電分第九章相量模型的等效

1、911 相量模型的等效一、阻抗和導(dǎo)納 兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的端口電壓電流關(guān)系相同時(shí)，稱此兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)等效。 我們已經(jīng)知道阻抗和導(dǎo)納是正弦穩(wěn)態(tài)分析中的兩個(gè)重要概念，它們可以用來表示RLC元件以及由這些元件組成的單口網(wǎng)絡(luò)的特性?，F(xiàn)在將這兩個(gè)概念推廣到一般單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型，正式給出它們的定義。 假設(shè)端口電壓與電流相量采用關(guān)聯(lián)的參考方向，其電壓相量與電流相量之比為一個(gè)常量，這個(gè)常量稱為阻抗，即 阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，阻抗的幅角=u-i稱為阻抗角，它表示端口正弦電壓u(t)與正弦電流i(t)的相位差。上式可以改寫以下形式 與阻抗相似，在端口電壓與電流相量采用關(guān)聯(lián)參考

2、方向的條件下，其電流相量與電壓相量之比為一個(gè)常量，這個(gè)常量稱為導(dǎo)納，即 導(dǎo)納是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納的幅角-=i-u表示端口正弦電流i(t)與正弦電壓u(t)的相位差。上式可以改寫以下形式 從以上幾個(gè)公式中可以得到以下關(guān)系 此式表明：就單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型的端口特性而言，可以用一個(gè)電阻和電抗元件的串聯(lián)電路或用一個(gè)電導(dǎo)和電納元件的并聯(lián)電路來等效。 已知單口網(wǎng)絡(luò)可以用外加電源計(jì)算端口電壓電流關(guān)系的方法求出等效阻抗和等效導(dǎo)納。 同一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的阻抗與導(dǎo)納之間存在倒數(shù)關(guān)系，即例1 單口網(wǎng)絡(luò)如圖(a)所示，試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)在 =1rad/s和=2rad/s時(shí)的等效

3、阻抗和相應(yīng)的等效 電路。 解：畫出圖(a)電路在 =1rad/s時(shí)的相量模型如圖(b)所示， 用阻抗串并聯(lián)阻抗的公式求得單口等效阻抗為 計(jì)算表明，等效阻抗為一個(gè)2的電阻，如圖(c)所示。 畫出=2rad/s時(shí)的相量模型如圖(d)所示，用阻抗串并聯(lián)阻抗的公式求得等效阻抗為 計(jì)算結(jié)果表明，等效阻抗為一個(gè)0.5的電阻與-j1.5的容抗串聯(lián)，其等效電路如圖(e)所示。 例2 試求圖(a)所示單口網(wǎng)絡(luò)在=1rad/s和 =2rad/s時(shí)的等效導(dǎo)納。 解： 當(dāng)=1rad/s時(shí)，由圖(b)所示相量模型求出相應(yīng)的等效導(dǎo)納 由等效導(dǎo)納得到的等效電路如圖(c)所示。 解： 當(dāng)=2rad/s時(shí)，由圖d)所示相量模型

4、求出相應(yīng)的等效導(dǎo)納 由等效導(dǎo)納得到的等效電路如圖(e)所示。 例3 單口網(wǎng)絡(luò)如圖所示，已知=100rad/s。 試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)相量模型等效阻抗和相應(yīng)的等 效電路。 解：相量模型如圖(b)所示。在端口外加電流源，用 相量形式KVL方程計(jì)算端口電壓相量 求得等效阻抗為 其等效電路為一個(gè)電阻和電感的串聯(lián)，如圖(c)所示。 二、阻抗和導(dǎo)納的等效變換 無源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型有兩種等效電路，如圖(c)和圖(e)所示，這兩種等效電路之間也可以進(jìn)行等效變換。 已知單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗和串聯(lián)等效電路，求其導(dǎo)納和并聯(lián)等效電路。根據(jù)阻抗和導(dǎo)納的倒數(shù)關(guān)系可以得到 由此得到由阻抗變換為導(dǎo)納的公式 已知單口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納和并聯(lián)等效

5、電路，求其阻抗和串聯(lián)等效電路。根據(jù)阻抗和導(dǎo)納的倒數(shù)關(guān)系可以得到 由此得到由導(dǎo)納變換為阻抗的公式 應(yīng)該注意，電阻R與電導(dǎo)G之間并不是簡(jiǎn)單的倒數(shù)關(guān)系；電抗jX與電納jB之間也不是簡(jiǎn)單的倒數(shù)關(guān)系。 例4 將圖(a)所示電阻R=100和電感L串聯(lián)單口網(wǎng) 絡(luò)，等效變換為圖(b)所示電阻R=1000和電感L 并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，試求電感L之值。 解：用阻抗等效變換為導(dǎo)納的公式 令實(shí)部相等，可以求得 最后求得電感值為 此時(shí)的等效導(dǎo)納為 假如在端口并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)數(shù)值的電容(C=3F)來抵銷電感的作用，可以使單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)1000的純電阻。 含獨(dú)立電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)相量模型，就其端口特性而言，可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源

6、與阻抗 的串聯(lián)來代替。 三、含源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路 含獨(dú)立電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)相量模型，就其端口特性而言，可用一個(gè)獨(dú)立電流源 與阻抗Zo的并聯(lián)來代替。 例5 求圖(a)單口的戴維南和諾頓等效電路。 解：計(jì)算單口網(wǎng)絡(luò)相量模型端口的開路電壓 用外加電流源求端口電壓的方法求得輸出阻抗 用開路電壓和輸出阻抗求得短路電流 作出戴維南和諾頓等效電路，如圖(b)和(c)所示。 作業(yè)：習(xí)題934時(shí)域分析法總結(jié) 1線性時(shí)不變電容元件的特性曲線是通過u-q平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，該直線方程為 電容的電壓電流關(guān)系由以下微分或積分方程描述 由上式可見，電容電壓隨時(shí)間變化時(shí)才有電容電流。若電容電壓不隨時(shí)間變化，則

7、電容電流等于零，電容相當(dāng)于開路。 電容的儲(chǔ)能取決于電容的電壓，與電容電流值無關(guān)。 電容是一種動(dòng)態(tài)元件，是一種有記憶的元件，又是一種儲(chǔ)能元件。電容的儲(chǔ)能為 2線性時(shí)不變電感元件的特性曲線是通過i-平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，該直線方程為 電感的電壓電流關(guān)系由以下微分或積分方程描述 由上式可見，電感電流隨時(shí)間變化時(shí)才有電感電壓。若電感電流不隨時(shí)間變化，則電感電壓等于零，電感相當(dāng)于短路。電感是一種動(dòng)態(tài)元件，是一種有記憶的元件，又是一種儲(chǔ)能元件。電感的儲(chǔ)能為 電感的儲(chǔ)能取決于電感的電流，與電感電壓值無關(guān)。 3電容和電感的一個(gè)重要性質(zhì)是連續(xù)性，其內(nèi)容是若電容電流iC(t)在閉區(qū)間t1,t2內(nèi)有界，則電容電壓

8、uC(t)在開區(qū)間(t1,t2) 內(nèi)是連續(xù)的。例如電容電流iC(t)在閉區(qū)間0+,0-內(nèi)有界，則有 若電感電壓uL(t)在閉區(qū)間t1,t2 內(nèi)有界，則電感電流iL(t)在開區(qū)間(t1,t2) 內(nèi)是連續(xù)的。 例如電感電壓uL(t)在閉區(qū)間0+,0-內(nèi)有界，則有 利用電容電壓和電感電流的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)轉(zhuǎn)換 (又稱為換路) 引起電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)等改變時(shí)，電容電壓和電感電流的初始值，初始值是求解微分方程時(shí)必須知道的數(shù)據(jù)。 4二端電阻、二端電容和二端電感是三種最基本的電路元件。它們是用兩個(gè)電路變量之間的關(guān)系來定義的。這些關(guān)系從下圖可以清楚看到。在四個(gè)基本變量間定義的另外兩個(gè)關(guān)系是: 四個(gè)基

9、本電路變量之間的關(guān)系 5含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。 根據(jù)KCL、KVL和元件VCR方程可以列出動(dòng)態(tài)電路的微分方程。由一階微分方程描述的電路，稱為一階電路。由二階微分方程描述的電路，稱為二階電路。 一般來說：由n階微分方程描述的電路，稱為n階電路。 這兩個(gè)公式要求先算出電容電流及電感電壓的初始值。 6求解n階微分方程需要知道n個(gè)初始條件。除了利用電容電壓和電感電流不能躍變的性質(zhì)，求得t=0+時(shí)刻的初始值外，還可以利用以下兩個(gè)公式計(jì)算出電容電壓對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的初始值以及電感電流對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的初始值。 7. 動(dòng)態(tài)電路的完全響應(yīng)由獨(dú)立電源和儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)共同產(chǎn)生。僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零

10、輸入響應(yīng)；僅由獨(dú)立電源引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。 8. 動(dòng)態(tài)電路的電路方程是微分方程。其時(shí)域分析的基本方法是建立電路的微分方程，并利用初始條件求解。對(duì)于線性n階非齊次微分方程來說，其通解為 fh(t)是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解，稱為電路的固有響應(yīng)，它與外加電源無關(guān)。fp(t)是非齊次微分方程的特解，其變化規(guī)律與激勵(lì)信號(hào)的規(guī)律相同，稱為電路的強(qiáng)制響應(yīng)。 由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。對(duì)于直流激勵(lì)下的一階電路來說，其固有響應(yīng)為fh(t)=Kest。若s0時(shí),當(dāng)t 時(shí)， fh(t)=Kest0，此時(shí)fp(t)= f(t)|t= f()。 此時(shí)

11、固有響應(yīng)fh(t)稱為暫態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)制響應(yīng)fp(t)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 只要能夠計(jì)算出某個(gè)響應(yīng)的初始值f(0+)，穩(wěn)態(tài)值f()和電路的時(shí)間常數(shù) 這三個(gè)要素，利用以上通用公式，就能得到該響應(yīng)的表達(dá)式，并畫出波形曲線。對(duì)于僅含有一個(gè)電容或一個(gè)電感的一階電路來說，只需要求解幾個(gè)直流電阻電路，即可得到這三個(gè)要素的數(shù)值。這種計(jì)算一階電路響應(yīng)的方法，稱為三要素法。 10. 三要素法還可以用來求解分段恒定信號(hào)激勵(lì)的一階電路以及含有幾個(gè)開關(guān)的一階電路。 9. 直流激勵(lì)下一階電路中任一響應(yīng)的通用表達(dá)式為 11. 階躍響應(yīng)是電路在單位階躍電壓或電流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，一階電路的階躍響應(yīng)可以用三要素法求得。 12. 時(shí)間

12、常數(shù)大于零的一階電路，在正弦激勵(lì)下的響應(yīng)由暫態(tài)響應(yīng)和正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成，當(dāng)暫態(tài)響應(yīng)衰減到零時(shí)，電路中的全響應(yīng)就是正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，此時(shí)稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。例1 習(xí)題728解體思路：（1）先求時(shí)間常數(shù)：（2）再求零輸入響應(yīng)：（3）后求零狀態(tài)響應(yīng)：列寫方程通解為：設(shè)特解為：代入原方程，求得Q-9.9則由初始條件iL(0)=0，得K9.9故零狀態(tài)響應(yīng)為（4）全響應(yīng)為：例2 電路如圖所示，以u(píng)C(t)為變量列出電路(RLC Circuits)的微分方程。 解：以iL(t)和iC(t)為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程 代入電容的VCR方程 得到以iL(t)和uC(t)為變量的方程 從式(2)得到 將iL(t)代

13、入式(1)中 經(jīng)過整理得到以下微分方程 這是常系數(shù)非齊次二階微分方程，圖示電路是二階電路。 例3 圖(a)所示電路在t=0時(shí)閉合開關(guān)，求電容電壓uC(t)和電流i2(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。 解：在開關(guān)閉合以后，與電容連接的含有獨(dú)立電壓源和受 控源的電阻單口網(wǎng)絡(luò)用圖(c)所示的戴維南等效電 路代替，其中 用外加電源法求圖(b)所示電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro 時(shí)間常數(shù)為 用三要素公式得到電容電壓的表達(dá)式 從圖(a)電路中開關(guān)閉合后的電路求得電流 i2(t) 相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟：(一) 畫出電路的相量模型。 (二) 根據(jù)KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立復(fù)系數(shù)電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達(dá)式。 (三) 根據(jù)所計(jì)算得到的電壓相量和電流相量，寫出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。 例4 電路如圖(a)所示，已知 試用網(wǎng)孔分析、節(jié)點(diǎn)分析和戴維南定理計(jì)算電流i2(t)。 解：畫出圖(a)的相量模型，如圖(b)所示，其中 1.網(wǎng)孔分析代入