高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1.1 空間向量及其運(yùn)算

1、1.1 空間向量及其運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，了解向量加法的交換律和結(jié)合律3.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.4.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.5.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問(wèn)題6.掌握空間向量夾角概念及表示方法.7.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.8.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直問(wèn)題

2、導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念思考類(lèi)比平面向量的概念，給出空間向量的概念答案在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量梳理(1)在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或?？臻g向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作，其模記為|a|或|.(2)幾類(lèi)特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為0單位向量模為1的向量叫單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量知識(shí)點(diǎn)二空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律思考

3、1下面給出了兩個(gè)空間向量a、b，作出ba，ba.答案如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作a，b，則eq o(OB,sup6()ab，ba.思考2由上述的運(yùn)算過(guò)程總結(jié)一下，如何求空間兩個(gè)向量的和與差？下面兩個(gè)圖形中的運(yùn)算分別運(yùn)用了什么運(yùn)算法則？答案先將兩個(gè)向量平移到同一個(gè)平面，然后運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則(三角形法則、平行四邊形法則)運(yùn)算即可；圖1是三角形法則，圖2是平行四邊形法則梳理(1)類(lèi)似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算ababab(2)空間向量加法交換律abba空間向量加法結(jié)合律(ab)ca(bc)知識(shí)點(diǎn)三空間向量的數(shù)

4、乘運(yùn)算思考實(shí)數(shù)和空間向量a的乘積a的意義是什么？向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？答案0時(shí)，a和a方向相同；0時(shí)，a和a方向相反；a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|倍空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：分配律：(ab)ab，結(jié)合律：(a)()a.梳理(1)實(shí)數(shù)與向量的積與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作a，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：|a|a|.當(dāng)0時(shí)，a與向量a方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與向量a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律(a)()a；(ab)ab；(12)a1a2a(拓展)知識(shí)點(diǎn)四共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關(guān)于向量共線知識(shí)，給

5、出空間中共線向量的定義答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量思考2空間中任何兩個(gè)向量都是共面向量，這個(gè)結(jié)論是否正確？答案正確根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進(jìn)行平移，空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量梳理(1)平行(共線)向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：互相平行或重合充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，存在唯一實(shí)數(shù)，使ab點(diǎn)P在直線l上的充要條件存在實(shí)數(shù)t滿足等式ta在直線l上取向量a，則t 向量a為直線的方向向量(2)共面向量定義平行于同一個(gè)平面的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共

6、面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使pxayb點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使xy對(duì)空間任一點(diǎn)O，有xy知識(shí)點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的概念思考如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，類(lèi)比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法解析，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416eq r(2).求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長(zhǎng)度不確定時(shí)，可用已知夾角和長(zhǎng)度的向量來(lái)表示該向量，再代入計(jì)算梳理(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，

7、b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(a)b(ab)交換律abba分配律a(bc)abac(3)空間向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b范圍：a，b0，特別地：當(dāng)a，b時(shí)，ab.知識(shí)點(diǎn)六空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，則abab0若a與b同向，則ab|a|b|；若反向，則ab|a|b|.特別地，aa|a|2或|a| 若為a，b的夾角，則cos |ab|a|b|題型探究類(lèi)型一有關(guān)空間向量的概念的理解例1給出以下結(jié)論：兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)

8、分別相同；若空間向量a，b滿足|a|b|，則ab；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有eq o(AC,sup6()eq o(A1C1,sup6()；若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp；空間中任意兩個(gè)單位向量必相等其中不正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析兩個(gè)空間向量相等，它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故不正確；若空間向量a，b滿足|a|b|，則不一定能判斷出ab，故不正確；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有eq o(AC,sup6()eq o(A1C1,sup6()成立，故正確；顯然正確；空間中任意兩個(gè)單位向量的模必相等，但這兩個(gè)向量不一定相等，故錯(cuò)誤故選C.反思與

9、感悟在空間，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反跟蹤訓(xùn)練1(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，下列四對(duì)向量：與；與；與；與.其中互為相反向量的有n對(duì)，則n等于()A1 B2C3 D4答案B解析對(duì)于與，與長(zhǎng)度相等，方向相反，互為相反向量；對(duì)于與長(zhǎng)度相等，方向不相反；與長(zhǎng)度相等，方向相同故互為相反向量的有2對(duì)(2)判斷下列命題的真假空間向量就是空間中的一條有向線段；不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；任一向量與它的相反向量不相等；向量與向量的長(zhǎng)度相等解假命題，有向線段是空間向

10、量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來(lái)假命題，不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可假命題，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的真命題，與僅是方向相反，它們的長(zhǎng)度是相等的類(lèi)型二空間向量的加減運(yùn)算例2如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量(1) ；(2) .解析(1) .(2) ().向量、如圖所示反思與感悟根據(jù)向量相等的概念，向量運(yùn)算時(shí)可以根據(jù)需要進(jìn)行平移向量；化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中遇到減法時(shí)可靈活應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可以按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加減法之間可

11、相互轉(zhuǎn)化，另外化簡(jiǎn)的結(jié)果要在圖中標(biāo)注好跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式(1) 1.(2) 1.(3) 1(4) .解析(1) .(2) .(3) (4)0.類(lèi)型三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算例3設(shè)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，G是BCD的重心求證：()證明連接BG，延長(zhǎng)后交CD于點(diǎn)E，由G為BCD的重心，知.由題意知E為CD的中點(diǎn)，.反思與感悟應(yīng)用向量的加減法法則和數(shù)乘運(yùn)算表示向量是向量運(yùn)算的前提，表示向量時(shí)要注意選定向量，明確轉(zhuǎn)化的目標(biāo)跟蹤訓(xùn)練3已知在空間四邊形OABC中，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG2

12、GN，如圖所示，記a，b，c，試用向量a，b，c表示向量.解析 a ac(bc)abc.類(lèi)型四向量共線問(wèn)題例4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c.21，1，.b， (1)(1)abc.abc.又bcaabc，.E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線反思與感悟判定向量a，b(b0)共線，只需利用已知條件找到x，使axb即可證明點(diǎn)共線，只需證明對(duì)應(yīng)的向量共線跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量與是否共線？解析設(shè)AC中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G， 又，共面， ()，與 共線類(lèi)型

13、五向量共面問(wèn)題例5如圖，已知、為空間的個(gè)點(diǎn)，且，.求證：（1）、四點(diǎn)共面，、四點(diǎn)共面；（2）；（3）.【解析】（1），A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面（2），.（3）.考點(diǎn)：空間向量的運(yùn)算.反思與感悟利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明向量共面問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系跟蹤訓(xùn)練5（2020黑龍江省北安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二單元測(cè)試）若e1、e2、e3是三個(gè)不共面向量，則向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】共面【解析】設(shè)c1a2b，則1，2

14、即caba、b、c共面類(lèi)型六空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例6（2020廣西壯族自治區(qū)高二期末（理）如圖，在和中，是的中點(diǎn)，若，則與的夾角的余弦值等于_【答案】【解析】由題意可得 ，.由，可得 .，即，故答案為.反思與感悟兩向量的數(shù)量積，其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，而不是向量零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律跟蹤訓(xùn)練6（2020上海交大附中高二期中）如圖，在大小為45的二面角AEFD中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()ABC1D【答案】D【解析】,故，故選類(lèi)型七利用數(shù)量積求夾角例7（2020山東省高二期末）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)

15、A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60，下列說(shuō)法中正確的是（ ）ABC向量與的夾角是60D與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等, 它們彼此的夾角都是60，可設(shè)棱長(zhǎng)為1,則 而， 所以A正確. =0,所以B正確.向量,顯然 為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是 ,向量與的夾角是,則C不正確又， 則， 所以，所以D不正確.故選：AB反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法： 跟蹤訓(xùn)練7已知：PO、PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PA在平面內(nèi)的射影，l，且lOA.求證：lPA.證明如圖，取直線l的方向向量a，同時(shí)取向量，.因?yàn)閘OA，所以a0.因?yàn)镻O

16、，且l，所以lPO，因此a0.又因?yàn)閍a()aa0， 所以lPA.類(lèi)型八利用數(shù)量積求距離例8在平行四邊形ABCD中，ABAC1，ACD90，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60角求B、D間的距離【答案】2或.【解析】ACD=90，0.同理0AB和CD成60角，60或120.，3211cos當(dāng)，=60時(shí)，=4，則|=2；當(dāng)，=120時(shí)，=2，則|反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|eq r(aa)求解即可跟蹤訓(xùn)練8（202

17、0寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學(xué)高二月考（理）平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量?jī)蓛傻膴A角均為60,且|=1,|=2,|=3,則|等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案選A綜合訓(xùn)練一、單選題1（2020江西高二期中（理）在下列命題中：若、共線，則表示、的有向線段所在的直線平行；若表示、的有向線段所在直線是異面直線，則、一定不共面；若、 三向量?jī)蓛晒裁妫瑒t、三向量一定也共面；已知三向量、不共面，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為,其中正確命題的個(gè)數(shù)為A0B1C2D3【答案】B【解析】若、共線，則表示、的有向

18、線段所在的直線可共線；若、共面，則表示、的有向線段所在直線一定不是異面直線；因此若表示、的有向線段所在直線是異面直線，則、一定不共面；若、，則、 三向量?jī)蓛晒裁妫?、三向量不一定共面；?dāng)三向量、兩兩不共面時(shí)，空間任意一個(gè)向量才可以唯一表示為,總上，正確，選B.2（2020新疆阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考（理）在平行六面體ABCD-EFGH中，若=x2y+3z，則xyz等于( )ABCD1【答案】C【解析】在平行六面體ABCDEFGH中，=+，=x2y+3z，=，x=1，2y=1，3z=1，z=，x+y+z=，故選：C3（2020四川樹(shù)德中學(xué)高二期中（理）如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱

19、長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為.求與夾角的余弦值是（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意以為空間向量的基底，與夾角的余弦值為故選：B4（2020山東高二期末（理）在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則A0BC2D【答案】B【解析】如圖所示，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，故選B5（2020寧夏回族自治區(qū)寧夏育才中學(xué)高二期末（理）已知為空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D無(wú)法判斷【答案】B【解析】由若 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 四點(diǎn)共面 ，而 故 四點(diǎn)共面，故選B6（2020山東省青島二中高二期末）有下列四個(gè)命題：已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向

20、量，23，4，且，則實(shí)數(shù)k6；已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，則（）（）1；已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），則向量在上正投影的數(shù)量是；已知2，32，37（，為空間向量的一個(gè)基底），則向量，不可能共面其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】C【解析】23，4，且，解得，所以正確，所以正確，向量在上正投影，所以正確假設(shè)向量，共面，則，所以，所以，得，所以向量，共面，所以不正確即正確的有個(gè)，故選：7（2020寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學(xué)高二月考（理）平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量?jī)蓛傻膴A角均為60,且|=1,|=2,|=3,則|等于()A5B6C4D8【答案】A【解析】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案選A8（2020山東省章丘四中高二月考）如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由向量的加法和減法運(yùn)算：.故選：B9（202