向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

1、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 1. 線性組合 設(shè) a1, a2 , , at n R,k1, k2 , , kt R,稱 k1a1k2akt at 為 a1, a2 , , at 的一 個(gè)線性組合 ； k1 【備注 1】 按分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)章, k1 a1 k2 a2 ktat a1, a2 , , at k2 ；這 kt 樣的表示是有好處的； 2. 線性表示 設(shè) a1, a2 , , at n R, b n R ,假如存在 k1 ,k2 , , kt R ,使得 bk1 a1 k2 a2 kt at 就稱 b 可由 a1 , a2 , , at 線性表示 ； k1 bk1a1 k2a2 kt

2、at ,寫成矩陣形式, 即 b a1 , a2 , , at k2 ；因此,b 可 kt k1 由 a1 , a2 , , at 線性表示即線性方程組 a1 , a2 , , at k2 b 有解,而該方程組有解 kt 當(dāng)且僅當(dāng) r a1 ,a2 , ,at r a1, a2 , , at , b ； 3. 向量組等價(jià) n 設(shè) a1, a2 , , at , b1, b2 , ,bs R,假如 a1, a2 , , at 中每一個(gè)向量都可以由 b1, b2 , ,bs 線性表示,就稱向量組 a1, a2, ,at 可以由向量組 b1, b2 , , bs 線性表示； 假如向量組 a1 , a2

3、 , , at 和向量組 b1 , b2 , 量組是 等價(jià)的 ； ,bs 可以相互線性表示, 就稱這兩個(gè)向 第 1 頁,共 13 頁向量組等價(jià)的性質(zhì)： 1 自反性 任何一個(gè)向量組都與自身等價(jià)； 2 對(duì)稱性 如向量組 I 與 II 等價(jià),就向量組 II 也與 I 等價(jià)； 3 傳遞性 如向量組 I 與 II 等價(jià),向量組 II 與 III 等價(jià),就向量組 I 與 III 等價(jià)； 證明： 自反性與對(duì)稱性直接從定義得出；至于傳遞性,簡潔運(yùn)算即可得到； 設(shè)向量組 I 為 a1, a2 , , ar ,向量組 II 為 b1, b2 , , bs ,向量組 III 為 c1, c2, ,ct ； t 向量

4、組 II 可由 III 線性表示,假設(shè) bj ykj ck , j 1,2, , s ；向量組 I 可由向 k 1 s 量組 II 線性表示,假設(shè) ai x ji bj , i 1,2, , r ；因此, j 1 s s t t s ai xji bj xji ykj ck ykj xji ck , i 1,2, , r j 1 j 1 k 1 k 1 j 1 因此,向量組 I 可由向量組 III 線性表示； 向量組 II 可由 I 線性表示,III 可由 II 線性表示,依據(jù)上述方法再做一次, 同樣可得出,向量組 III 可由 I 線性表示； 因此,向量組 I 與 III 等價(jià)；結(jié)論成立！

5、4. 線性相關(guān)與線性無關(guān) 設(shè) a1, a2 , , at n R,假如存在不全為零的數(shù) k1 , k2 , ,kt R ,使得 k1 a1 k2a2 kt at 0就稱 a1, a2 , , at 線性相關(guān) ,否就,稱 a1, a2 , , at 線性無關(guān) ； 依據(jù)線性表示的矩陣記法, a1, a2 , , at 線性相關(guān)即齊次線性方程組 k1 a1 ,a2 , , at k2 0kt 有非零解,當(dāng)且僅當(dāng) r a1, a2, ,at t ； a1, a2 , , at 線性無關(guān),即 k1 a1 ,a2 , , at k2 0kt 只有零解,當(dāng)且僅當(dāng) r a1, a2, ,at t ； n特殊的

6、,如 t n ,就 a1, a2 , , an R線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) r a1 , a2 , , an n , 當(dāng)且僅當(dāng) a1, a2 , , an 可逆,當(dāng)且僅當(dāng) a1 , a2 , , an 0 ； n例 1. 單獨(dú)一個(gè)向量 a R 線性相關(guān)即 a 0 ,線性無關(guān)即 a 0 ；由于,如 a 線性 相關(guān),就存在數(shù) k 0 ,使得 ka 0 ,于是 a 0 ；而如 a 0,由于 1 a a 0 ,1 0因此, a 線性相關(guān)； 例 2. 兩個(gè)向量 a, b R n 線性相關(guān)即它們平行, 即其對(duì)應(yīng)重量成比例； 由于,如 a, b 線性相關(guān),就存在不全為零的數(shù) k1 ,k2 ,使得 k1a k2 b

7、0 ； k1 , k2 不全為零,不妨 假設(shè) k1 0 ,就 a k2 b ,故 a,b 平行,即對(duì)應(yīng)重量成比例；假如 a,b 平行,不妨 k1 假設(shè)存在 ,使得 a b ,就 a b 0 ,于是 a, b 線性相關(guān)； 1 0 0 x1 例 3. 0 , 1 , 0 線性無關(guān),且任意 x x 2 R 3 都可以由其線性表示,且表示 0 0 1 x3 方法唯獨(dú)；事實(shí)上, x x1 x1 1x2 0 x3 0010 x2x3 0015. 線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì) 第 3 頁,共 13 頁1 如一向量組中含有零向量,就其必定線性相關(guān)； 證明： 設(shè) a1, a2 , , at n R,其中有一個(gè)為零,不妨

8、假設(shè) at 0 ,就 因此, a1, a2 , 0 a1 0 a2 0 at 11 0 0, at 線性相關(guān)； 2 如一向量組線性相關(guān),就增加任意多個(gè)向量所形成的新向量組仍然線性相 關(guān)；如一向量組線性無關(guān),就其任意部分向量組仍然線性無關(guān)； 證明： 設(shè) a1, a2 , , at , 1 , 2 , , s n R, a1, a2 , , at 線性相關(guān)；存在不全為零的數(shù) k1, k2 , , kt ,使得 k1a1 k2 a2 ktat 0這樣, k1, k2 , k1a1 k2a 2 kt at 01020s 0, kt 不全為零,因此, a1 , a2 , , at , 1, 2 , ,

9、s 線性相關(guān)； 后一個(gè)結(jié)論是前一個(gè)結(jié)論的逆否命題,因此也正確； 3 如一個(gè)向量組線性無關(guān), 在其中每個(gè)向量相同位置之間增加元素, 所得到的 新向量組仍然線性無關(guān)； 證明： n設(shè) a1, a2 , , at R為一組線性無關(guān)的向量； 不妨假設(shè)新的元素都增加在向量 a1 a2 at 最終一個(gè)重量之后,成為 , , , , b1, b2 , ,bt 是同維的列向量；令 b1 b2 bt k1 a1 k2 a2 kt at k1a1 k2 a2 ktat 0b1 b2 bt k1b1 k2b2 ktbt 就 k1a1 k2 a2 kt at 0 ；由向量組 a1, a2 , , at 線性相關(guān),可以得

10、到 第 4 頁,共 13 頁k1 k2 kt 0 ；結(jié)論得證！ 4 向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示； 證明： n設(shè) a1, a2 , , at R為一組向量； 必要性 如 a1, a2 , , at 線性相關(guān),就存在一組不全為零的數(shù) k1, k2 , , kt ,使得 k1 a1 k2a2 kt at 0k1, k2 , , kt 不全為零,設(shè) k j 0 ,就 k1a1 k j 1a j 1 k j 1a j 1 kt at a j k j 充分性 如 a1, a2 , , at 中某個(gè)向量可以表示成其余向量的線性組合,假設(shè) a j 可以表示成 a1, , aj

11、1, a j 1 , , at 的線性組合,就存在一組數(shù) k1 , , k j 1 , k j 1, ,kt , 使得 a j k1a1 kj 1aj 1 k j 1a j 1kt at 也就是 k1 a1 k j 1a j 1 a j k j 1a j 1 ktat 0但 k1 , , k j 1 , 1,k j 1 , , kt 不全為零,因此, a1 , a2, ,at 線性無關(guān)； 【備注 2】請(qǐng)精確懂得其意思,是其中某一個(gè)向量可以由其余向量線性表示,而 不是全部向量都可以； 5 如 a1, a2 , , at R線性無關(guān), b nR ,使得 a1, a2 , , at ,b 線性相關(guān),

12、就 b 可由 na1, a2 , , at 線性表示,且表示方法唯獨(dú)； 證明： a1 ,a2 , , at , b 線性相關(guān),因此,存在不全為零的數(shù) k1 , k2 , , kt , kt 1 ,使得 k1a1 k2 a2 ktat kt 1b 0第 5 頁,共 13 頁kt 10 ,否就 kt 10 ,就 k1a1 k2 a2 kt at 0 ；由 a1 ,a2 , ,at 線性無關(guān),我們 就得到 k1 k2 kt 0 ,這樣, k1, k2 , ,kt , kt 1均為零,與其不全為零沖突！ 這樣, bk1a1 k2a2 kt at ,就 kt 1因此, b 可由 a1, a2 , , a

13、t 線性表示； y2a2 yt at 假設(shè) b x1a1 x2 a2 xt at y1a1 x1 y1 a1 x2 y2 a2 xt yt at 0由 a1 , a2 , , at 線性無關(guān),有 x1 y1 x2 y2 xt yt 0 ,即 x1 y1 , x2 y2 , , xt yt 因此,表示法唯獨(dú)； 【備注 3】 剛才的證明過程告知我們, 假如向量 b 可由線性無關(guān)向量組 a1, ,at 線 性表示,就表示法唯獨(dú)；事實(shí)上,向量 b 可由線性無關(guān)向量組 a1 , , at 線性表示, 即線性方程組 a1 , , at x b 有解；而 a1 , , at 線性無關(guān),即 r a1 , ,

14、at t ；因此, 如有解,當(dāng)然解唯獨(dú),即表示法唯獨(dú)； 6 如線性無關(guān)向量組 a1, a2 , , at 可由向量組 b1, b2 , ,bs 線性表示,就 t s ； 證明： 假設(shè)結(jié)論不成立,于是 t s ； a1, a2 , , at 可由 b1 ,b2 , , bs 線性表示；假設(shè) x11 a1 x11b1 x21b2 xs1bs b1, b2, ,bs x21 , xs1 x12 a2 x12b1 x22 b2 xs 2bs b1 ,b2 , ,bs x22 , xs 2 第 6 頁,共 13 頁. x1t at x1t b1 x2tb2 xstbs b1,b2, ,bs x2 t ,

15、 xst 任取 k1, k2 , , kt ,就 k1 x11 x12 x1t k1 k1a1 k2a2 kt at a1 , a2 , ,at k2 b1,b2, , bs x21 x22 x2t k2 x11 x12 x1t kt xs1 xs2 xst kt 由于 x21 x22 x2 t 為一個(gè) s t 階矩陣,而 t s,因此,方程組 xs 1 xs2 xst x11 x12 x1t x21 x22 x2t x 0 xs1 xs 2 xst k1 必有非零解,設(shè)為 k2 ,于是 k1a1 k2a 2 kt at 0 ；因此,存在一組不全為 kt 零的數(shù) k1, k2 , , kt ,

16、使得 k1a1 k2a2 kt at 0 ；因此,向量組 a1,a2 , , at 線性相 關(guān),這與向量組 a1 , a2 , , at 線性無關(guān)沖突！因此, t s ； 7 如兩線性無關(guān)向量組 a1, a2 , , at 和 b1 ,b2 , ,bs 可以相互線性表示,就 t s ； 證明： 由性質(zhì) 6 , t s , s t ,因此, s t ； 【備注 4】 等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)一樣； n8 設(shè) a1, a2 , , at R, P 為 n 階可逆矩陣,就 a1, a2 , , at 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) Pa1, Pa2 , , Pat 線性無關(guān)； b 可由 a1, a2 ,

17、, at 線性表示,當(dāng)且僅當(dāng) Pb 可由 第 7 頁,共 13 頁P(yáng)a1, Pa2 , , Pat 線性表示；如可以線性表示,表示的系數(shù)不變； 證明： 由于 P 可逆,因此 k1a1 k2a2 kt at 0Pk1 a1 k2a2 kt at 0 0k1 Pa1 k2 Pa2 kt Pat k1a1 k2 a2 ktat bPb Pk1a1 k2 a2 ktat bk1 Pa1 k2 Pa2 kt Pat 如此,結(jié)論得證！ 6. 極大線性無關(guān)組 n定義 1 設(shè) a1, a2 , , at R,假如存在部分向量組 a , a , , a ,使得 i1 i2 ir 1 a , a , , a 線性

18、無關(guān)； i1 i2 i r 2 a1 , a2 , , at 中每一個(gè)向量都可以由 a , a , , a 線性表示； 就稱 a , a , , a 為 a1, a2 , i1 i 2 ir , at 的極大線性無關(guān)組； n【備注 5】 設(shè) a1 , a2 , , at R , a , a , , a 為其極大線性無關(guān)組；依據(jù)定義, i1 i2 i r a1, a2 , , at 可由 a , a , i1 i2 ,a 線性表示；但另一方面, a , a , , a 也明顯可以由 ir i1 i2 ir a1, a2 , , at 線性表示；因此, a1, a2 , , at 與 a , a

19、, , a 等價(jià)；也就是說,任何一 i1 i2 ir 個(gè)向量組都與其極大線性無關(guān)組等價(jià)； 向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個(gè), 但都與原向量組等價(jià), 依據(jù)向量組 等價(jià)的傳遞性, 它們彼此之間是等價(jià)的, 即可以相互線性表示； 它們又都是線性 無關(guān)的,因此,由之前的性質(zhì) 7 ,向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組含有相同 的向量個(gè)數(shù)； 這是一個(gè)固定的參數(shù),由向量組本身所準(zhǔn)備,與其極大線性無關(guān) 組的選取無關(guān), 我們稱其為向量組的 秩,即向量組的任何一個(gè)極大線性無關(guān)組所 含的向量個(gè)數(shù)； 第 8 頁,共 13 頁【備注 6】 依據(jù)定義,向量組 a1, a2 , , at 線性無關(guān),充分必要條件即其秩為 t ；

20、n 定義 2 設(shè) a1 , a2 , , at R,假如其中有 個(gè)線性無關(guān)的向量 a , a , i1 i2 ,a ,但沒有 ir 更多的線性無關(guān)向量,就稱 a , a , , a 為 a1, a2 , a1, a2 , , at 的秩； , at 的極大線性無關(guān)組,而 r為 【備注 7】 定義 2 生動(dòng)地表達(dá)了極大線性無關(guān)組的意義； 一方面, 有 r 個(gè)線性無 關(guān)的向量,表達(dá)了“無關(guān)性” ,另一方面,沒有更多的線性無關(guān)向量,又表達(dá)了 “極大性”； 【備注 8】 兩個(gè)定義之間是等價(jià)的；一方面,假如 a , a , , a 線性無關(guān),且 i1 i 2 ir a1, a2 , , at 中每一個(gè)向

21、量都可以由 a , a , , a 線性表示,那么, i1 i2 ir a1, a2 , , at 就沒 有更多的線性無關(guān)向量,否就,假設(shè)有,設(shè)為 b1, b2 , , bs , s r ；b1 , b2 , , bs 當(dāng)然 可以由 a , a , , a 線性表示,且仍線性無關(guān),依據(jù)性質(zhì) 6 , s r ,這與假設(shè)矛 盾！另一方面,假設(shè) a , a , , a 為 a1, a2 , i1 i2 ir , at 中 r 個(gè)線性無關(guān)向量,但沒有更多 的線性無關(guān)向量,任取 a1 ,a2 , ,at 中一個(gè)向量,記為 b ,就 a , a , , a , b 線性相 ir 關(guān)；依據(jù)性質(zhì) 5 , b

22、可有 a , a , i1 i2 , a 線性表示 且表示方法唯獨(dú) ； ir 【備注 9】設(shè)向量組 a1, a2 , , at 的秩為 r ,就其極大線性無關(guān)向量組含有 r 個(gè)向量； 反過來,其中任何 r個(gè)線性無關(guān)向量所成的向量組也是 a1,a2 , , at 的一個(gè)極大線 性無關(guān)組；這從定義即可得到； 6. 向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系 稱矩陣 A 的列向量組的秩為 A 的列秩 ,行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的 秩稱為矩陣 A 的行秩； 定理 1 任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩； 證明： 設(shè) A a R m n , r A r ；將其按列分塊為 A a , a , ,a ；存在 m 階 第

23、 9 頁,共 13 頁可逆矩陣 P ,使得 PA 為行最簡形,不妨設(shè)為 10, 100b1,r +1 b1,n 10b2, r 1b2, n PA Pa1 , Pa2 , , Pan 1br ,r 1br ,n 000000000000100, 0, 1線性無關(guān),且 PA 中其余列向量都可以由其線性表示,因此, 00, 00001000100, 0, 1為 PA 的極大線性無關(guān)組,其個(gè)數(shù)為 r,因此, a1 , a2 , , ar 線性無 000000關(guān),且 A 中其余列向量均可由其線性表 示 等于 A 的秩； 且表示的系數(shù)不變 ；因此, A 的列秩 將 A 按行分塊, A T b1 T ,就

24、 A b1 ,b2 , ,bm ,因此,依據(jù)前面的結(jié)論, A T bm 的行秩為 A T 的秩,而 A T 的秩等于 A 的秩；至此,結(jié)論證明完畢！ 【備注 10】 證明的過程其實(shí)也給出了求極大線性無關(guān)組的方法； 7. 擴(kuò)充定理 定理 2 設(shè) a1, a2 , , at n R,秩為 r, a , a , i1 i 2 ,a ik 為其中的 k 個(gè)線性無關(guān)的向量, 第 10 頁,共 13 頁k r ,就能在其中加入 a1 , a2 , , at 中的 r k 個(gè)向量,使新向量組為 a1 ,a2 , ,at 的 極大線性無關(guān)組； 證明： 假如 k r ,就 a , a , , a 已經(jīng)是 a1

25、,a2 , i1 i2 ik ,at 的一個(gè)極大線性無關(guān)組, 無須再 添加向量； 假如 k r ,就 a , a , i1 i2 ,a 不是 a1 , a2 , , at 的一個(gè)極大線性無關(guān)組,于是, ik a1, a2 , , at 必有元素不能由其線性表示,設(shè)為 a ik 1,由性質(zhì) 5 ,向量組 a , a , , a , a i1 i2 ik ik 1 線性無關(guān)； 假如 k 1 r ,就 a , a , , a , a i1 i2 ik ik 1 已經(jīng)是 a1, a2 , , at 的一個(gè)極大線性無關(guān)組, 無須再添加向量； 假如 k 1r,就 a , a , i1 2i , a, a

26、ik ik1 不是 a1, a2 , ,at 的一個(gè)極大線性無關(guān)組, 于 是, a1, a2 , , at 必有元素不能由其線性表示,設(shè)為 a ik 2,由性質(zhì) 5 ,向量組 a , a , , a , a , a i1 i2 ik ik 1 ik 2 線性無關(guān)； 同樣的過程始終進(jìn)行下去,直到得到 r 個(gè)線性無關(guān)的向量為止； 【備注 11】 證明的過程其實(shí)也給出了求極大線性無關(guān)組的方法；只是,這方法 并不好實(shí)現(xiàn)； 8. 求極大線性無關(guān)組并將其余向量由極大線性無關(guān)組線性表示 n求向量組 a1, a2 , at R的極大線性無關(guān)組,可以依據(jù)下面的方法來實(shí)現(xiàn)； 1 將 a1, a2 , at 合在一起寫成一個(gè)矩陣 A a1 ,a2 , at ； 2 將 A 通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形,不妨設(shè)化得的行階形為 第 11 頁,共 13 頁b11 b12 b1r b1,r 1b1,n 1,2, , r , r r A 0b22 b2r b2, r 1b2, n A 00brr br , r 1br ,n B , bii 0, i , jr 列,就 j1, j 2 , ,