調遞減；當時，0，單調遞增.（）令=，則=.當時，0，所以，從而=0.（）由（），當時，0.當，時，=.故當在區(qū)間內恒成立時，必有.當時，1.由（）有,而，所以此時在區(qū)間內不恒成立.當時，令=（）.當時，=.因此，在區(qū)間單調遞增.又因為=0，所以當時，=0，即恒成立.綜上，.【考點】導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性

20、，解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力求函數(shù)的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調性本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學生不易想到，有一定的難度19（1）（2）證明見解析【解析】（1）求導得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導得到函數(shù)單調區(qū)間得到，得到證明.【詳解】（1），解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，令解得，當時，時.函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，即，即，恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學生的計算能力和轉化能力，綜合應用能力.20（1）（2）見解析【解析】(1)取，則；取，則，； (2)要證，只需證，當時，；假設當時，結論成立，即，兩邊同乘以3 得：而，即時結論也成立，當時，成立.綜上原不等式獲證.21（1），.，.（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】（1）由