初中數(shù)學教材解讀人教九年級上冊（2023年修訂）第二十四章圓弧長及扇形面積教學設計

1、弧長及扇形面積教學設計瀘縣得勝鎮(zhèn)順河學校 九年級 賀華友教學任務分析： 弧長和扇形面積公式是與圓有關的計算中的兩個常用公式應用弧長和扇形面積公式可以計算一些與圓有關的圖形的周長和面積，也可以解決一些簡單的實際問題學習這兩個公式也為圓錐側面積公式的推導打下了基礎弧長公式是在圓周長公式的基礎上，借助部分與整體之間的聯(lián)系推導出來的運用相同的研究方法，可以在圓面積公式的基礎上推導出扇形面積公式，進而通過弧長表示扇形面積教學目標：1理解 1的圓心角所對的弧長等于圓周長的，所對的扇形面積等于圓面積的；能夠發(fā)現(xiàn) n的圓心角所對的弧長和扇形面積都是 1的圓心角所對的弧長和扇形面積的 n 倍；能利用弧長表示扇形

2、面積并能利用公式計算弧長和扇形面積2在弧長和扇形面積公式的推導過程中，發(fā)現(xiàn)弧長與圓周長、扇形面積與圓面積都是部分與整體之間的關系，從而將計算弧長和扇形面積的問題轉化為求圓周長和圓面積的一部分來解決，體會轉化、類比的數(shù)學思想教學重點：弧長和扇形面積公式的推導及運用教學難點：運用弧長和扇形面積解決問題.教學過程情景導入問題情境：在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一頭牛.如果這頭牛只能繞柱子轉過角，那么這頭牛吃草的最大活動區(qū)域有多大？你能畫出這個區(qū)域嗎？圖1學生思考回答：畫出牛吃草的最大活動區(qū)域的草圖.這個圖形由哪幾部分組成？你知道每一部分的大小嗎？你解決問題

3、的辦法是什么？師生活動：學生畫出牛吃草的活動區(qū)域草圖（如圖1）,師生共同總結得出：這個圖形有兩條半徑，圓心角所對的弧.半徑、圓心角可以通過度量直接得到大小，提出弧長和圖形面積的計算問題.形成扇形面積的概念.設計意圖：通過實際問題的提出和解決，從現(xiàn)實情境中引入本節(jié)課要講授的內容.形成概念扇形概念：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.判斷：設計意圖：加強扇形概念“元素”的鞏固：圓心角、圓心角所對的?。▋?yōu)弧、劣弧或半圓）.探究弧長公式我們知道，弧是圓的一部分，弧長就是圓周的一部分.如何計算圓周長？如何計算弧長？教師追問1：復習回憶：圓的周長公式：_圓的周長可以看作是多少度的圓

4、心角所對的弧長?在同圓或等圓中，每一個 1的圓心角所對的弧長有怎樣的關系？1的圓心角所對的弧長是多少？ n的圓心角所對的弧長是多少？教師追問2：怎樣計算半徑為 R 的圓中，1的圓心角所對 的弧長？怎樣計算半徑為 R 的圓中，2的圓心角所對 的弧長？怎樣計算半徑為 R 的圓中，5的圓心角所對 的弧長？設計意圖：引導學生關注圓心角，讓學生體驗弧長公式的推導過程.教師追問3：當半徑為 R ，圓心角為n時，你能計算出弧長嗎？師生活動：學生獨立思考，n的圓心角所對的弧長是1的圓心角所對弧長的n倍，半徑為R的圓周長為2R，利用1圓心角所對的弧長，再乘n，就可以得到n的圓心角所對的弧長為.此時教師還要強調公

5、式中n的意義，n表示1的圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的，公式中，180也是不帶單位的.設計意圖：讓學生經歷從整體到部分的研究過程，從圓周長公式出發(fā)推導出弧長公式.教師追問4：弧長的大小由哪些量決定？師生活動：學生獨立思考，在弧長公式中，180和是常數(shù)，n和R是變量.弧的長度與圓心角的度數(shù)和圓的大?。ò霃剑┯嘘P：當圓的大小一定時，圓心角越大，弧的長度越大；當圓心角的度數(shù)一定時，圓越大，弧的長越大.設計意圖：通過辨析弧長公式，讓學生加深對公式的理解.探究面積公式教師提問：如何計算扇形面積？你能類比研究弧長公式的方法推導出扇形面積的公式嗎？師生活動：學生獨立思考并討論.類比弧長公式的研究過程（從求36

6、0的圓心角所對的弧長出發(fā)，先研究1的圓心角所對的弧長，在研究n的圓心角所對的弧長），可以發(fā)現(xiàn)在半徑為R的圓中，360的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以1的圓心角所對的扇形面積是圓面積的，即，則n的圓心角所對的扇形面積為.設計意圖：類比弧長公式的發(fā)現(xiàn)過程，由學生獨立思考、歸納出扇形的面積公式.五、探究扇形的面積和弧長、半徑之間的關系教師提問：比較扇形面積公式和弧長公式，你能用弧長表示扇形面積嗎？師生活動：學生獨立思考并討論.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)扇形面積公式中，分子含有因式,則分子可寫成；分母360可寫成.所以可以用弧長來表示扇形面積，,所以.其中l(wèi)為扇形的弧長，R為半徑.此時教師可以引導學生，

7、扇形面積的另一個計算公式與三角形的面積公式類似，只要把扇形看作是一個曲邊三角形，把弧長l看成底，半徑R看成高就可以了.設計意圖：通過對比弧長和扇形面積公式，讓學生發(fā)現(xiàn)可以通過弧長表示扇形面積，為圓錐側面積公式的推導作準備.六、公式的直接運用例1.已知扇形的半徑為12cm，圓心角為120.求弧長和扇形面積.先學：學生直接代公式計算，同桌互相訂正.后教：（1）思考問題方法（2）教師根據(jù)學生反映的問題進行說明：公式中的180、n表示倍分關系，是無名數(shù)沒有特別要求，計算結果保留.例2.已知一個扇形的圓心角是120，面積是48，求弧長.鼓勵學生獨立思考或交流，發(fā)表自己的想法.設計意圖：讓學生對公式的運用

8、達到靈活的程度.先利用扇形面積公式列方程，解出半徑R，然后再代入弧長公式進行計算，讓學生明確弧長（或扇形面積），圓心角度數(shù)、半徑三個量中，只要知道其中的兩個量，就可以求出第三個量.七、公式的實際應用例3、制造彎形管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖中所示的管道的展直長度 L（結果取整數(shù)）師生活動：（1）學生分析題中條件和解題思路：管道由三個圖形組成（兩條線段和一條弧），要求展直長度L，需要知道兩條線段長和弧長；其中線段長已知，要求弧長需要知道圓心角和半徑；而圓心角和半徑題目都已經給出了，由弧長公式即可求出弧長，進而可求出展直長度L.（2）學生獨立完成解題過程，一名學生板書

9、，師生共同交流.設計意圖：通過實際問題，加深學生對弧長公式的認識.OABCD圖3例4、如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是 m，其中水面高 m，求截面上有水部分的面積（結果保留小數(shù)點后兩位）教師追問：（1）你能否在圖中標出截面半徑和水高？（2）分析截面上有水部分圖形的形狀，如何求它的面積？ABCDOR=900 mm 700 mm 700 mm師生活動：（1）教師通過問題引導學生分析解題思路，并畫出相應的圖形（圖3）.然后分析有水部分的形狀為弓形，從而確定可弓形面積的計算方法（扇形面積三角形面積）.進而通過已知求出相應線段和圓心角即可解決本題.（2）學生獨立完成解題過程，一名學生板書.（3）師生共同分析板書學生的解題過程.設計意圖：結合具體例子介紹弓形的面積，加深學生對扇形面積公式的認識.同時小結不規(guī)則圖形的解法：若圖形為不規(guī)則圖形時，要把它轉化為規(guī)則圖形來解決.練習 教科書第113頁練習第1、2、3題師生活動：兩名學生分別板書第2，3題，其他學生在練習本上完成，教師巡視、知道.然后小組交流，并評價.O設計意圖：練習1是對弧長公式進行辨析，半徑和圓心角的大小都對弧長的大小有影響.練習2是鞏固弧長公式.練習3是鞏固扇形的面積公式.八、小結 教師與學生一起回顧本節(jié)課