立體幾何大題部分-高考數(shù)學(xué)解題方法歸納總結(jié)專題訓(xùn)練

1、專題 12 立體幾何大題部分訓(xùn)練目標(biāo)】1、掌握三視圖與直觀圖之間的互換，會(huì)求常見幾何體的體積和表面積；2、掌握空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，以及位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理；并能依此判斷命題的真假；3、掌握空間角即異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的求法；4、掌握等體積法求點(diǎn)面距；5、掌握幾何體體積的幾種求法；6、掌握利用空間向量解決立體幾何問題。7、掌握常見幾何體的外接球問題?！緶剀靶√崾尽苛Ⅲw幾何素來都是高考的一個(gè)中點(diǎn)，小題，大題都有，一般在 17 分到 22 分之間，對(duì)于大多數(shù)人來說，立 體幾何就是送分題，因?yàn)橹灰辛己玫目臻g感，熟記那些判定定理和性質(zhì)定理，然后熟練空間角和距離的 求法，特

2、別是掌握了空間向量的方法，更覺得拿分輕松?！久Ｔ囶}薈萃】1、 已知直三棱柱中， ， 為 中點(diǎn)， ， .求證： 平面 ；【答案】（ 1）見解析 （ 2）【解析 】（ 1）證明：連結(jié)交 于 點(diǎn)，連結(jié) ，則 和 分別為 和 的中點(diǎn)，所以 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面.（ 2）因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn) 和 到平面 的距離相等，從而有PAD2、如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD 是直角梯形， 是正三角形， E 是 PD 的中點(diǎn)（1）求證： AD PC ；（2）判定 CE是否平行于平面 PAB ，請(qǐng)說明理由【答案】（1）見解析 （ 2）平行2） CE平行于平面 PAB ，理由如下：取 PA的中

3、點(diǎn)為 F ，連接 EF,BF 可知 ，又，所以四邊形 BCEF 為平行四邊形，故 CE/ /BF .又 BF 平面 PAB,CE 平面 PAB ，所以 CE/平面 PAB .BAD 60 ， PD 2 3、在四棱錐 P ABCD中， PD 平面 ABCD ，且底面 ABCD為邊長(zhǎng)為 2 的菱形，1）證明：面 PAC 面 PDB ；2）在圖中作出點(diǎn)D 在平面 PBC 內(nèi)的正投影 M （說明作法及其 理由），并求四面體PBDM 的體積答案】（1）見解析2)4321【解析】（1）因?yàn)?PD 平面 ABCD，所以 PD AC ，在菱形 ABCD中， AC BD ，且 ，所以又因?yàn)?，所以面 2）取 B

4、C的中點(diǎn) E，連接 DE ， PE ，易得 BDC是等邊三角形，所以 BC DE，答案】（ 1）見解析2） M 為 DF 中點(diǎn)答案】（ 1）見解析2） M 為 DF 中點(diǎn)又因?yàn)?PD 平面 ABCD ，所以 PD BC ，又 ，所以 ，則 DM BC ，又，所以在面 PDE中，過 D作 DM PE于 M ，即 M是點(diǎn) D在平面 PBC內(nèi)的正投影，經(jīng)計(jì)算得 DE 3 ，在 RtPDE 中， PD 2，ABED 與平面 ACFD垂直，點(diǎn) O在線段 AD 上，4、如圖， ABEDFC 為多面體，平面OAB， OAC， ODE ， ODF 都是正三角形。1）證明：直線 BC面 OEF2）在線段 DF

5、上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值是 3 13 ，若不存在請(qǐng)說明理由，13z 軸建立空間直角(本題可先證明 BC / EF 后得證；也可建立空間直角坐標(biāo)系得證，請(qǐng) 酌情給分。) (2)設(shè)OD的中點(diǎn)為 G，以G為原點(diǎn)， GE 、 GD 、 GF所在直線分別為 x軸、 y軸、 坐標(biāo)系。易知， O(0, 1,0) ， E( 3,0,0) ， F(0,0, 3) , D (0,1,0) .設(shè) DM DF ， 0,1. 可得，D為 BC的中點(diǎn)5、如圖，在三棱錐 P ABC 中， PA 底面 ABC ， AB 2 ， AC 4 ，1）求證： AD PB ；2）若二面角 A PBC 的大小為 45 ，求三棱

6、錐 P ABC 的體積答案】（ 1）見解析2)4解析】1）在ABC中，由余弦定理得，則 BC 2 7因?yàn)?D為BC的中點(diǎn)，則因?yàn)?，則，所以 AD 3 因?yàn)?，則 AB AD 5 分）因?yàn)?PA 底面 ABC ，則 PA AD，所以 AD 平面 PAB ，從而 AD PB（2）分別以直線 AB，AD，AP為 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè) PA a ，則點(diǎn) B 2,0,0 ， D 0, 3,0 ， P 0,0, a 所以6、如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的菱形， DAB60， ADP 90，平面 ADP平 面 ABCD，點(diǎn) F 為棱 PD 的中點(diǎn)1）在

7、棱 AB上是否存在一點(diǎn) E，使得 AF平面 PCE，并說明理由；2）當(dāng)二面角DFC B的余弦值為求直線 PB與平面 ABCD所成的角答案】（1）點(diǎn) E 為棱 AB的中點(diǎn)（2）60解析】1）在棱 AB上存在點(diǎn) E，使得 AF平面 PCE，點(diǎn) E 為棱 AB的中點(diǎn)理由如下：取 PC的中點(diǎn) Q，連結(jié) EQ、 FQ，11由題意， FQDC且 FQ2CD，AE CD且 AE2CD，故 AEFQ且 AEFQ.所以，四邊形 AEQF為平行四邊形 .所以， AFEQ，又 EQ?平面 PEC，AF?平面 PEC，所 以， AF平面 PEC.設(shè)平面 FBC的法向量為 m（ x，y，z），則由 得2yaz 0，3x

8、y0，令 x 1，則 y 3，z2a3a23所以取 m 1， 3，2a3 ，顯然可取平面 DFC的法向量 n（1，0，0），由題意：由于 PD平面 ABCD，所以 PB在平面 ABCD內(nèi)的射影為 BD，所以 PBD為直線 PB與平面 ABCD所成的角，PD易知在 RtPBD中， tan PBDBDa 3，從而 PBD 60 ， 所以直線 PB與平面 ABCD所成的角為 60 .7、已知三棱柱 ABCABC的側(cè)棱垂直于底面， AB AC， BAC90，點(diǎn) M， N分別是 AB和 BC的中點(diǎn)。1）證明： MN平面 AAC C；2）設(shè) ABAA，當(dāng) 為何值時(shí)， CN平面 AMN，試證明你的結(jié)論答案】

9、（1）見解析（ 2） 22）連接 BN，設(shè) A A a，則 ABa，由題意知BC 2a，NCBN22a，三棱柱 ABCAB C的側(cè)棱垂直于底面，平面 ABC平面 BBCC，ABAC，點(diǎn) N是 B C的中點(diǎn)， AN平面 BBCC， CNAN.2 1 2 2要使 CN平面 A MN，只需 CNBN即可， CN2BN2BC2， 2 a2 22a2 22a2? 2，當(dāng) 2時(shí)， CN平面 AMN.8、如圖，四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，（ 1）求證：平面 PBC 平面 ABCD ；2）若 PC PB,求點(diǎn) D到平面 PAB的距離 .答案】（ 1）見解析2) 2解析】1）證明：取B

10、C中點(diǎn)M ，連接 DM,PM可知 且 MD BC又 , 在 Rt PBC 有 PM 1又QPD2， ,即MD PM ，又 平面 PBC , BC 平面 PBCMD 平面 PBC ，又Q MD 平面 ABCD 平面 PBC 平面 ABCD2）設(shè)點(diǎn) D 到平面 PAB的距離為 hh22所以點(diǎn) D 到平面 PAB的距離為22。平面9、如圖,在三棱柱中,點(diǎn)P,G分別是 AA1, B1C1的中點(diǎn) ,已知 AA1ABC, .1 ）求異面直線 A1G 與 AB 所成角的余弦值 .2）求證：A1G 平面 BCC1B1 .3）求直線 PC1 與平面 BCC1B1 所成角的正弦值 .答案】（ 1） 742）見解析

11、3) 572）在三棱柱中 ,3）解：取 BC的中點(diǎn) H,連接 AH,HG;取HG的中點(diǎn) O,連接OP,OC1 . PO P A1G , PO 平面 BCC1B1 ,直線 PC1與平面 BCC1B1所成角的正弦值為 57510、如圖，在底面是正三角形的三棱錐PABC中，PA=AB=2，PB=PC=2 2 1）求證： PA平面 ABC；2）若點(diǎn) D 在線段 PC上，且直線 BD與平面 ABC所成角為，求二面角 D ABC的余弦值6 AA1 平面 ABC, A1G 平面 ABC, AA1 A1G , BB1 A1G ,又, A1G 平面 BCC1B1 .由已知得 ,PC1O 是 PC1與平面 BCC

12、1B1 所成的角2）2）解得sin或 =2（舍），D（0，1， 1）， =（）， =（0， 1，1），設(shè)平面ABD的法 向量 =（x， y，z），取 x=1，得 =（ 1，答案】（ 1）見解析（2）以 A為原點(diǎn)， AC為 y 軸，AP為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（ ，1， 0），C（ 0，2，0），P（0，0，2），設(shè) D（ 0，b， c），0 1，則（ 0，b，c 2）=（0，2， 2）， D（ 0，2， 22）， =（，2 1，22），直線 BD與平面 ABC所成角為，平面 ABC的法向量 =（0， 0， 1），則 cos平面 ABC的法向量 =（0，0， 1），設(shè)二面角 D ABC

13、的平面角為 ，35面角 D ABC的余弦值為11、如圖，在斜三棱柱 中，ABAC，側(cè)面 B1BCC1與底面 ABC 所成的二面角為 120，E, F分別是棱 B1C1、 A1A的中點(diǎn)1）求 A1 A 與底面 ABC所成的角；2）證明 A1E / 平面 B1FC ；3）求經(jīng)過 A1,A, B, C 四點(diǎn)的球的體積【答案】（1）60（2）見解析（ 3）a3由于四邊形 A1AGE為平行四邊形，得 A1AG=60（）證明：設(shè) EG與 B1C的交點(diǎn)為 P，則點(diǎn) P 為 EG的中點(diǎn)連接 PF 在平行四邊形 AGEA1中，因 F為 A1A 的中點(diǎn)，故 A1EFP而 FP? 平面 B1FC， A1E?平面 B1FC，所以 A1E平面 B1FC1）證明： BD AC ；D 的余弦值2）若， BA 2，四面體 ABCD 的體積為 2，求二面角 B AC答案】（1）見