數(shù)學(xué)高三專題復(fù)習(xí)-向量專題三角形四心與向量關(guān)系(附向量知識點(diǎn))

1、煙臺芝罘區(qū)數(shù)學(xué)2015年高三專題復(fù)習(xí)-向量專題（1）三角形四心與向量關(guān)系-內(nèi)心、外心、重心、垂心（附向量知識點(diǎn)） 煙臺樂博士教育特供 明老師整理一、三角形四心知識點(diǎn)（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、向量知識點(diǎn)零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行 單位向量：模為1個單位長度的向量 向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也稱為共線向量向量

2、加法=向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：，但這時必須“首尾相連”實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則，若，則若=(x,y)，則=(x, y)若，則若，則，向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表

3、示和性質(zhì) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積向量的模與平方的關(guān)系：乘法公式成立： ；向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題補(bǔ)充：線段的定比分點(diǎn) 三、三角形四心與向量關(guān)系典型例題：例1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A

4、外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點(diǎn)./點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，即選.例2：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ B ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，即選.三、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè) 是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為