初中數(shù)學(xué)人教八年級下冊（2023年新編）第十七章 勾股定理“勾股定理”教學(xué)設(shè)計

1、“勾股定理”教學(xué)設(shè)計教 材：國家課程標(biāo)準(zhǔn)人教版教材八年級下冊勾股定理教材的地位與作用：勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價值。是幾何中重要定理，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)：1.知識目標(biāo)掌握勾股定理，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊能根據(jù)一已知邊和另兩未知邊的數(shù)量關(guān)系通過方程求未知兩邊。2.能力目標(biāo)通過勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強(qiáng)邏輯思維能

2、力，操作探究能力。3.情感目標(biāo)通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情通過定理的探索，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和和合作交流的能力。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理內(nèi)容及其簡單應(yīng)用。2、教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的證明，勾股定理在實際生活中的應(yīng)用。教學(xué)模式：本節(jié)的教學(xué)分為四步：情境引入知識講解綜合練習(xí)課堂小結(jié)的模式展開。教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題并與學(xué)生共同探索、討論。讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解勾股定理的意義。教學(xué)過程的設(shè)計一、情境引入創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)沖突 一個美麗的故事：有一個人拿著一根長為6米長的棍子，進(jìn)入寬5米，高

3、4米的大門,他橫著拿，進(jìn)不去，豎著拿，也進(jìn)不去，于是他想了一個好主意，干脆將其折斷，終于拿了進(jìn)去。請問同學(xué)們他這樣做是不是很聰明呀？ 讓你做的話，你會怎么辦？ 教師通過將實際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的三邊關(guān)系問題，從而出示課題勾股定理?！驹O(shè)計意圖】通過“一個美麗的故事”的閱讀，創(chuàng)設(shè)一個遐想的情境，誘發(fā)學(xué)生發(fā)揮想像，初步感受勾股定理的神秘，從而調(diào)動學(xué)生的情緒，使學(xué)生以飽滿的熱情進(jìn)入學(xué)習(xí)探究狀態(tài)。問題本身具有極大的挑戰(zhàn)性，這樣無形中激發(fā)了學(xué)生的強(qiáng)烈的求知欲，為學(xué)生主動探究課題做好了心理準(zhǔn)備。二、知識講解自主操作，引導(dǎo)探索圖2（一）定理探索1：等腰直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系出示如圖2所示圖形，說明圖中每個

4、小方格代表一個單位面積。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三個問題進(jìn)行個體主動探究與思考。問題1：你能說出正方形P，Q，R的面積及其數(shù)量關(guān)系嗎？問題2：你能說出正方形P，Q，R的面積和直角三角形三邊a，b，c之間的關(guān)系？問題3：你能說出等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系嗎？教師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學(xué)生的學(xué)習(xí)探究狀況，適時通過學(xué)生演示將學(xué)生的不同研究方法進(jìn)行全班交流。圖3（二）定理探索2：直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系出示如圖3所示圖形，說明圖中每個小方格代表一個單位面積。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩個問題進(jìn)行個體主動探究與思考。問題1：你能說出正方形P，Q，R的面積及其數(shù)量關(guān)系嗎？問題2：你能說出等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系嗎？教

5、師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學(xué)生的學(xué)習(xí)探究狀況，適時通過學(xué)生演示將學(xué)生的不同研究方法進(jìn)行全班交流。（三）定理探索3：驗證猜想圖4引導(dǎo)學(xué)生操作：在幾何畫板的格點(diǎn)中畫出直角邊為5cm、12cm的直角三角形，驗證你剛才的猜想是否成立。（圖中每個小方格的邊長為1cm）教師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學(xué)生的學(xué)習(xí)探究狀況，適時通過學(xué)生演示將學(xué)生的研究結(jié)果進(jìn)行全班交流。（四）定理探索4：得出結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生思考問題：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？如圖4，學(xué)生利用幾何畫板的動態(tài)演示，在運(yùn)動過程中注意觀察各個正方形面積的變化及其關(guān)系，從而得出勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖5，圖5即：若AB

6、C中， ACB90 ，則.變形：若ACB90，則教師在此基礎(chǔ)上介紹“勾，股，弦”的含義，進(jìn)行點(diǎn)題，結(jié)合直角三角形，讓學(xué)生從中體驗勾股定理蘊(yùn)含的深刻的數(shù)形結(jié)合思想。【設(shè)計意圖】八年級學(xué)生能獨(dú)立思考，有強(qiáng)烈的探究愿望，并能在探索的過程中形成自己的觀點(diǎn)，能在交流意見的過程中逐漸完善自己的觀點(diǎn)。故本段設(shè)計遵循“構(gòu)建主義”的學(xué)習(xí)理念，以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學(xué)知識意義的主動建構(gòu)。教師只是給學(xué)生提供一定的學(xué)習(xí)“情景”，在此“情景”中，學(xué)生通過“協(xié)作”、“會話”和“意義建構(gòu)”進(jìn)行有效學(xué)習(xí)。定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法進(jìn)行，在思想認(rèn)識上循序漸進(jìn)，學(xué)生容易接受。學(xué)生

7、在走完一步時，自然想到下一步是否可行。在得到猜想后自然會設(shè)法驗證自己的猜想的正確性，借助于幾何畫板順利“得出正確結(jié)論”。（五）定理證明分組學(xué)習(xí)，集體交流勾股定理的證明方法有數(shù)百種之多，現(xiàn)列舉三種典型證法。請根據(jù)老師分組選取一種證法加以研究，并將結(jié)果與其他小組進(jìn)行交流！證法一拼圖法藏與拼圖游戲中的巧妙的證明方法，如圖8。 圖81.操作：請將下面8個全等的直角三角形和3個正方形拼入下面的兩個邊長為a+b的大正方形中。2.請根據(jù)拼圖結(jié)果證明勾股定理。證明：由左圖可知：；由右圖可知：；所以。圖9圖10證法二弦圖法三國時期（約公元三世紀(jì)）趙爽的勾股圓方圖的證明方法，如圖9。1.操作：請拖動控制點(diǎn)并仔細(xì)觀

8、察。2.請根據(jù)操作和觀察結(jié)果證明勾股定理。證明：當(dāng)控制點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)時當(dāng)控制點(diǎn)在正方形ABCD外時證法三原本法希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德的幾何原本的證明方法，如圖11。1.操作：請在C點(diǎn)運(yùn)動過程中觀察矩形ADNM、BENM和正方形ACHK、BCGF的面積關(guān)系。2.請根據(jù)觀察結(jié)果證明勾股定理。證明：證明：在RtABC的三邊上向外各作一個正方形（如圖），圖11作CNDE交AB于M，那么正方形被分成兩個矩形連結(jié)CD和KB由于矩形ADNM和ADC有公共的底AD和相等的高，矩形ADNM2ADC又正方形ACHK和ABK有公共的底AK和相等的高，正方形ACHK2ABK在ADC和ABK中ADAB，ACAK，CA

9、DKABADCABK由此可得矩形ADNM正方形ACHK 同理可證矩形BENM正方形BCGF 正方形ABED矩形ADNM矩形BENM正方形ACHK正方形BCGF即。【設(shè)計意圖】本段采用小組合作學(xué)習(xí)方式進(jìn)行，學(xué)生按教師事先分好的小組以小組為單位進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，每個小組選擇一種證法進(jìn)行研究。每個小組有4名成員，位置相鄰，便于所有的人都能參與到明確的集體任務(wù)中。小組成員之間相互依賴、相互溝通、相互合作，共同負(fù)責(zé)，從而達(dá)到共同的目標(biāo)。在集體學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，每組推選一位同學(xué)代表本組進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，主要時將本組證法的思路講清，同時同組同學(xué)可以補(bǔ)充或糾錯。其他小組此時則通過聆聽對他組的證法進(jìn)行學(xué)習(xí)。三、綜合練習(xí)實際

10、應(yīng)用、鞏固新知（一）定理應(yīng)用1：1、 ABC中，C=90若a=3cm, b=4cm,則c= _cm若a=12cm, c=13cm,則b= _ cm若c=17cm, a =8cm,則b= _ cm2.如圖，在ABC 中，CD垂直于AB于D,AB=AC=13,BD=1求：（1）CD的長；（2）求BC的長?！驹O(shè)計意圖】本段內(nèi)容主要通過教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生共同探究完成，一方面讓學(xué)生感受解決問題的愉悅與強(qiáng)烈的成就感，加強(qiáng)對勾股定理的理解。另一方面教師作為教學(xué)的組織者，很有必要通過適當(dāng)?shù)闹v解讓學(xué)生知道：（1）勾股定理應(yīng)用的前提條件（在直角三角形中）；（2）勾股定理應(yīng)用的方式（直接計算，如例1，構(gòu)造方程，如例

11、2）。（二）定理應(yīng)用2：你會運(yùn)用嗎？這節(jié)課的內(nèi)容掌握得怎么樣？同學(xué)們很想檢驗一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果吧！請同學(xué)們根據(jù)需要選擇下面不同難度的題目，（1）輕松過關(guān)；（2）略加思考；（3）勇于挑戰(zhàn)。（題目略，可參考課件）【設(shè)計意圖】本段遵循“因材施教”，“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”，“讓不同的人得到不同的發(fā)展”的教學(xué)理念。嘗試進(jìn)行分層練習(xí)，以適合不同層次的學(xué)生的需要，讓所有學(xué)生都能體驗成功，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對優(yōu)秀學(xué)生則通過較難的具有挑戰(zhàn)性的練習(xí)體現(xiàn)他們的“價值”。練習(xí)提供查看答案，及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。對練習(xí)全部正確的同學(xué)，給出“祝賀”，否則，給出鼓勵，強(qiáng)化學(xué)生的情感體驗。四課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪

12、些收獲？你能談?wù)勀銓@節(jié)課的感受嗎？【設(shè)計意圖】一個好的小結(jié)，不只是對課堂內(nèi)容的簡單回顧，還是對所用數(shù)學(xué)思想、方法的總結(jié)，學(xué)生通過自己的總結(jié)，不僅促進(jìn)了對知識的理解，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)表達(dá)能力和概括能力，而且通過歸納反思，能有效地把握知識的脈搏，找到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這對于學(xué)生主動構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)大有裨益，也讓學(xué)生從中學(xué)會感悟數(shù)學(xué)。五、課堂拓展課堂延伸，滿足需要課堂延伸包括如下內(nèi)容：美麗的勾股樹讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時，了解勾股樹的構(gòu)造。勾股史話讓學(xué)生了解勾股定理的歷史與現(xiàn)狀。網(wǎng)上搜索給學(xué)生提供一個更為廣闊的學(xué)習(xí)和思維空間?！驹O(shè)計意圖】課堂從廣義上講是開放的，教師在授課時，不僅要傳授學(xué)生必要的知識，更要打開學(xué)生的思路，給學(xué)生提供更為廣闊的空間，引領(lǐng)學(xué)生課后去探索，從而讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。在當(dāng)今的網(wǎng)絡(luò)社會，學(xué)生尤其要善于在網(wǎng)上“淘金”，滿足自己學(xué)習(xí)的需要。網(wǎng)上學(xué)習(xí)必將成為未來的最為重要的學(xué)習(xí)方式。六、布置作業(yè)：習(xí)題 1，2，3通過上網(wǎng)，搜索有關(guān)勾股定理的知識：如（1）勾股定理的歷史；（2