彩漆銷售問題的模型分析

1、彩漆銷售問題的模型分析摘要針對(duì)題目的要求，本題采用分塊逐層深入的方法，首先分析售價(jià)與預(yù)期銷售 量之間的關(guān)系以及銷售增長(zhǎng)因子與廣告費(fèi)之間的關(guān)系，廣告費(fèi)會(huì)影響銷售增長(zhǎng)因 子，實(shí)際銷售量與銷售因子和預(yù)期銷售量存在一定關(guān)系，又因?yàn)槭蹆r(jià)與預(yù)期銷售 量存在一定關(guān)系，因此最終由售價(jià)和廣告費(fèi)決定彩漆銷售的利潤(rùn)，建立它們之間 函數(shù)關(guān)系即可解決問題。問題一，根據(jù)題目中表一的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式擬合的方法，通過計(jì)算和分析， 建立起售價(jià)與預(yù)期銷售量的函數(shù)關(guān)系，得到它們之間的函數(shù)關(guān)系式。問題二，根據(jù)題目中表二的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合的方法，通過計(jì)算和 分析，建立起廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式。問題三，找出彩漆銷售得到

2、的利潤(rùn)與廣告費(fèi)和售價(jià)的關(guān)系，進(jìn)一步分析得到 它們之間的函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造方程，利用最優(yōu)化問題中的單純形計(jì)算法求出最優(yōu) 解以及最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果。關(guān)鍵詞：函數(shù)關(guān)系、多項(xiàng)式擬合、最優(yōu)化、1問題重述某公司有一批以每桶2元購(gòu)進(jìn)的彩漆，為了獲得較高的利潤(rùn)，希望以較高的 價(jià)格賣出，但價(jià)格越高，售出量就越少，二者之間的關(guān)系由表一給出。于是打算 增加廣告投入來促銷。而廣告費(fèi)與銷售量的關(guān)系可由銷售增長(zhǎng)因子來描述。例如， 投入3萬(wàn)元的廣告費(fèi)，銷售因子為1.85,意味著做廣告后的銷售量將是未做廣 告銷售量的1.85倍。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷售因子的關(guān)系如表2,現(xiàn)請(qǐng)你作出決策：投入多少?gòu)V告費(fèi)和售價(jià)為多少時(shí)所獲得

3、的利潤(rùn)最大?表1售價(jià)2. 002. 503. 003. 504. 004. 505. 005. 506. 00預(yù)期銷售量（千桶）413834322928252220表2廣告費(fèi)（千元）010203040506070銷售增長(zhǎng)因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 802問題分析本題是一道關(guān)于銷售利潤(rùn)最大化的問題。利潤(rùn)的制約因數(shù)有彩漆銷售過程中 的廣告費(fèi)用、銷售增長(zhǎng)因子、售價(jià)以及預(yù)期銷售量，主要問題是要找出各個(gè)制約 因數(shù)之間的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用MATLAB中的相關(guān)知識(shí)來求解，最終得 到結(jié)果。在問題一中，根據(jù)題目中表一提供的數(shù)據(jù)，進(jìn)行曲線擬合，以得到售價(jià)

4、與預(yù) 期銷售量之間的函數(shù)關(guān)系。在問題二中，根據(jù)題目中表二提供的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式擬合的方法進(jìn)行曲線 擬合，通過計(jì)算和分析，建立廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式。在問題三中，通過問題一和問題二的分析，可以找出彩漆銷售得到的利潤(rùn)與 廣告費(fèi)和售價(jià)的關(guān)系，再進(jìn)行進(jìn)一步分析得到它們之間的函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造方程， 再利用最優(yōu)化問題的解決辦法求解。3模型假設(shè)1）售價(jià)與預(yù)期銷售量存在嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系2）銷售因子與廣告費(fèi)之間存在嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系3）廣告的效果完全達(dá)到理想效果4）實(shí)際銷售量等于未做廣告的銷售量與銷售因子的乘積5）所有彩漆不存在質(zhì)量問題6）彩漆在銷售過程中不會(huì)出現(xiàn)任何虧損的現(xiàn)象7）所有彩漆全部按照預(yù)期價(jià)格售

5、完4符號(hào)說明s:售價(jià)g:廣告費(fèi)y：預(yù)期銷售量f：獲得的利潤(rùn)X：銷售增長(zhǎng)因子z:做廣告后的銷售量fl:售價(jià)與預(yù)期銷售量的關(guān)系f2:廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的關(guān)系5模型建立及求解在本模型中，利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合的方法，建立起售價(jià)與預(yù)期銷售量的函數(shù) 關(guān)系式以及廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題目意思建立起彩漆銷 售得到的利潤(rùn)與廣告費(fèi)和售價(jià)的關(guān)系，再進(jìn)行進(jìn)一步分析得到各變量之間的函數(shù) 關(guān)系式，構(gòu)造方程，再利用最優(yōu)化求出最大利潤(rùn)以及對(duì)應(yīng)的廣告費(fèi)和售價(jià)?！締栴}一】根據(jù)表一提供的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式擬合的方法進(jìn)行曲線擬合，以得到售價(jià)與 預(yù)期銷售量之間的函數(shù)關(guān)系。表1售價(jià)2. 002. 503. 003. 50

6、4. 004. 505. 005. 506. 00預(yù)期銷售量（千桶）413834322928252220首先畫出售價(jià)與預(yù)期銷售量的散點(diǎn)圖，初步分析他們之間可能存在的關(guān)系， 以便進(jìn)行函數(shù)擬合，因此編輯程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;plot（s,y,*r）xlabel（s售價(jià)（元），ylabel（y預(yù)期銷售量（千桶）title（售價(jià)與預(yù)期銷售量的散點(diǎn)圖）運(yùn)行以上程序得到售價(jià)與預(yù)期銷售量的散點(diǎn)圖由下圖所示：通過分析得知，售價(jià)與預(yù)期銷售量可能存在形如y=a*x+b的一次線性關(guān)系， 于是利用多項(xiàng)式擬合的方法，運(yùn)用多項(xiàng)式擬合的函數(shù)po

7、lyfit()對(duì)售價(jià)與預(yù)期銷 售量的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)行一項(xiàng)式擬合，于是編輯程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;f1=polyfit(s,y,1)運(yùn)行以上程序結(jié)果得到下面的結(jié)果，其中-5.1333為一次項(xiàng)系數(shù)，50.4222 為常數(shù)項(xiàng)。f1 =-5.133350.4222緊接著對(duì)函數(shù)進(jìn)行擬合，于是運(yùn)行以下程序，得到售價(jià)與預(yù)期銷售量的擬合效果圖如下圖所示:si=linspace(2,6,40);z=polyval（f1,si）;plot（s,y,*,s,y,si,z,-）xlabel（s售價(jià)（元），ylabel（y預(yù)期銷售量（千桶）tit

8、le（售價(jià)與預(yù)期銷售量的擬合效果圖）售價(jià)與預(yù)期銷售量的擬合效果圖s售價(jià)（元）遍千量售銷期預(yù)通過上面的函數(shù)擬合效果，可以得到售價(jià)與預(yù)期銷售量的函數(shù)關(guān)系式為y=-5.133*s+50.4222,于是就建立起售價(jià)與預(yù)期銷售量的確切關(guān)系?！締栴}二】根據(jù)表二的數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合的方法，通過計(jì)算和分析，建立起廣 告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式。表2廣告費(fèi)（千元）010203040506070銷售增長(zhǎng)因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 80首先畫出廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的散點(diǎn)圖，初步分析他們之間可能存在的關(guān) 系，以便進(jìn)行函數(shù)擬合，因此編輯程序如下：g=0:10

9、:70;x=1.00,1.40,1.70,1.85,1.95,2.00,1.95,1.80;plot（g,x,，+b，）xlabel（g廣告費(fèi)（千元），），ylabel（，x銷售增長(zhǎng)因子，）title（，廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的散點(diǎn)圖，）運(yùn)行以上程序得到廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的散點(diǎn)圖有下圖所示，通過初步 分析可知，廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子之間存在形如y=a*x”2+b*x+c的一元二次函數(shù) 關(guān)系，其中廣告費(fèi)為自變量，銷售增長(zhǎng)因子為因變量。廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的散點(diǎn)圖70-T-+987654321 - - - - - - - - - 1111 1111子因長(zhǎng)增售銷X6020304050g廣告費(fèi)(千元)1

10、0利用多項(xiàng)式擬合的方法，運(yùn)用多項(xiàng)式擬合的函數(shù)polyfit()對(duì)廣告費(fèi)與銷售 增長(zhǎng)因子的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)行二項(xiàng)式擬合，于是編輯程序如下:g=0 10 20 30 40 50 60 70;x=1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80;f2=polyfit(g,x,2)運(yùn)行以上程序結(jié)果得到下面的結(jié)果，其中-0.0004為二次項(xiàng)系數(shù)，0.0409為 一次項(xiàng)系數(shù)，1.0188為常數(shù)項(xiàng)。f2 =-0.00040.04091.0188緊接著對(duì)函數(shù)進(jìn)行擬合，于是運(yùn)行以下程序，得到售價(jià)與預(yù)期銷售量的擬 合效果圖如下圖所示:gi=linspace(0,70,700);z=poly

11、val(f2,gi);plot(g,x,o,g,x,gi,z,-)xlabelC廣告費(fèi)(g),ylabel(銷售增長(zhǎng)因子(x)title(廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的擬合效果圖)子因長(zhǎng)增售銷X通過上面的函數(shù)擬合效果，可以得到廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式為 x=-0.0004*g2+0.0409*g+1.0188,于是就建立起廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的確切 函數(shù)關(guān)系?！締栴}三】找出彩漆銷售得到的利潤(rùn)與廣告費(fèi)和售價(jià)的關(guān)系，進(jìn)一步分析得到它們之間 的函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造方程，利用最優(yōu)化問題中的單純形計(jì)算法求出最優(yōu)解以及最 優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果。由于售價(jià)與預(yù)期銷售量的函數(shù)關(guān)系式為y=-5.133*s+50

12、.4222,而廣告費(fèi)與銷 售增長(zhǎng)因子的函數(shù)關(guān)系式為x=-0.0004*g”2+0.0409*g+1.0188,且廣告費(fèi)與銷售 量的關(guān)系可由銷售增長(zhǎng)因子來描述，由題意，投入3萬(wàn)元的廣告費(fèi)，銷售因子為 1.85，意味著做廣告后的銷售量將是未做廣告銷售量的1.85倍，我們可以得知 銷售增長(zhǎng)因子與預(yù)期銷售量和實(shí)際銷售量的關(guān)系為z=x*y?，F(xiàn)在建立各個(gè)變量之 間的函數(shù)關(guān)系：銷售彩漆獲得的利潤(rùn)二銷售總額一成本一廣告費(fèi)=實(shí)際銷售量*售價(jià)一實(shí)際銷量*2 廣告費(fèi)用符號(hào)表示既是：f = s*z-2*z-g= (s-2) *z-g=(s-2)*(-5.133*s+50.4222)*( -0.0004*g2+0.04

13、09*g+1.0188) -g其中s,g的取值范圍分別為：s=2,6,g=0,70。其實(shí)這道題是關(guān)于求最大利潤(rùn)的問題，于是利用最優(yōu)化問題進(jìn)行求解，由于 f是二元二次方程，因此運(yùn)用基于單純形算法求多元函數(shù)的極小值點(diǎn)和最小值， 由于本題中要求對(duì)f求最大值，因此有必要對(duì)f的形式進(jìn)行略微的變換，變?yōu)?f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2)2+0.0409*x(2)+1.0188) +x(2)進(jìn)而求f的最小值，所求得的結(jié)果的相反數(shù)即是本來題意中的最大利潤(rùn)。首先建立M文件fxy.m，其中x(1)=s,x(2)=g命令如下：function f=fxy

14、(x)f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2).2+0.0409*x(2)+1.0188 )+x(2);接著運(yùn)行以下程序: x0=2,70;U,fmin=fminsearch(fxy,x0)得到的結(jié)果為：U =5.911635.2089fmin =-118.9573由此根據(jù)本模型所得結(jié)論，當(dāng)投入35.2089千元廣告費(fèi)和售價(jià)為5.9116元時(shí) 所獲得的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為118.9573千元。6模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)在問題一和問題二中，先繪制散點(diǎn)圖，然后再進(jìn)行函數(shù)擬合，過程直觀易懂。 問題三中利用最優(yōu)化問題進(jìn)行求解，過程簡(jiǎn)潔明了，且計(jì)算精度較高。但是此模型存在的不足時(shí)在問題一和問題二中，函數(shù)擬合會(huì)