高數(shù)矩陣的初等變換

1、高數(shù)矩陣的初等變換第1頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四簡單回顧矩陣的定義矩陣的相等矩陣的乘法和線性方程組的關(guān)系第2頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四n元線性方程組n元線性方程組n元線性方程組定義齊次(線性)方程組方程組中的矩陣：系數(shù)矩陣和增廣矩陣階梯形方程組上三角形方程組階梯形方程組能化為上三角形的必要條件是m=n.加減消元法解方程組就是通過同解變形化為如下結(jié)果第3頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四系數(shù)矩陣和增廣矩陣?yán)?. 2. 1三元線性方程組的和分別是系數(shù)矩陣增廣矩陣 由矩陣乘法，線性方程組可表示為AX=B，那么如何

2、由矩陣變換來解線性方程組呢？第4頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四1.初等變換消元法解線性方程組的實(shí)例引入初等變換的增廣矩陣是第5頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四的增廣矩陣是1) 2, 消去中的x1, 得到一個同解方程組第6頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四的增廣矩陣是2) 消去中的x2, 又得同解方程組第7頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四 , 得到同解方程組的增廣矩陣是第8頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四上述增廣矩陣的變化對應(yīng)著方程組的同解變換，這就是矩陣的初等變換，

3、另加一種對矩陣來說是很有用的變換：交換矩陣的兩行，就得到矩陣的三種行初等變換。第9頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四初等變換的定義初等行變換( 1 ) 交換 A 的第 i 行與第 j 行，記作Ri Rj ； ( 2 ) 用一個非零實(shí)數(shù)：乘以 A 的第 i 行，即用該數(shù)乘以該行的每個元素，所得各數(shù)按原來次序作為同一行的元素，記作 Ri c； ( 3 ) 用一實(shí)數(shù)c乘以 A 的第 j 行（如（ 2 ）中所述）后，再加到 A 的第i 行上，記作 Ri Rj c（稱為第 i 行加上第 j 行的c倍），當(dāng)c 0 時，也記作 Ri Rj c. 初等列變換 當(dāng)上述三種變換中的行改為列

4、時，我們稱為 A 的三種初等列變換（列變換不能簡單地用于解線性方程組）第10頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四用矩陣的初等行變換解線性方程組解:根據(jù)矩陣相等的定義,必有:例 求解未知數(shù)，使下列兩矩陣相等。這里，第11頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四整理得它的增廣矩陣第12頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四對增廣矩陣做行初等變換因第一行第一列的元素為0，因此將矩陣的第一、二兩行交換，使得第一行第一列的元素不為0，這樣就可以通過如下的行變換把矩陣化為第一列只有一個非零元(處在第一行，最好取為1)的矩陣.然后保持第一行不動，只

5、對矩陣第二行以后的元素做初等行變換.此時如果第二列處在第二行之后的元素不都為0，則把由第二行和第二列以后的元素構(gòu)成的小一階的矩陣再重復(fù)實(shí)行上述變換;如果第二列的處在第二行以后的元素全為0，則直接從第三列的處在第二行之后的元素進(jìn)行同樣的處理.反復(fù)進(jìn)行這個過程，我們就可以通過初等行變換將一個矩陣化為上三角形方程組的增廣矩陣，然后就很容易把方程組的解求出來. ( 板演過程 ) 最終得解為第13頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四2. 階梯形矩陣 解方程組就是將它的增廣矩陣通過初等變換化為上三角矩陣（更一般的應(yīng)該是階梯形矩陣）定義（教材136頁） “右下方”而不能是”下方”!其中

6、( 1 ) , ( 2 ) , ( 4 )是階梯形矩陣；而( 3 )不是，因為其第 5 行非零首元 3 不在上一行非零首元1 的右下方，而是在1 的正下方若它們作為增廣矩陣，對應(yīng)的方程組是什么？第14頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四定理階梯形矩陣的秩(rank)：即其非零行數(shù).矩陣A的秩：任一矩陣A化成的階梯形矩陣具有的非零行數(shù)。記為r(A).定理 初等變換不改變矩陣的秩.即r(A)是唯一的。初等變換對應(yīng)著方程組的求解,求秩就是確定方程組真正的個數(shù)?！按蚣佟?！ 任意矩陣A均可經(jīng)有限次初等行變換化為階梯形, 且所有化成的階梯形矩陣都具有相同個數(shù)的非零行(即該行至少有一個

7、元素不為零).注 秩的另一種定義是矩陣中最大的非零子(行列)式的階數(shù), 初等變換不改變行列式的非零性，秩不變.教材沒有定義一般矩陣的秩!因為它們對應(yīng)的不同方程組都是同解的。不變的神韻！第15頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四例將下列矩陣化為階梯形并求秩:第16頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四階梯形矩陣的形式不唯一.我們可以化得更簡單些。 n 元方程組的解對應(yīng)著下述矩陣的形式， 因此利用矩陣的行初等變換解n元線性方程組時，最終應(yīng)化為如下形式:第17頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四3. 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣（教材中沒有定義卻有例題）

8、定義 如果 mn 階矩陣 (aij )mn 滿足 aii= 1，i =1, 2, , r ( 其中r不大于m和n )，除此以外所有元素均為0，則稱該矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. 從以上的例子中不難看出，每個矩陣都可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形. 可以證明, 標(biāo)準(zhǔn)形的得到與施行怎樣的初等變換（不管是行變換還是列變換,通常要用到列變換）無關(guān)，即所有矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形都與原矩陣具有相同的秩。因此標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是唯一的。第18頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四例1.1.6 化下列矩陣為階梯形和標(biāo)準(zhǔn)形，并求秩：標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩等于其非零元素1的個數(shù)。每個矩陣都可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。第19頁，共2

9、5頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四討論:下列兩個矩陣的秩是否相等?第一組后一矩陣R1+R3=R2!第二組前一矩陣R1+R2+R3得到前一矩陣的R1，由R2+R3得到R2，初等變換不改變矩陣的秩!第20頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四解下列矩陣方程:AX=Bi對應(yīng)的線性方程組的增廣矩陣是第21頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四解矩陣方程:AX=B2的過程是否與前面一樣?需要作相應(yīng)改變的只是第四列,步驟一點(diǎn)兒也不變!-2-2第22頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分，星期四 上面的過程合并到一起，就是解矩陣方程AX=I，可以放到一個大矩陣中進(jìn)行，如右上。 令 I 是單位矩陣，對于數(shù)，若 ax = 1, x 是 a 的倒數(shù)，那么這里的矩陣X與A是什么關(guān)系呢？有什么用呢？咱們下節(jié)課繼續(xù)討論。第23頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)50分