排列組合中的幾種常見問題

1、問題一：均勻分組與不均勻分組的問題方法技巧均勻分組與不均勻分組的問題處理均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮到是否與順序有關(guān)；有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)【示例】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；平均分成三份，每份2本；平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4

2、本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解(1)無序不均勻分組問題先選1本，有C6種選法；再從余下的5本中選2本，有C2種選法；最后余下3本全選，有C3種選法.故共有分配方式qC2C3=6O(種).有序不均勻分組問題由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有分配方式C6C5C3A3=36O(種).無序均勻分組問題.先分三組，則應(yīng)是種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn),若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD，EF)，則C6C2C2種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD

3、,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A3種情況，而這A3種情況僅是AB,CD,EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有6A32=15(種).A33有序均勻分組問題.在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個人，共有分配方式逬22厶3=學(xué)22=90(種).無序部分均勻分組問題.共有分配方式弋嚴=15(種).有序部分均勻分組問題.在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個人，共有分配方式C4：CLa3=90(種).直接分配問題.甲選1本，有q種方法；乙從余下的5本中選1本，有C5種方法；余下4本留給丙，有C4種方法，共有分配方式C6CyC4=30(種).問題二：同元問題“隔板法”例.10

4、本完全相同的書，分給4個同學(xué)，每個同學(xué)至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個空位插入三塊“隔板”.如圖：XX彳xxxxxx一種插法對應(yīng)于一種分法，則共有C9=84種分法.該題的數(shù)學(xué)模型為：方程X2+x=m(m,ngN*,mn)有Cn-i個正nm-1整數(shù)解。問題三：配對問題CiC222651某電視臺邀請6位同學(xué)的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹對子女的教育情況如這4位中恰好有一對是夫妻，那么不同的選擇方法種數(shù)為多少？2.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋里，從中隨意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)以下結(jié)果：（1）4只鞋中沒有成雙的；（2）4只鞋中有2只成

5、雙，另2只不成雙；（3）4只鞋中至少有2只配對成1雙。解析：（1）C42x2x2x2=336010(2)CoC廠22二14403）法法二：分步計數(shù)（注意重復(fù)）：C11816+C210A2102CiC2x22+C2=148510910法三：分類計數(shù)：C1(2C2+C1C1)+C21099810問題四：等價問題“轉(zhuǎn)化法”例如圖，在某個城市中，M、N兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，則從M到N的最近距離分析：欲使從M到N走法最近，正如“過河的卒子不后退”橫向的道路走且僅走四段,縱向的道路走且僅走兩段。于是，它就等價于四個“橫”字，兩個“縱”字排成一列的問題。由于相同元素的排列，于是又等價于插空問題：從六個位置