高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 專題14 圓錐曲線的綜合問題（含答案）

1、專題14 圓錐曲線的綜合問題一、單選題1（2020全國高三月考（文）若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則( )A2B4C8D16【答案】D【解析】拋物線的焦點是，雙曲線的一個焦點是，由條件得解得.故選：D.2（2020寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三二模（理）拋物線y2=ax(a0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28-y24=1的兩條漸近線所圍成的三角形面積為22，則a的值為 ( )A8B6C4D2【答案】A【解析】拋物線y2=ax(a0)的準(zhǔn)線為x=-a4， 雙曲線C:x28-y24=1的兩條漸近線為y=22x， 可得兩交點為-a4,-2a8,-a4,2a8， 即有三角形的面積為12a42a4=22，解得a

2、=8，故選A3（2019甘肅省會寧縣第四中學(xué)高二期末）橢圓y249+x224=1與雙曲線y2-x224=1有公共點P，則P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成三角形的面積為()A48B24C2243D123【答案】B【解析】 結(jié)合橢圓性質(zhì),可以得到F1(0,5),F2(0,-5) 建立方程y2-x224=1y249+x224=1,得到點P的坐標(biāo)為(245,75), 故SPF1F2=12F1F2245=24,故選B.4（2019湖北省高二期中）若，則方程與所表示的曲線可能是圖中的（ ）ABCD【答案】C【解析】即為直線，即為曲線，.對于A選項，由直線方程可知，則曲線，表示圓或橢圓，A選項錯誤；對于B選項，由直

3、線方程可知，則曲線，不存在，B選項錯誤；對于C選項，由直線方程可知，則曲線，表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確；對于D選項，由直線方程可知，則曲線，表示焦點在軸上的雙曲線，D選項錯誤.故選：C.5（2019黑龍江省哈爾濱三中高二期中（文）以拋物線的焦點為圓心，為半徑的圓，與直線相切，則（ ）A或B或C或D-3或【答案】C【解析】拋物線的焦點為,以拋物線的焦點為圓心, 為半徑的圓可得:圓心為,半徑，由直線與圓相切,可得:圓心到直線的距離,解得或.故選:.6（2019河南省包屯高中高二期末）已知方程的曲線為C，下面四個命題中正確的個數(shù)是當(dāng)時，曲線C不一定是橢圓；當(dāng)時，曲線C一定是雙曲線；若曲線C是

4、焦點在x軸上的橢圓，則；若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則.A1B2C3D4【答案】D【解析】對于，當(dāng) 時，曲線表示為圓，所以不一定是橢圓，所以正確對于，當(dāng)時表示焦點在y軸上的雙曲線，當(dāng)曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，所以一定是雙曲線，所以正確對于若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則 ，解得，所以正確對于若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，解得，所以正確綜上，四個選項都正確所以選D7（2020北京人大附中高二期中）已知拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長為6，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是( )ABCD【答案】D【解析】因為拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長為6所以該準(zhǔn)線與雙曲線的一個交點坐標(biāo)表示為，代入雙曲線中得，

5、所以焦點坐標(biāo)為故選：D8（2020湖北省高三其他（文）已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點若雙曲線的離心率是，那么（ ）ABCD【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線.，因此雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立得：，得根據(jù)雙曲線的對稱性可知：故選：A9（2019平遙縣第二中學(xué)校高二月考）設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點為是兩曲線的一個公共點,則的值等于ABCD【答案】A【解析】由題意知F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），解方程組，得取P點坐標(biāo)為，cosF1PF2=故選A10（2019福建省高三一模（理）如圖，點F是拋物線C:x2=4y的焦點，點A,B分別在拋物線C和圓x2

6、+y-12=4的實線部分上運動，且AB總是平行于y軸，則AFB周長的取值范圍是( )A(3,6)B(4,6)C(4,8)D(6,8)【答案】B【解析】拋物線x24y的焦點為（0，1），準(zhǔn)線方程為y1，圓（y1）2+x24的圓心為（0，1），與拋物線的焦點重合，且半徑r2，|FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA，三角形ABF的周長2+yA+1+yByAyB+3，1yB3，三角形ABF的周長的取值范圍是（4，6）故選：B二、多選題11（2019常州市第一中學(xué)高二期中）若方程所表示的曲線為，則下面四個選項中錯誤的是（ ）A若為橢圓，則B若是雙曲線，則其離心率有C若為雙曲線，則或D若為橢圓，且

7、長軸在軸上，則【答案】AD【解析】若，方程即為，它表示圓，A錯；對于選項B，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；，故正確；對于選項C，若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線，故正確；對于選項D，若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，則，故表示焦點在軸上的橢圓，則錯；故選：12（2019福建省南安第一中學(xué)高二月考）已知橢圓，雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是（ ）A橢圓的離心率B雙曲線的離心率C橢圓上不存在點使得D雙

8、曲線上存在點使得【答案】ABD【解析】如圖，設(shè)，則由正六邊形性質(zhì)可得點，由點在橢圓上可得，結(jié)合可得，橢圓離心率，當(dāng)點為橢圓上頂點時，此時；點在雙曲線的漸近線上可得即,雙曲線的離心率為,當(dāng)點為雙曲線的頂點時，易知.故選：ABD.13（2020海南省高三二模）已知拋物線：的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過點的直線與拋物線交于，兩點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的是（ ）A的準(zhǔn)線方程為B線段的長度最小為4C的坐標(biāo)可能為D恒成立【答案】BCD【解析】焦點到準(zhǔn)線的距離即為，所以拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，A項錯誤.當(dāng)垂直于軸時長度最小， 此時，所以，B項正確.設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立，消去可得，消去可

9、得，所以，當(dāng)時，可得，所以C正確，又，所以，所以D正確.故選：BCD三、填空題14（2019湖北省高二期中）設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程是_【答案】【解析】拋物線的焦點為在軸上,故雙曲線,又,故.故雙曲線的方程為.故答案為：15（2019漣水縣第一中學(xué)高二月考）若直線 與拋物線 只有一個交點，則實數(shù)的值為_【答案】0或 【解析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，若，則，滿足題意；若，則，解得.綜上所述，0或 .故答案為：0或 16（2020四川省成都外國語學(xué)校高二開學(xué)考試（理）過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是_【答案】【解析】由

10、題意知，該直線斜率存在，設(shè)直線與橢圓交于兩點，斜率為，則，兩式相減得，即，所以，所以所求直線方程為，即.故答案為：.17（2020浙江省高三月考）已知直線，橢圓，點，若直線和橢圓有兩個不同交點，則周長是_，的重心縱坐標(biāo)的最大值是_【答案】 【解析】由題意知，可知恒過定點，此點為橢圓的左焦點，記為.則.所以的周長為.設(shè) 設(shè)的重心縱坐標(biāo)為.則 .聯(lián)立直線與橢圓方程得 ，整理得.則， 所以.當(dāng) 時，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時，等號成立，此時；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時.綜上所述：.所以的重心縱坐標(biāo)的最大值是.故答案為: ;.四、解答題18（2020天水市第一中學(xué)高二月考）已知橢圓過點且離心率為.（1

11、）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在這樣的直線，直線方程為：.【解析】（1）由已知點代入橢圓方程得由得可轉(zhuǎn)化為由以上兩式解得所以橢圓C的方程為：.（2）存在這樣的直線.當(dāng)l的斜率不存在時，顯然不滿足,所以設(shè)所求直線方程代入橢圓方程化簡得： .,設(shè)所求直線與橢圓相交兩點由已知條件可得,綜合上述式子可解得符合題意,所以所求直線方程為：.19（2019漣水縣第一中學(xué)高二月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(ab0)過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交

12、于A，B兩點，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請說明理由【答案】（1）（2）是定值，7【解析】（1）由離心率，得abc21，則可設(shè)橢圓C的方程為 ，由點在橢圓C上，得，即c21， 所以橢圓C的方程為（2）設(shè)直線l的方程為yxn，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以O(shè)A2OB23+3()6.由消去y得3x22nx2n260.當(dāng)0時，x1x2n，x1x2，從而4，所以O(shè)A2OB27，為定值20（2019重慶巴蜀中學(xué)高二期中（理）已知拋物線.（1）若是拋物線上任一點，求點到和軸距離之和的最小值；（2）若的三個頂點都在拋物線上，其重心恰好為的焦點，求三邊所在直線的斜率的倒數(shù)

13、之和.【答案】（1）（2）0【解析】（1）由拋物線定義可知：到和軸距離之和，當(dāng)三點共線時，取最小值.（2）設(shè)，.又，同理：，21.（2019蘇州新草橋中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓經(jīng)過點，點是橢圓的下項點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點，已知，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零，設(shè)直線，與直線聯(lián)立方程有，得.設(shè)直線，同理，因為，所以，無實數(shù)解；，解得，綜上可得，直線的斜率為.22（2020河南省高二月考（文）已知拋物線：的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，弦的中點的橫坐標(biāo)為，.（）求拋物線的方程；（）若直線的傾斜角為銳角，求與直線平行且與拋物線相切的直線方程.【答案】（）（）【解析】（）設(shè)，因為的中點的橫坐標(biāo)為，所以.根據(jù)拋物線定義知.所以，解得，所以拋物線的方程為.（）設(shè)直線的方程為，.則由得.所以，即，解得.設(shè)與直線平行的直線的方程為，由得.依題知，解得.故所