立體幾何動(dòng)點(diǎn)和折疊問題-熱點(diǎn)小題匯編

1、 最新立體幾何折疊動(dòng)點(diǎn)問題1（2020湖南模擬）在棱長為6的正方體，中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是AB36C24D2（2020德陽模擬）是邊長為的等邊三角形，分別為，的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為ABCD3（2020德陽模擬）是邊長為的等邊三角形，、分別在線段、上滑動(dòng)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，則四棱錐的體積的最大值為ABC3D24（2020春江西月考）已知三棱錐滿足底面，在中，是線段上一點(diǎn)，且，球?yàn)槿忮F的外接球，過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和

2、為，則球的表面積為ABCD5（2020春沙坪壩區(qū)校級期中）已知，四點(diǎn)均在半徑為為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為ABCD6（2020春五華區(qū)校級月考）已知，是球的球面上的三點(diǎn)，且三棱錐的體積為，則球的體積為ABCD7（2020東莞市模擬）已知三棱柱內(nèi)接于一個(gè)半徑為的球，四邊形與為兩個(gè)全等的矩形，是的中點(diǎn)，且，則三棱柱體積的最大值為ABC4D8（2020江西模擬）四棱柱中，底面四邊形是菱形，連接，交于點(diǎn)，平面，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則三棱錐的體積為ABCD9（2020浙江模擬）在長方體中，底面是邊長為4的正方形，側(cè)棱，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括四條邊上的

3、點(diǎn)），且滿足，則四棱錐的體積的最大值是ABCD10（2019秋包河區(qū)校級期末）矩形中，沿對角線將三角形折起，得到四面體，四面體外接球表面積為，當(dāng)四面體的體積取最大值時(shí)，四面體的表面積為ABCD11（2020山東模擬）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且；則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是AB平面C三棱錐的體積為定值D的面積與的面積相等12（2020海淀區(qū)校級模擬）在邊長為1的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相等，記，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，在時(shí)，與的圖象應(yīng)為ABCD13（2019秋襄城區(qū)校級月考）如圖，在四棱錐中，頂點(diǎn)

4、在底面的投影恰為正方形的中心且，設(shè)點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則該四棱錐的外接球的表面積為ABCD14（2019春昆明期末）在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，將沿直線折起成，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A直線與直線共面BC可以是直角三角形D15（2019秋安順月考）如圖，正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，最后返回已知的運(yùn)動(dòng)速度為，那么三棱錐的體積（單位：關(guān)于時(shí)間（單位：的函數(shù)圖象大致為A BC D16（2019秋沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，正方體中，為中點(diǎn)，在線段上給出下列判斷：存在點(diǎn)使得平面；在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；平面與平面所成的二面角（銳角）的

5、大小與點(diǎn)的位置無關(guān)；三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)其中正確判斷的有ABCD17（2019秋鏡湖區(qū)校級期中）如圖，正方體的棱長為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是AB平面C存在點(diǎn)，使得平面平面D三棱錐的體積為定值18（2019越城區(qū)校級學(xué)業(yè)考試）如圖，線段是圓的直徑，圓內(nèi)一條動(dòng)弦與交于點(diǎn)，且現(xiàn)將半圓沿直徑翻折，則三棱錐體積的最大值是ABC3D1參考答案與試題解析1（2020湖南模擬）在棱長為6的正方體，中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是AB36C24D【解答】解：在棱長為6的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，即

6、，設(shè)，作，化簡得：，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：時(shí)，最大值為36，在正方體中面，三棱錐的體積最大值：2（2020德陽模擬）是邊長為的等邊三角形，分別為，的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為ABCD【解答】解：如圖，由題意，的中點(diǎn)為等腰梯形的外接圓的圓心，則四棱錐的外接球的球心在過且垂直于平面的直線上，要使四棱錐的外接球的表面積最小，則半徑最小，即需要為四棱錐的外接球的球心，此時(shí)，則，到平面的距離為又四棱錐的體積為故選：3（2020德陽模擬）是邊長為的等邊三角形，、分別在線段、上滑動(dòng)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，則四棱錐的體積的最大值為A

7、BC3D2【解答】解：要想體積最大，高得最大，底面積也得最大，當(dāng)平面平面時(shí)，體積才最大；設(shè)；設(shè)為的中點(diǎn)，如圖：等邊中，點(diǎn)，分別為，上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，四棱錐的體積， （負(fù)值舍），單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，四棱錐的體積最大，最大值為：故選：4（2020春江西月考）已知三棱錐滿足底面，在中，是線段上一點(diǎn)，且，球?yàn)槿忮F的外接球，過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面積為ABCD【解答】解：如圖是邊中點(diǎn)，是邊中點(diǎn)，是的外心，作，平面，平面，取，易得，是三棱錐的外接球的球心是中點(diǎn)，則，設(shè)，則，又，過且與垂直的截面圓半徑為，則，這是最小的截面圓半徑，最

8、大的截面圓半徑等于球半徑，故選：5（2020春沙坪壩區(qū)校級期中）已知，四點(diǎn)均在半徑為為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為ABCD【解答】解：因?yàn)?，作于，則為的中點(diǎn)，且，若四面體的體積的最大值時(shí)，則面，則外接球的球心在上，設(shè)為，設(shè)外接球的半徑為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，因?yàn)槿忮F的最大體積為，所以，可得，所以外接球的表面積為，6（2020春五華區(qū)校級月考）已知，是球的球面上的三點(diǎn)，且三棱錐的體積為，則球的體積為ABCD【解答】解：到截面的投影為三角形的外接圓的圓心，設(shè)為，連接，則為底面外接圓的圓心，為球的半徑，因?yàn)?，由余弦定理可得：，整理可得：，解得，設(shè)

9、三角形的外接圓半徑為，則，所以，所以，在三角形中，所以外接球的體積為7（2020東莞市模擬）已知三棱柱內(nèi)接于一個(gè)半徑為的球，四邊形與為兩個(gè)全等的矩形，是的中點(diǎn)，且，則三棱柱體積的最大值為ABC4D【解答】解：四邊形與為兩個(gè)全等的矩形，又，平面，平面；是的中點(diǎn)，且，底面是直角三角形；綜上，三棱柱是底面為等腰三角形的直棱柱設(shè)，將三棱柱還原為長方體，得其外接球直徑為，即；三棱柱的體積；記，則，當(dāng)（b）時(shí)，；當(dāng)（b）時(shí)，；（b）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故（b）（2）故選：8（2020江西模擬）四棱柱中，底面四邊形是菱形，連接，交于點(diǎn)，平面，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則三棱錐的體積為ABCD【解答】解：連接

10、，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，故，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，故，故平面，故，又，故平面，又是邊長為4的等邊三角形，可得，所以，在中，可得，則，可知為等邊三角形，且所在平面垂直底面，故，故選：9（2020浙江模擬）在長方體中，底面是邊長為4的正方形，側(cè)棱，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括四條邊上的點(diǎn)），且滿足，則四棱錐的體積的最大值是ABCD【解答】解：作于，在長方體中，平面，平面，在和中，設(shè)，則，由，得，即，整理得，開口向下，對稱軸為，在，單調(diào)遞減，則時(shí)，取到最大值，即的最大值為四棱錐的體積的最大值是故選：10（2019秋包河區(qū)校級期末）矩形中，沿對角線將三角形折起，得到四面體，四面體外接球表面積為，

11、當(dāng)四面體的體積取最大值時(shí)，四面體的表面積為ABCD【解答】解：由題意可知，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，所以長寬分別為2和1的長方形沿對角線折起二面角，得到四面體，則四面體的外接球的球心為中點(diǎn)，半徑，所求四面體的外接球的表面積為；矩形中，沿將三角形折起，當(dāng)平面平面時(shí)，得到的四面體的體積最大，如圖所示；過點(diǎn)作平面，垂足為，則點(diǎn)到平面的距離為，過點(diǎn)作，作，垂足分別為、，連接，；則，；所以，所以，；所以，；又，；所以四面體的表面積為：；故選：11（2020山東模擬）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且；則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是AB平面C三棱錐的體積為定值D的面積與的面積相等【解答】解：對于，連

12、接，則，平面，又平面，故正確；對于，即，又平面，平面，平面，故正確；對于，點(diǎn)到平面的距離為到平面的距離，故正確；對于，連接，則是邊長為的等邊三角形，到的距離為，而到的距離為，的面積與的面積不相等故錯(cuò)誤故選：12（2020海淀區(qū)校級模擬）在邊長為1的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相等，記，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，在時(shí)，與的圖象應(yīng)為ABCD【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相等根據(jù)下圖得出：面把幾何體分割為相等的幾何體，到面的距離為，（2）當(dāng)時(shí)，在上，在上，到，定值（3）當(dāng)時(shí)，到面的距離為，故選：13（20

13、19秋襄城區(qū)校級月考）如圖，在四棱錐中，頂點(diǎn)在底面的投影恰為正方形的中心且，設(shè)點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則該四棱錐的外接球的表面積為ABCD【解答】解：將三角形展開到與平面共面，則的最小值時(shí)，、三點(diǎn)共線，記作點(diǎn)在線段上，最短時(shí)恰為中點(diǎn)，既為中線，又是邊上的高，頂點(diǎn)在底面的投影恰為正方形的中心，則四棱錐為正四棱錐，三角形為等邊三角形，則，設(shè)球心為，連接，則在中，解得，外接球的表面積故選：14（2019春昆明期末）在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，將沿直線折起成，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A直線與直線共面BC可以是直角三角形D【解答】解：在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，將沿

14、直線折起成，為的中點(diǎn)，在中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面平面，平面，平面，直線與直線平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，將沿直線折起成，為的中點(diǎn)，點(diǎn)位置不確定，的長不是常數(shù)，故錯(cuò)誤；在中，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，故正確；在中，與不垂直，故錯(cuò)誤故選：15（2019秋安順月考）如圖，正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，最后返回已知的運(yùn)動(dòng)速度為，那么三棱錐的體積（單位：關(guān)于時(shí)間（單位：的函數(shù)圖象大致為A BCD【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，在線段上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，所以；（2）當(dāng)時(shí)，在線段上，因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離為定值，所以為定值，；（3）當(dāng)時(shí)，在線段上，取的中點(diǎn)，此時(shí)，同理可得，所以；（4）當(dāng)時(shí)，在線段上，因?yàn)?/p>

15、平面，所以到平面的距離為定值，所以為定值，綜上，三棱錐的體積（單位：關(guān)于時(shí)間（單位：的函數(shù)大致圖象如右圖所示故選：16（2019秋沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，正方體中，為中點(diǎn)，在線段上給出下列判斷：存在點(diǎn)使得平面；在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)的位置無關(guān)；三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)其中正確判斷的有ABCD【解答】解：對于，假設(shè)存在使得平面，則，又，平面，則，這與矛盾，所以錯(cuò)誤；對于，因?yàn)槠矫媾c平面相交，設(shè)交線為，則在平面內(nèi)與平行的直線平行于平面，故正確；對于，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，則平面的法向量為，0，而平面的法向量，隨著位置變化，故平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)，故錯(cuò)誤；對于，三棱錐的體積即為三棱錐，因?yàn)槠矫妫?，?dāng)在線段上移動(dòng)時(shí)，到平面的距離不變，故三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)，即正確故選：17（2019秋鏡湖區(qū)校級期中）如圖，正方體的棱長為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是AB平面C存在點(diǎn)，使得平面平面D三棱錐的體積為定值【解答】解：在中，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，故正確；在中，由平面幾何得，又有，所以平面，故正確；在中，與平面有交點(diǎn)，所