matlab人口預測和數(shù)據(jù)曲線擬合市公開課金獎市賽課一等獎課件

1、Mathematics Laboratory阮小娥博士Experiments in Mathematics趙小艷數(shù)學試驗辦公地址：理科樓214第1頁試驗13 人口預測與數(shù)據(jù)擬合2、了解利用最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合基本思想，掌握用數(shù)據(jù)擬正當尋找最正確擬合曲線方法。3、了解多元函數(shù)極值在數(shù)據(jù)擬正當中應用。實驗目1、學會用MATLAB軟件進行數(shù)據(jù)擬合。4、經過對實際問題進行分析研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學模型方法。第2頁據(jù)人口統(tǒng)計年鑒，知我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料以下： (人口數(shù)單位為：百萬)（1）在直角坐標系上作出人口數(shù)圖象。（2）建立人口數(shù)與年份函數(shù)關系，并估算1999年人口數(shù)。試

2、驗問題年份19491954 1959 1964 1969人口數(shù) 541.67602.66 672.09 704.99 806.71 年份 1974 1979 1984 1989 1994人口數(shù) 908.59 975.42 1034.751106.761176.74 第3頁怎樣確定a,b?線性模型第4頁1 曲線擬合問題提法: 已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點),(iiyx， ixni,2,1L=互不相同，尋求一個函數(shù)（曲線）)(xfy=，使)(xf在觀察點x處所取得值f(x)分別與觀察值y在某種 xy0+一、曲線擬合準則下最為靠近，即曲線擬合得最好，如圖第5頁從幾何上講，并不要求曲線嚴格經過

3、已知點，但要求曲線在各數(shù)據(jù)點和已知數(shù)據(jù)點之間總體誤差最小，通常稱為數(shù)據(jù)擬合。到達最小。 最小二乘準則 而我們經常是確定f(x)使得偏差平方和第6頁數(shù)據(jù)插值已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點),(iiyx， ixni,2,1L=互不相同，尋求一個函數(shù)（曲線）)(xfy= 數(shù)據(jù)插值第7頁. 用什么樣曲線擬合已知數(shù)據(jù)?慣用曲線函數(shù)系ri(x)類型：）畫圖觀察）理論分析指數(shù)曲線： 雙曲線（一支): 多項式： 直線： 第8頁比如指數(shù)函數(shù)擬合三角函數(shù)擬合多項式擬合第9頁 擬合函數(shù)組中系數(shù)確定第10頁4 用matlab軟件進行數(shù)據(jù)擬合（1）lsqcurvefit命令最小二乘擬合a= lsqcurvefit

4、(fun,x0,xdata,ydata)a,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 是依據(jù)給定數(shù)據(jù)xdata,ydata，按照函數(shù)文件fun給定函數(shù)，以x0為初值做最小二乘擬合，返回函數(shù)中系數(shù)向量a和殘差平方和resnorm。第11頁例首先編寫函數(shù)文件function y=f(a,x)f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3保留為f.m，其次調用該函數(shù)x=0:0.1:1;y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;a0=0 0 0;x,resnorm=lsqcurvef

5、it(f,a0,x,y)第12頁也能夠用inline命令定義函數(shù)x=0:0.1:1;y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;f=inline(a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,a,x);a0=0 0 0;a,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y)plot(x,y,*)hold ong=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3;plot(x,g,r-)第13頁 a = polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多項式最高階數(shù) xdata，ydata 為要

6、擬合數(shù)據(jù)，它是用向量方式輸入。輸出參數(shù)a為擬合多項式 y = anxn + + a1x + a0系數(shù)a = an, , a1, a0。多項式在x處值y可用下面程序計算。 y = polyval (a, x) 因為高次多項式曲線改變不穩(wěn)定，所以多項式次數(shù)選取不宜過高。(2) polyfit命令多項式曲線擬合第14頁比如clear;clc;x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2;plot(x,y,k.,markersize,25);axis(0 1.3 -2 16);p3=polyfit(x,y,3)

7、p6=polyfit(x,y,6)t=0:0.01:1.2;s=polyval(p3,t);s1=polyval(p6,t);hold onplot(t,s,r-,linewidth,2);plot(t,s1,b-,linewidth,2);grid第15頁第16頁編寫程序調用matlab命令x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;plot(x,y,r*,linewidth,2)gridf=inline(a(1)+a(2)*x,a,x);a0=0 5;a,r

8、esnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y)hold ong=a(1)+a(2)*x;plot(x,g,b-,linewidth,2)二、人口預測線性模型第17頁或者調用M函數(shù)function f=nihe(a,x)f=a(1)+a(2)*x;保留成nihe.m,在新窗口編寫程序x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;a0=10 10;a,resnorm=lsqcurvefit(nihe,a0,x,y)注意：該命令與初值相關系。第18頁也能夠直接

9、編寫程序以下：clc;clf;x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;plot(x,y,r*,linewidth,2)grida11=10;a12=sum(x);a21=a12;a22=sum(x.2);d1=sum(y);d2=sum(x.*y);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*Dplot(x,g,b-,linewidth,2)t=1949:5:;g=ab(1)+ab(2)*t;hold onplot(t,g,b-,

10、linewidth,2)y=ab(1)+ab(2)*y=ab(1)+ab(2)*y=ab(1)+ab(2)*axis(1945 500 1450)plot(,1295.3,g*,linewidth,2)plot(,1306.28,g*,linewidth,2)plot(,1370.5,g*,linewidth,2)第19頁計算得從而得到人口數(shù)與年份函數(shù)關系為線性預測模型年份預測（百萬）1266.61339.11411.7真實值（百萬）1295.331306.281370.5并預測2000,2005,年人口第20頁仿真結果表明： 線性模型在短期內基本上能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，但長久預測

11、誤差較大。第21頁 英國統(tǒng)計學家Malthus于1798年提出了一個關于生物種群繁殖指數(shù)增加模型：假設種群數(shù)量增加率與該時刻種群個體數(shù)量成正比。三、人口預測Malthus模型基本假設 : 人口(相對)增加率 r 是常數(shù)x(t) 時刻t 人口,t=0時人口數(shù)為x0指數(shù)增加模型實際中，慣用第22頁解：取得最小值.其中,表示人口數(shù)量。表示年份,解方程組:即得參數(shù)值.使得問題轉化為求參數(shù)第23頁計算得從而得到人口數(shù)與年份函數(shù)關系為指數(shù)預測模型年份預測（百萬）1363.6 1488.8 1625.4真實值（百萬）1295.331306.281370.5并預測2000,2005,年人口第24頁仿真結果表明

12、： 人口增加指數(shù)模型在較短期內基本上能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，但長久預測誤差很大。第25頁四、人口預測Logistic模型假如人口增加符合Malthus模型，則當人口增加到一定數(shù)量后，增加率下降原因：資源、環(huán)境等原因對人口增加阻滯作用 1838年，荷蘭生物學家Verhulst對Malthus模型作了深入分析后指出：造成上述不符合實際情況主要原因是未能考慮“密度制約”原因。即最終造成地球上人口爆炸，這與實際是不相符。且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大r是x減函數(shù)第26頁假設r固有增加率(x很小時)k人口容量（資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量）第27頁結果顯示： Logistic模型在長久預測時基本上

13、能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，在2005,年較為吻合。第28頁五、人口預測多項式模型仿真結果表明, 人口模型用低階多項式擬合能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，而高階多項式擬合預測效果很差。青色二次多項式藍色三次多項式紫紅色四次多項式第29頁例2: 海底光纜線長度預測模型某一通信企業(yè)在一次施工中,需要在水面寬為20m河溝底沿直線走向鋪設一條溝底光纜.在鋪設光纜之前需要對溝底地形做初B2468101214161820986420ADC探測到一組等分點位置深度數(shù)據(jù)以下表所表示.25步探測,從而預計所需光纜長度,為工程預算提供依據(jù).基本情況如圖所表示.第30頁10.9310.809.818.867

14、.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度(m)9876543210分點21個等分點處深度(1) 預測經過這條河溝所需光纜長度近似值.(2) 作出鋪設溝底光纜曲線圖.第31頁解： 用12次多項式函數(shù)擬合光纜走勢曲線圖以下仿真結果表明,擬合曲線能較準確地反應光纜走勢圖.The length of the label is L= 26.3809 (m)假設所鋪設光纜足夠柔軟,在鋪設過程中光纜觸地走勢光滑,緊貼地面,而且忽略水流對光纜沖擊.第32頁% prog45.m This program is to fit the data by polynomial %format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;a,s=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);disp(yy=);dis