可線性化的一元非線性回歸

1、可線性化的一元非線性回歸第1頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二 前一節(jié)，我們學習了一元線性回歸分析問題，在實際應用中，有些變量之間并不是線性相關(guān)關(guān)系，但可以經(jīng)過適當?shù)淖儞Q，把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。 可線性化的一元非線性回歸 常見的幾種變換形式： 1、雙曲線 令 第2頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二2、冪函數(shù)曲線 令 化非線性回歸為線性回歸 變形 3、指數(shù)函數(shù)曲線 令 變形 第3頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二4、負指數(shù)函數(shù)曲線 令 化非線性回歸為線性回歸 變形 5、對數(shù)函數(shù)曲線 令 第4頁，共31頁，2022年，5月2

2、0日，7點9分，星期二6、S型（Logistic）曲線 令 化非線性回歸為線性回歸 變形 第5頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二例1 測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量，數(shù)據(jù)如下表x/周2468101214y/kg0.30.861.732.22.472.672.8由經(jīng)驗知雞的生長曲線為Logistic曲線，且極限生長量為k=2.827，試求y對x的回歸曲線方程。解 由題設(shè)可建立雞重y與時間x的相關(guān)關(guān)系為 第6頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二令 則有 列表計算 序號xyyX2y2xy120.32.13144.5414.262240.860.82

3、7160.6843.309361.73-0.456360.208-2.733482.2-1.255641.576-10.0425102.47-1.9341003.741-19.3426122.67-2.8341448.029-34.0037142.8-4.64219621.544-64.9825613.03-8.16256040.323-123.531第7頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二所以 所以所求曲線方程為 第8頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 輸入原始數(shù)據(jù) 第9頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 計算 第10

4、頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 第11頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 第12頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 是y*，而不是y 自變量 第13頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 回歸方程，還要回代系數(shù) 第14頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二多重回歸分析 在實際問題中，自變量的個數(shù)可能多于一個，隨機變量 y與多個可控變量x1,x2,x3,xk之間是否存在相關(guān)關(guān)系，則屬于多重（元）回歸問題。本節(jié)討論多重線性回歸。第15頁，共31頁，2022年，5月20日，

5、7點9分，星期二多重線性回歸模型 隨機變量 與 之間的線性關(guān)系(1) 其中 未知 則（1）式稱為多重線性回歸模型。 第16頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二多重線性回歸模型 若對變量 與 分別作n次觀測，則可得一個容量為n的子樣(2) 其中 為待定參數(shù)，稱為回歸系數(shù)。 （2）式含有k+1個參數(shù)，故觀測次數(shù)應滿足nk+1。 則有 第17頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二多重線性回歸模型的矩陣形式 記 則（2）有矩陣形式 其中 第18頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二確定 的最小二乘法 考慮多元函數(shù) 目標：確定 使 最小 方法： 解得 多

6、重線性回歸方程 第19頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法 線性回歸方程是否有統(tǒng)計意義，可檢驗假設(shè) 是否成立 方法：方差分析法，將總離差平方和分解 第20頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法 回歸平方和，反映線性關(guān)系對觀測結(jié)果產(chǎn)生的數(shù)據(jù)波動，SSR越大，線性相關(guān)關(guān)系越強。剩余平方和（或殘差平方和），反映除線性因素之外的其它因素對觀測結(jié)果產(chǎn)生的數(shù)據(jù)波動，SSE越大，則其它因素對Y的影響越大。第21頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二線性回歸方程的有效性檢驗方差分析法 在H0成

7、立的條件下，可以證明： （n為觀測次數(shù)，k為自變量個數(shù)） 構(gòu)造F統(tǒng)計量 當 時，拒絕H0。第22頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二回歸系數(shù)的統(tǒng)計檢驗 回歸方程的有效性檢驗，只是解決了 與之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，至于變量 對 的影響是否有統(tǒng)計意義，無從看出，因此，還需對回歸系數(shù) 是否為0作統(tǒng)計檢驗。提出假設(shè) 如果H0成立，可以證明統(tǒng)計量 當 時，拒絕H0。第23頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二利用回歸方程作預測及控制 對于給定的 點估計值 置信水平為 的預測區(qū)間為 第24頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二例2 某種水泥在凝固時放出的熱

8、量Y（cal/g）與水泥中下列4種化學成分有關(guān)：的成分（%）的成分（%）的成分（%）的成分（%）現(xiàn)記錄了13組觀測數(shù)據(jù)，列在下表中，試求 對 的線性回歸方程。第25頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二編號X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g）172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4第26頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二上機操作 第27頁，共31頁，2022年，5月20日，7點9分，星期二第28頁，共31頁，2022年，5月20日，7點