初中數(shù)學(xué)北師大八年級下冊（2023年修訂） 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)-“半角”模型

1、圖形的旋轉(zhuǎn)“半角”模型成都市龍泉驛區(qū)雙槐中學(xué)校 李富林一、問題分析1.從中考題目層面分析數(shù)學(xué)中考圖形的旋轉(zhuǎn)是關(guān)于幾何綜合的壓軸題，分值為10分，問題設(shè)置為3個小問。本題的問題設(shè)置層層遞進，前后的關(guān)聯(lián)性比較強。由于本題的圖形比較復(fù)雜，幾乎涉及了初中階段的所有幾何知識，對學(xué)生的綜合能力要求也非常高，因此，學(xué)生本題得分率一般不超過0.2，特別是在解決第二問和第三問時，存在非常大的困難，學(xué)生的畏難情緒很大。2.從知識層面分析圖形的變換是以平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱三大幾何變換為主線，綜合了初中幾何的圖形初步、相交線與平行線、三角形、全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四邊形、圓等章節(jié)的概念、公理、定理等知識

2、結(jié)構(gòu)。3.從知識層面分析圖形的變換是重點考察學(xué)生的邏輯思維能力和解決圖形的能力。此題沒有固定題型和固定解法，主要考察重要模型的建立、常見思路的總結(jié)。其核心要素是：學(xué)生要善于從綜合復(fù)雜的圖形中識別和構(gòu)造出基本圖形及基本的圖形關(guān)系。圖形的變換是需要運用觀察、分析、綜合 、猜想、證明等多種思維方法，對概念、定理、基本圖形、輔助線的構(gòu)造方法理解透徹，本題的探究活動才能順利展開。二、學(xué)情分析 1.從心理層面分析圖形的變換是中考幾何壓軸題，幾何壓軸題對綜合知識和綜合能力的要求極高，對學(xué)生是一種挑戰(zhàn)。學(xué)生存在心理恐懼。2.從知識層面分析 圖形的變換基本含蓋了初中所有幾何知識，初中幾何概念多、定理多、方法多。

3、在中考復(fù)習(xí)中，要梳理、掌握并熟練應(yīng)用這些幾何知識會很難，在解此題時，遺忘或疏漏某個知識點，整個題就很難做出來。3.從能力層面分析圖形的變換是需要抽象的思維能力，邏輯推理與判斷能力，空間想象能力，數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運算能力，數(shù)學(xué)語言與符號表達能力。如果沒有這些能力，圖形的變換的二三個問很難下手，往往因模型思想的缺失作不出輔助線，因計算能力和表達能力的不足很難將題解正確。三、策略分析基于對問題和學(xué)情分析，圖形的變換對于學(xué)生來說的確很難。作為老師，如何有效進行圖形的變換復(fù)習(xí)，讓學(xué)生建立有效的幾何方法，我們應(yīng)該從以下幾個方面入手：一是注意觀察、分析基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)建基本圖形；二是掌握常

4、規(guī)的證明方法和思路；三是運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運用方程思想解決計算問題。思維導(dǎo)引流程圖 在圖形的變換的教學(xué)中，基本圖形是核心，模型構(gòu)建是關(guān)鍵，思想方法是導(dǎo)向，能力培養(yǎng)是宗旨。基于此，在全體教研組老師的共同研究下，我們梳理出了幾何變換綜合題的解題思路的基本模型。在圖形的變換的教學(xué)中，基本圖形是核心，模型構(gòu)建是關(guān)鍵，思想方法是導(dǎo)向，能力培養(yǎng)是宗旨?；诖?，在全體教研組老師的共同研究下，我們梳理出了幾何變換綜合題的解題思路的基本模型。幾何主要有三種變換：平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，平移變換模型主要是全等型，對稱變換主要是將軍飲馬模型（即最短距離模型）。經(jīng)研究，近三年中考圖形的變換的圖形變換主要是旋

5、轉(zhuǎn)模型，旋轉(zhuǎn)模型是通過對旋轉(zhuǎn)變換的基本模型再造模型變換，從而構(gòu)建思想方法、形成解題思路、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)變換主要有五種模型。通過旋轉(zhuǎn)變換的研究，建立了分離圖形的思想，從而從復(fù)雜圖形中找出我們常見的基本圖形變換，構(gòu)建輔助線進行解題。下面，我們一起來認識這五種常見的旋轉(zhuǎn)變換模型。近三年圖形的變換的圖形變換都是旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)變換還是近幾年全國中考幾何綜合題的熱門考點，通過對旋轉(zhuǎn)變換的分析，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)主要有以上五種旋轉(zhuǎn)變換類型，通過旋轉(zhuǎn)變換的研究，建立了分離圖形的思想，從而從復(fù)雜圖形中找出我們常見的基本圖形變換，構(gòu)建輔助線進行解題。下面，我們一一來介紹這五種常見的旋轉(zhuǎn)變換

6、。（二）五種常見旋轉(zhuǎn)變換模型1.旋轉(zhuǎn)變換全等型 條件：OAB，OCD均為等邊三角形 結(jié)論：（1）OACOBD，（2）AEB=60 （3）OE平分AED圖形變換：基本圖形可以變?yōu)榈妊苯侨切魏偷妊切巍?.旋轉(zhuǎn)變換相似型 條件：CDAB，將OCD旋轉(zhuǎn)到右圖位置 結(jié)論：（1）OCDOAB；（2）延長AC交BD于D，則有BEC=BOA圖形變換：基本圖形可以變?yōu)轫斀菫?0。3.旋轉(zhuǎn)變換半角型 條件:（1）正方形ABCD；（2）EAF=45結(jié)論：（1）EF=DF+BE；（2）CEF的周長是正方形ABCD的一半；（3）其逆命題也成立。圖形變換：圖形可以由正方形變換成等腰直角三角形，120的等腰三解形，

7、正三角形和某些特殊角的三角形。4.旋轉(zhuǎn)變換對角互補型條件：（1）AOB= DCE=90；（2）OC平分AOB 結(jié)論：（1）CD=CE；（2）OD+OE=2OC；(3)SODCE=SOCD+SOCE=1/2OC2 圖形變換：對角互補且具有2倍角的關(guān)系；任意角的關(guān)系。5.旋轉(zhuǎn)變換倍長中線型 條件：（1）梯形ABCD；（2）F是腰DE的中點 結(jié)論：S梯形ABCD=SABH 圖形變換：梯形變?yōu)槠叫兴倪呅?。通過以上基本模型分析，在解題中，將復(fù)雜的幾何變換的綜合題，轉(zhuǎn)換為基本的模型，從而找到作輔助線的方法來構(gòu)建新的基本圖形，打開解決問題的通道，從而化繁為簡，解答較難的幾何綜合題。下面，我將以半角模型為例，

8、為大家解答如何化繁為簡來解幾何綜合題。四、模型解題案例分析圖形的旋轉(zhuǎn)“半角”模型的構(gòu)建與幾何綜合應(yīng)用（一）課前導(dǎo)練，知識儲備 如圖，ABC逆時針旋轉(zhuǎn)45得到ABC 你能得到哪些結(jié)論？師生活動：師：演示旋轉(zhuǎn)圖形變換，引導(dǎo)學(xué)生回顧旋轉(zhuǎn)相關(guān)的知識；回顧旋轉(zhuǎn)相關(guān)的知識。媒體應(yīng)用：PPT動畫演示。設(shè)計意圖：通過對旋轉(zhuǎn)圖形的回顧，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)形成知識的鋪墊。尤其是旋轉(zhuǎn)前面對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，對應(yīng)圖形全等，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)非常有用。（一）中考再現(xiàn)，挑戰(zhàn)極限（2023年武漢）如圖,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,點D.E都在邊BC上,DAE=60.若BD=2CE，則DE的長為_.師生活動：生：

9、學(xué)生獨立完成；師：巡視學(xué)生解答情況，統(tǒng)計學(xué)生做題情況。媒體應(yīng)用：PPT展示題目設(shè)計意圖：這是2023年武漢中考題，以中考題為例，讓學(xué)生挑戰(zhàn)中考最高難度的試題，此題以我們的學(xué)生為例，沒有學(xué)生有解題思路，更難說具有模型思想，以此題為例：一是檢驗學(xué)生是否具有模型思想解題能力，二是引發(fā)學(xué)生認知沖突，為模型思想解題作鋪墊，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。那么，我們又如何建立模型思想為學(xué)生搭建橋梁，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力呢？（二）再現(xiàn)經(jīng)典，建立模型 如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若EAF45，求證：EF=DF+BE。 分析1：利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等1.把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到則C,D，共線；

10、2.易證AEFAEF3.分析2：利用軸對稱變換構(gòu)造全等1.作點B關(guān)于AE得對稱點，則ABE2.易證ADF，且E，,F共線3.EF=+=FD+BE 總結(jié)結(jié)論：得出半角模型的概念 模型1：正方形中的半角模型 特征：從正方形頂點出發(fā)的兩條線所夾角是正方形內(nèi)角的一半； 方法：1.把半角一側(cè)的三角形，通過旋轉(zhuǎn)變換或軸對稱變換構(gòu)造新的全等三角形來轉(zhuǎn)換邊和角，以此探究新的邊邊關(guān)系； 2.截長補短，勾股定理等師生活動：師生共同合作，分析圖形變換，構(gòu)建初步模型，建立解題方法。媒體應(yīng)用：PPT展示；幾何畫板演示；平板拍照上傳。設(shè)計意圖：這是一個常見的幾何模型，其條件是內(nèi)含45角的正方形，證明DE、EF、DF三邊關(guān)

11、系。此模型將利用旋轉(zhuǎn)或軸對稱構(gòu)造新的全等，再通過轉(zhuǎn)換邊角得出結(jié)論。通過證明探究過程，引出半角模型。特征：從正方形頂點出發(fā)的兩條線所夾角是正方形內(nèi)角的一半； 方法：把半角一側(cè)的三角形，通過旋轉(zhuǎn)變換或軸對稱變換構(gòu)造新的全等三角形來轉(zhuǎn)換邊和角，以此探究新的邊邊關(guān)系；（三）改變圖形，再造模型再造模型1：正方形中的半角模型如圖，正方形ABCD中，點E,F分別在BC,CD的延長線上且EAF=45，則BE,FD,EF又有怎樣的關(guān)系呢？1.把ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到ABF；易證AEFAEF；.BE師生活動：師：改變圖形，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究圖形變換，體會半角模型中的變。生：通過圖形改變，繼續(xù)深入探究方法，從

12、而體會圖形變換中不變，訓(xùn)練圖感。媒體應(yīng)用：幾何畫板；PPT課件；平板互動。設(shè)計意圖：根據(jù)中考27題層層遞進、前后關(guān)聯(lián)出題規(guī)律，一、二問之間通過圖形變換互通關(guān)系。下面我們改變圖形，將點E,F分別在BC,CD的延長線上，讓學(xué)生繼續(xù)研究和認識半角模型及其變化變換特征。此探究可以用上面模型的探究方法找到結(jié)論。如圖，等腰RtABC中，BAC90，點M,N在BC上，且MAN45，試探究線段BM,MN,NC之間的數(shù)量關(guān)系。結(jié)論：MNBMNC師生活動：師：教師分離圖形，從正方形等腰直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生進一步進行探究。生：類比前面兩種半角模型的探究方式，尋找半角模型在等腰Rt三角形中的規(guī)律。媒體應(yīng)用：幾何畫板；

13、PPT課件；平板翻轉(zhuǎn)。設(shè)計意圖：我們再對圖形變換，連接BD，將圖形分離，使半角模型建立在等腰Rt三角形中，繼續(xù)用半角模型研究BM、MN、NC的三邊關(guān)系。我們?nèi)匀粚⑶懊嫜芯康男D(zhuǎn)方法，通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換思想，將三邊轉(zhuǎn)換到MCN中，再利用半角的變換，得到MCN是底角的2倍，即為90，找到RtMCN，從而得出大概三邊之間的關(guān)系。從正方形半角模型直角三角形半角模型，逐步體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。再造模型3：的等腰三角形半角模型如圖，在ABC中，AB=AC，且BAC，點M,N在BC上，且MAN 師生活動：師：繼續(xù)圖形變換，從等腰直角三角形的半角的等腰三角形的半角模型正三角形有半角模型，引導(dǎo)學(xué)生進一步的探究，

14、形成半角模型研究和解題方法。生：從圖形的多種變換，認清圖形變換從的變與不變，形成研究半角模型的基本原理，掌握基本，形成基本解題思路，為半角模型幾何變換綜合題的解題作好鋪墊。媒體應(yīng)用：幾何畫板；PPT課件；平板互動。設(shè)計意圖：我們繼續(xù)改造圖形，把等腰直角三角形變換為120的等腰三角形，同樣可以將三邊關(guān)系轉(zhuǎn)換到MCN中，再用2倍角關(guān)系得到MCN=60，從而引導(dǎo)學(xué)生作垂線段構(gòu)造直角三角形，再利用三角函數(shù)、勾股定理等，建立方程或函數(shù)解三邊關(guān)系。半角模型解題方法總結(jié)：通過以上對半角模型的研究，讓學(xué)生深刻體會到圖形變換中的不變的本質(zhì)，變：圖形變換，不變：模型思想、轉(zhuǎn)換方法等。抓住不變規(guī)律是解題之根本。（四

15、）模型應(yīng)用，解答疑惑 （2023年武漢）如圖,在ABC中,AB=AC=,BAC=120,點D.E都在邊BC上,DAE=60.若BD=2CE，則DE的長為_. 師生活動：生：用半角探究思路、模型結(jié)論、思想方法、解題技巧，再次解解答的中考難題。師：引導(dǎo)學(xué)生運用模型思想，建議方法，解答疑惑。媒體應(yīng)用：PPT課件展示；平板互動。設(shè)計意圖：有了以上模型思想和方法的建立，也為了驗證模型思想在解題應(yīng)用中的效果，得到化繁為簡、增強解題信心的效果，我讓學(xué)生再解2023年武漢中考題，學(xué)生很快就會找到解決此題的思路，通過此題可以增加學(xué)生信心，消除對幾何綜合題的恐懼心理。 （五）舉一反三，應(yīng)用模型 1.（2023年黃

16、埔區(qū)二模試題）已知：RtABC斜邊AB上點D,E,滿足DCE=45.(1)如圖1,當(dāng)AC=1,BC=3，且點D與A重合時，求線段BE的長；(2)如圖2,當(dāng)ABC是等腰直角三角形時,求證：AD2+BE2=DE2；(3)如圖3，當(dāng)AC=3，BC=4時，設(shè)AD=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域。師生活動：師：快速引導(dǎo)學(xué)生利用熟悉的模型解決一、二個問，并引導(dǎo)學(xué)生用半角模型思想和和探究方法解決第三個問。生：從半角模型研究方法中，以不變應(yīng)萬變，繼續(xù)深入研究半角模型，從而將模型思想轉(zhuǎn)化為自己分析問題、解決問題的能力。媒體應(yīng)用：PPT展示；平板互動。設(shè)計意圖：為了再次激發(fā)學(xué)生的認識沖突，達到

17、做一題、通一法、會一類的目的，我們再來看一道幾何綜合中考題，此題在第三問中再次對圖形改造，將等腰直角三角改造成任意直角三角形，再利用半角模型進行研究，此小問由于兩直角邊不等，我們無法將三邊轉(zhuǎn)換到一個三角形中，但是有了前面構(gòu)造直角三角形的思想，我們可以再用作輔助的方法構(gòu)造Rt三角形，再根據(jù)新的邊邊關(guān)系用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系解答此題。從等腰三角形不等腰三角形，進一步體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。再次感悟半角模型中以不變迎萬變的解題思路。應(yīng)用模型，自主創(chuàng)新（自編試題）已知，ABC中，AB=AC，如圖1，BAC=150，DAE=75，BD=6，DE:EC=2:1，求EC的長；如圖2，DAE=1/2BAC

18、，D是BE的中點，AED=67.5，求BAC的度數(shù)。師生活動：師生共同合作，完成構(gòu)圖，并賦數(shù)據(jù)進行計算。媒體應(yīng)用：幾何畫板；小黑板等；平板互動。設(shè)計意圖：通過半角模型的研究，我們找到了半角模型的本質(zhì)是通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等，探究新的邊邊關(guān)系，其核心是半角。通過研究，我們找到了這種模型的規(guī)律，從而創(chuàng)編了這個題。通過圖形的不斷改造，從特殊到一般研究思想，半角模型適用于任何三角形嗎？為給優(yōu)秀的學(xué)生留一點思維的空間，激發(fā)他們繼續(xù)研究半角模型的熱情，在課后，我將讓學(xué)生繼續(xù)探究一般三角形的半角模型，編寫相應(yīng)的試題，發(fā)微視頻在班級群里共享。五、整理小結(jié)，形成方法半角模型圖形變換 反思：把半角一側(cè)的三角形通過旋

19、轉(zhuǎn)變化或軸對稱變化構(gòu)造新的全等三角形來轉(zhuǎn)換邊和角以此探究新的邊邊關(guān)系；探究邊邊關(guān)系其實就是勾股定理或解三角形的應(yīng)用；有時也會用已知的半角去構(gòu)造該模型解決問題。師生活動：師生共同梳理本節(jié)課的圖形變換、建模思想、思想方法、解題技巧。媒體應(yīng)用：PPT展示設(shè)計意圖：通過對半角模型的研究，并對圖形的不斷再造，為學(xué)生找到解幾何變換綜合題的思維方法，讓學(xué)生利用模型思想，以不變迎萬變的方法解幾何綜合題，從而將復(fù)雜問題簡單化，將繁瑣問題容易化。半角模型只是幾何模型的一種，在以后的教學(xué)中，我會繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生研究其它的模型，以模型思想來解27題，徹底消除學(xué)生對27題的恐懼心理。星級達標(biāo)：1.如圖，在RtABC中，AB

20、AC，D，E是斜邊BC上兩點，且DAE45，將ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到AFB，連接EF，下列結(jié)論：AEDAEF；ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；BE2DC2DE2；BEDCDE，其中正確的是_(只填序號)2.在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,且EAF=CEF=45.(1)將ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90,得到ABG(如圖),求證：AEGAEF；(2)若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點M,N(如圖),求證：EF2=ME2+NF2；(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形,若其余條件不變(如圖)，請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)反思： 基于旋轉(zhuǎn)變換幾何變換綜合題，考察學(xué)生綜合運用能力和識圖能力。此題沒有固定題型和固定解法，主要考察：重要模型的建立、常見思路的總結(jié)。其核心是：從綜合復(fù)雜的圖形中識別和構(gòu)造出