高數總復習課件

1、C8、空間解析幾何與向量代數（一）向量代數（二）空間解析幾何向量的線性運算向量的表示法向量積數量積混合積向量的積向量概念C8、向量代數直 線曲面曲線平 面參數方程旋轉曲面柱 面二次曲面一般方程參數方程一般方程對稱式方程點法式方程一般方程空間直角坐標系C8、空間解析幾何所求投影直線方程為例5解由于高度不變,故所求旋轉曲面方程為平面點集和區(qū)域多元函數的極限多元函數連續(xù)的概念極 限 運 算多元連續(xù)函數的性質多元函數概念C9、多元函數微分法及其應用偏導數概念多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導思考1. 討論二重極限解法1解法2 令解法3 令時, 下列算法是否正確?分析:解法

2、1解法2 令此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點的情況. 此時極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, 解法3 令此法忽略了 的任意性,極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 因為都不能保證自變量在定義域內以任意方式趨于原點 .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要注意在定義域內 r , 的變化應該是任意的. 同時還可看到, 本題極限實際上不存在 .典型例題例1解例2解例4解分析:例5 判斷在原點的連續(xù)性，可偏導性以及可微分性質解： 連續(xù)性容易判斷 定 義幾何意義性 質計算法應 用二重積分定 義幾何意義性 質計算法應 用三重積分C

3、10、重積分重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數用此坐標表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內到外: 面、線、點)3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對稱性或重心公式簡化計算3. 消去被積函數絕對值符號4. 利用重積分換元公式例2 解例3. 計算二重積分其中:(1) D為圓域(2) D由直線解: (1) 利用對稱性.圍成 .(2) 積分域如圖:將D 分為添加輔助線利用對稱性 , 得例4. 計算二重積分其中D

4、 是由曲所圍成的平面域 .解:其形心坐標為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標例5. 計算二重積分在第一象限部分. 解: (1)兩部分, 則其中D 為圓域把與D 分成作輔助線(2) 提示: 兩部分 說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號. 作輔助線將D 分成曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯系聯系C11、曲線積分與曲面積分 曲 線 積 分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯系計算(與方向有關)與路徑無關的四個等價命題條件等價命題 曲 面 積 分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯系計 算 (與側無關) (與側有關)定積分曲

5、線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Gauss公式各種積分之間的聯系一、曲線積分的計算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 統(tǒng)一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終計算其中L為擺線上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示:計算其中由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 從 z 軸正向看沿逆時針方向.(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關的等價條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯

6、托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯系公式 .2. 基本技巧計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.P210: A 1(6); B 2二、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面思 考 1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設曲面問下列等式是否成立? 不對 ! 對坐標的積分與 的側有關 2. 基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添

7、加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉化練習:P233 A 1(5) 其中 為半球面的上側.且取下側 , 提示: 以半球底面原式 =記半球域為 ,高斯公式有計算為輔助面, 利用 計算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時, 應如何計算 ?提示: 在橢球面內作輔助小球面內側, 然后用高斯公式 .常數項級數函數項級數一般項級數正項級數冪級數三角級數收斂半徑R泰勒展開式數或函數函 數數任意項級數傅氏展開式傅氏級數泰勒級數滿足狄 氏條件在收斂 級數與數條件下 相互轉化 C13、無窮級數正 項 級 數任意項級數審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;常數項級數審斂法定義 正 、負項相間的級數稱為交錯級數.交錯級數及其審斂法定義 正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.任意項級數及其審斂法和函數的分析運算性質:冪級數展開式(1) 定義(2) 充要條件(3) 唯一性(3) 展開方