高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)題型判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.解f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).證明如下：使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，當(dāng)x(m，)時(shí)，有g(shù)(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在(m，)內(nèi)單調(diào)遞減.又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在(m，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在

2、某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).僅當(dāng)x0時(shí)g(x)0，所以g(x)在(，)單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).題型根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍解當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x，例2 已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR).(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；解g(x)f(x)axm2ln xx2m，由g(x)0，得x1.當(dāng)1xe時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值g(1)m1，1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖

3、象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.感悟提升解當(dāng)a0時(shí)，f(x)exex，則f(x)exe，f(1)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值，且極小值為f(1)0，無極大值.訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)ex(ae)xax2.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題意得f(x)ex2axae，設(shè)g(x)ex2axae，則g(x)

4、ex2a.若a0，由(1)知f(x)的極小值f(1)0，故f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)沒有零點(diǎn).若a0，故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增.又g(0)1ae0，所以存在x0(0，1)，使g(x0)0.故當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(0)1，f(1)0，所以當(dāng)a0，由(1)得當(dāng)x(0，1)時(shí)，exex.則f(x)ex(ae)xax2ex(ae)xax2a(xx2)0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)沒有零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0).題型與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)沒有零點(diǎn)；例3 設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x

5、)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.故當(dāng)a0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn).(討論a1或a1來檢驗(yàn)，證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).感悟提升解f(x)3x2b.f(x)與f(x)的情況為：(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.綜上，若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.隱零點(diǎn)問題在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)f

6、(x)在區(qū)間I上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是x0.因?yàn)閤0不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)x0叫做隱零點(diǎn)；若x0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.解f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)exa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)單調(diào)增區(qū)間為(，)，無單調(diào)減區(qū)間.當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得x0，得xln

7、a，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，).例 設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(xk)f(x)x10，求k的最大值.解由題設(shè)可得(xk)(ex1)x10，由(1)的結(jié)論可知，函數(shù)h(x)exx2(x0)是增函數(shù).又因?yàn)閔(1)0，所以函數(shù)h(x)的唯一零點(diǎn)(1，2)(該零點(diǎn)就是h(x)的隱零點(diǎn)).當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0，又h()e20，所以e2且(1，2)，則g(x)ming()1(2，3)，所以k的最大值為2.極限思想在解決零點(diǎn)問題中的應(yīng)用解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問

8、題，故需判斷函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，極限的思想方法是解決問題的有力工具.令g(x)0，解得0 xe，則g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增；例 (1)已知函數(shù)f(x)axx2(a1)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解令f(x)axx20，可得axx2.當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)yax與yx2的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得xln a2ln x，當(dāng)x時(shí)，g(x)0且g(x)0；解g(x)f(x)3exmex(x2)m，函數(shù)g(x)ex(x2)m有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)u(x)ex(x2)的圖象與直線ym有兩個(gè)交點(diǎn)，u(x)ex(x2)exex(x1)，當(dāng)x(，1)時(shí)，u(x)0，u(x)在(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)