課件15信號與系統(tǒng)3

1、信號與線性系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示離散時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)濾波第三章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示” 傅里葉級數(shù) 周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和非周期信號都可表示為正弦信號的加權(quán)積分傅里葉的兩個(gè)主要貢獻(xiàn)： 拉格朗日(1736-1813) 拉普拉斯(1749-1827)1822 傅里葉(1768-1830) 正弦信號具有保真度 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都

2、有著廣泛的應(yīng)用信號的分解時(shí)域：分解的疊加的疊加頻域：正弦信號的疊加傅里葉反變換正交分解傅里葉變換？時(shí)域：信號分解的原則： 分解成的基本信號應(yīng)構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類有用信號分解信號的分解信號基本信號的線性組合 LTI系統(tǒng)對每個(gè)基本信號的響應(yīng)簡單，以便輸出信號容易 求得傅里葉分析：傅里葉變換，拉普拉斯變換Z變換1. 線性時(shí)不變系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)：LTI系統(tǒng)H(s), H(z)：稱幅度因子，為復(fù)變量s或z的函數(shù)特征函數(shù)(eigenfunction): 一個(gè)信號，若系統(tǒng)對該信號的 輸出響應(yīng)僅是一個(gè)常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）乘以輸 入，則該信號為系統(tǒng)的特征函數(shù)特征值(eigenvalue): 幅度因子H(s),

3、H(z)稱系統(tǒng)的特征值 線性時(shí)不變系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)LTI系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)：若積分收斂H(s)：復(fù)變函數(shù)，為復(fù)數(shù)s的函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù) 為LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)LTI系統(tǒng)離散系統(tǒng)：若級數(shù)收斂H(z)：復(fù)變函數(shù)，復(fù)數(shù)z的函數(shù)，離散LTI系統(tǒng)的特征值線性時(shí)不變系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)LTI系統(tǒng)分解若x(t)則輸出分解若x(n)則輸出2. 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示：周期信號基波周期：滿足上式的最小非零正值 T諧波頻率：w0的整數(shù)倍kw0,基波頻率：指數(shù)傅里葉級數(shù)：基波分量： 合成頻率為w0的基波分量k次諧波： 合成k次諧波 頻譜系數(shù)且2. 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)

4、表示：指數(shù)傅里葉級數(shù)：三角傅里葉級數(shù)：其中綜合式解析式其中頻譜系數(shù) 當(dāng)n時(shí)，諧波分量無限多，均方誤差為0； 當(dāng)n有限時(shí)，諧波分量有限，有誤差。小結(jié)：周期為T的信號f(t)可展開成三角傅里葉級數(shù)，其物理意義是 將f(t)分解為許多分量：a0 直流分量，w0基波分量，2w0 二次諧波分量，nw0n次諧波分量，反之這些分量疊加起來 就得到原信號f(t) 。電子工程技術(shù)中的信號一般都滿足狄里赫利條件 、在一個(gè)周期內(nèi)絕對可積： 、在一個(gè)周期內(nèi)極值數(shù)目有限； 、f(t) 在一個(gè)周期內(nèi)或連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（當(dāng)t從較大和較小時(shí)間趨近與間斷點(diǎn)時(shí)函數(shù)f(t)趨于不同的有限極值 f(t)須滿足狄里赫利(Di

5、richlet)條件 例：將圖示信號f(t)用傅里葉 級數(shù)表示。f(t) 周期延拓，使它成為一個(gè)周期信號低頻決定輪廓高頻修飾細(xì)節(jié)在間斷點(diǎn)上會(huì)產(chǎn)生過沖，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。過沖量約為9%周期信號的頻譜 頻譜(圖)振幅頻譜相位頻譜周期信號頻譜的特點(diǎn)：1.離散性3.收斂性2.諧波性例：周期性矩形脈沖的頻譜。稱取樣函數(shù) 取樣函數(shù) 指數(shù)級數(shù)的頻譜系數(shù)復(fù)指數(shù)振幅頻譜. 能量主要集中的頻率范圍稱信號的頻(帶)寬(度)（或帶寬）信號的頻(帶)寬(度)頻寬有多種定義方法，如以信號功率衰減到一半為準(zhǔn)(半功率點(diǎn))、 或0頻率到頻譜包絡(luò)線第一次過0點(diǎn)的頻率之間在信號處理中：一般取到基波幅度的十分之一

6、。1、線性2、時(shí)移性質(zhì)時(shí)域的時(shí)移對應(yīng)頻域的相移3. 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)：3、時(shí)間反轉(zhuǎn)4、尺度變換時(shí)域頻域成反比3. 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)：5、相乘6、共軛及共軛對稱3. 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)：推論：若x(t)為實(shí)數(shù)，則：7、連續(xù)時(shí)間周期信號的帕斯瓦爾定理3. 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)：一個(gè)周期信號的總平均功率等于它全部諧波分量的平均功率之和4. 離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示：離散周期信號基波周期：滿足上式的最小正整數(shù)N諧波頻率：w0的整數(shù)倍kw0,基波頻率：中只有N個(gè)信號是不同的： 周期序列x(n)表示為fk(n)的線性組合：4. 離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示：離散周期信號傅里葉級數(shù)表示：綜合式解析式4. 離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示：即：或：頻譜系數(shù)：LTI系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)：若積分收斂H(s),H(z)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)，稱系統(tǒng)函數(shù)5. 傅里葉級數(shù)與離散線性時(shí)不變系統(tǒng)同理5. 傅里葉級數(shù)與離散線性時(shí)不變系統(tǒng)H(s),H(z)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)，稱系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)濾波：改變信號中各頻率分量的大小或全部 消除某些頻率分量的過程頻率成形濾波器：改變頻