同濟第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章重積分

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝第九章重積分教學(xué)目的：1. 懂得二重積分、 三重積分的概念, 明白重積分的性質(zhì),知道二重積分的中值定理；2. 把握二重積分的（直角坐標、極坐標）運算方法；3. 把握運算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）運算方法；8、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）；教學(xué)重點：1、 二重積分的運算（直角坐標、極坐標）；2、 三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）運算；3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用；教學(xué)難點：1、利用極坐標運算二重積分；二重積分的概念與性質(zhì)2、利用球坐標運算三重積分；3、物理應(yīng)用中的引力問題；

2、9 1 一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積設(shè)有一立體 它的底是 xOy 面上的閉區(qū)域 D 它的側(cè)面是以 D 的邊界曲線為準線而母線平行于 z 軸的柱面 它的頂是曲面 z fx y 這里 fx y 0 且在 D 上連續(xù) 這種立體叫做曲頂柱體 現(xiàn)在我們來爭論如何運算曲頂柱體的體積第一 用一組曲線網(wǎng)把 D 分成 n 個小區(qū)域 1 2 n分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線 作母線平行于 z 軸的柱面 這些柱面把原先的曲頂柱體分為 n 個細曲頂柱體 在每個 i中任取一點 i i 以 f i i為高而底為 i的平頂柱體的體積為f i i i i 1 2 n 這個平頂柱體體積之和Vinfi,ii1精品文檔

3、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝將分割加密只可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值為求得曲頂柱體體積的精確值需取極限即x y這里xVlim 0infi,ii1其中是個小區(qū)域的直徑中的最大值2平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有xOy 面上的閉區(qū)域D它在點 x y處的面密度為y 0 且在 D 上連續(xù)現(xiàn)在要運算該薄片的質(zhì)量M用一組曲線網(wǎng)把D 分成 n 個小區(qū)域 1 2n把各小塊的質(zhì)量近似地看作勻稱薄片的質(zhì)量iii各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值nM i , i ii 1將分割加細 取極限 得到平面薄片的質(zhì)量nM lim0 i 1 i , i i其中 是個小區(qū)域的直徑中的最大值定義 設(shè) fx

4、 y是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù) 將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個小閉區(qū)域 1 2 n其中 i表示第 i 個小區(qū)域 也表示它的面積 在每個 i上任取一點 i i 作和nf i , i ii 1假如當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時 這和的極限總存在 就稱此極限為函數(shù)fx y在閉區(qū)域 D 上的二重積分 記作 f x , y d 即D精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝x y 積分變量D 積分區(qū)域積分和fx ,y dlim 0infi,ii1Dfx y被積函數(shù)fx yd 被積表達式d 面積元素直角坐標系中的面積元素假如在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分 D 那么除了包含邊界

5、點的一些小閉區(qū)域外 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域 設(shè)矩形閉區(qū)域 i的邊長為 xi 和 yi 就i xi yi 因此在直角坐標系中 有時也把面積元素 d 記作 dxdy 而把二重積分記作f x , y dxdyD其中 dxdy 叫做直角坐標系中的面積元素二重積分的存在性 當 fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù)時 積分和的極限是存在的 也就是說函數(shù) fx y在 D 上的二重積分必定存在 我們總假定函數(shù) fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù) 所以fx y在 D 上的二重積分都是存在的二重積分的幾何意義 假如 fx y 0 被積函數(shù) fx y可說明為曲頂柱體的在點 x y處的豎坐標 所以二重積分的幾何意義就是柱體的

6、體積 假如 fx y是負的 柱體就在 xOy面的下方 二重積分的肯定值仍等于柱體的體積 但二重積分的值是負的二 二重積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) c1、c2為常數(shù) 就 c 1 f x , y c 2 g x , y d c 1 f x , y d c 2 g x , y dD D D性質(zhì) 2 假如閉區(qū)域 D 被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域 就在 D 上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和 例如 D 分為兩個閉區(qū)域 D1 與 D2 就f x , y d f x , y d f x , y dD D 1 D 2性質(zhì) 3 1 d d 為 D 的面積 D D性質(zhì) 4 假如在 D 上 fx y gx

7、 y 就有不等式f x , y d g x , y dD D特別地有精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝為 D 的面積就有|fx ,y d|fx ,y | dDD性質(zhì) 5 設(shè) M、m 分別是 fx y在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值mfx ,y dMD性質(zhì) 6二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù) fx y在閉區(qū)域 D 上連續(xù)為 D 的面積就在 D上至少存在一點使得fx,ydf,D9 2 二重積分的運算法一、利用直角坐標運算二重積分X型區(qū)域1x y2x a x bDY型區(qū)域1x y2x c y dD混合型區(qū)域設(shè) fx y 0D x y| 1x y2x a x bz fxy為頂以區(qū)域 D 為底的

8、曲頂此時二重積分fx ,y d在幾何上表示以曲面D 柱體的體積對于x0ab曲頂柱體在x x0的截面面積為以區(qū)間1x02x0為底、以曲線z fx0 y為曲邊的曲邊梯形所以這截面的面積為A x 02x0fx 0,y dyx 01依據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法得曲頂柱體體積為VbA x dxb a 2 xfx ,y dy dxax1即VDfx ,y db a 2x fx ,y dy dx1 x可記為精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝Dfx,y dbdx2x fx,y dya1 x類似地假如區(qū)域 D 為 Y型區(qū)域D1x y2x c y d就有例 1fx,ydddy2yfx ,y

9、dxc1y D運算xy d其中 D 是由直線 y 1、x 2 及 y x 所圍成的閉區(qū)域D注解畫出區(qū)域 D型區(qū)域 1 x 2 1 y x于是方法一可把 D 看成是 XDxy d2 1 xxydy dx2 1 xy2x 1dx12x3x dx1x4x 2 1 2912212428積分仍可以寫成Dxy d2dxxxydy2xdxxydy1111解法 2 也可把 D 看成是 Y型區(qū)域 1 y 2 y x 2 于是Dxy d2 21 yxydx dy2yx22 ydy22yy3dyy2y42 19121288例 2運算y1x2y2d其中 D 是由直線 y 1、x1 及 y x 所圍成的閉區(qū)域DDy解畫

10、出區(qū)域 D可把 D 看成是 X2型區(qū)域1 x 1 x y 1于是11|x| 31 dx1x2y2d1 1 dx1y1x2ydy1 31 1 1x 2y231 xdx2x31也可 D 看成是 Y型區(qū)域：21 x31 dx1 2于是301 y 11 xy精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)yD例 3 運算如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝1x 2y2d1ydyy1x 2y2dx11xy d其中 D 是由直線 y x 2 及拋物線 y 2 x 所圍成的閉區(qū)域D解 積分區(qū)域可以表示為D D 1+D2y1x于是2y 5 dy其中D 1:0 x,1xyxD2:1x,42Dxy d1 0 dxxxydy4dxxxxydyx122

11、 1 y y2 積分區(qū)域也可以表示為D1 y 2 y 2 x y 2 于是Dxy d2dyy2xydx2 1 x 2y y22dy1y2y221y44y32y2y62 15524368爭論積分次序的挑選例 4求兩個底圓半徑都等于的直交圓柱面所圍成的立體的體積V1然后再乘以8 就解設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為x 2 y2 2 及 x 2 z 2 2利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性只要算出它在第一卦限部分的體積行了第一卦限部分是以Dx y| 0 yR2x2, 0 x 為底以zR 2x2頂?shù)那斨w于是V 8 R 2 x 2 d 8 0 Rdx 0 R 2 x 2R 2 x 2 dy 8 0 R R 2

12、x 2 y 0 R 2 x 2dxD8 0 R R 2 x 2 dx 163 R 3二 利用極坐標運算二重積分有些二重積分 積分區(qū)域 D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較便利 且被積函數(shù)用極坐標變量、表達比較簡潔 這時我們就可以考慮利用極坐標來運算二重積分精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝fx,y dD按二重積分的定義Dfx ,y dlim 0infi,ii1下面我們來爭論這個和的極限在極坐標系中的形式以從極點O 動身的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D 分為 n個小閉區(qū)域小閉區(qū)域的面積為i1ii 2i12 ii1 2iiii222iiiiiiii2其中i表示相鄰

13、兩圓弧的半徑的平均值在i內(nèi)取點i,i設(shè)其直角坐標為ii就有iicosiiisininn于是lim 0i1fi,iilim 0i1ficosi,isiniiii即fx,y dfc o s,s i nddDD如積分區(qū)域 D 可表示為 1 2 sinddd2fcos,sind就fcos,1 D爭論 如何確定積分限. d0fcos,sindfcos,sinddDfcos,sindd2d0fcos,sind0D例 5運算ex 2y2dxdy其中 D 是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)D精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝域于是解在極坐標系中閉區(qū)域 D 可表示為d d2a1e2 0

14、ad0a 02Dex 2y2dxdyDe2dd2ae200021 21ea22d1e20注此處積分ex2y 2dxdy也常寫成ex 2y2dxdyDx2y 2a20ex 2dx利用ex2y 2dxdy1ea2運算廣義積分x2y 2a2設(shè) D1 x y|x 2 y 2 R 2 x 0 y 0D2 x y|x 2 y 2 2R 2 x 0 y 0S x y|0 x R 0 y R明顯 D1S D2由于ex2y 20從就在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式由于ey 2dxdyex2y 2dxdyex2y2dxdyx2D 1SD2x2y2dxdyR 0edxRey2dyRex2dx 2ex 200S又

15、應(yīng)用上面已得的結(jié)果有D 1ex 2y2dxdy41eR 2ex 2y2dxdy41e2R2D2于是上面的不等式可寫成41eR2Rex2dx 241e2R20令 R上式兩端趨于同一極限4例 6 求球體 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圓柱面從而2 ex dx0 22 2ax 所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體x 2 y的體積解由對稱性立體體積為第一卦限部分的四倍精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝V44 a2x2y2dxdyD其中 D 為半圓周y2 ax3x 2及 x 軸所圍成的閉區(qū)域a22d2在極坐標系中D 可表示為02a cos0d于是V44a22d42d2 acos400D

16、32a221sind32a 22230339 3 三重積分一、三重積分的概念定義 設(shè) fx y z是空間有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù) 將 任意分成 n 個小閉區(qū)域v1 v2 vn其中 vi 表示第 i 個小閉區(qū)域 也表示它的體積 在每個 vi 上任取一點 i i i 作乘積 fni i i vii 1 2 n并作和 f i , i , i v i 假如當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值i 1趨于零時 這和的極限總存在 就稱此極限為函數(shù) fx y z在閉區(qū)域 上的三重積分 記作 f x , y , z dv 即nf x , y , z dv lim f i , i , i v i0 i 1三重積分中的有關(guān)

17、術(shù)語積分號 fx y z被積函數(shù) fx y zdv被積表達式 dv 體積元素 x y z積分變量積分區(qū)域在直角坐標系中 假如用平行于坐標面的平面來劃分 就 vi xi yi zi 因此也把體積元素記為 dv dxdydz 三重積分記作精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除感謝fi,i,iv i是存在的fx,y ,z dvfx ,y ,z dxdydz當函數(shù) f x y z在閉區(qū)域上連續(xù)時極限lim 0in1因此 fx y z在上的三重積分是存在的以后也總假定fx y z在閉區(qū)域上是連續(xù)的三重積分的性質(zhì)與二重積分類似比如1c 1fx ,y ,z c 2gx ,y ,z dvc 12fx ,

18、y,z dvc 2gx,y,z dvfx,y,z dvfx ,y ,z dvfx ,y,z dv21dvV其中 V 為區(qū)域的體積二、三重積分的運算1利用直角坐標運算三重積分設(shè)空間閉區(qū)域可表為三重積分的運算三重積分也可化為三次積分來運算z1x y z z2x y y1x y y2x a x b就fx ,y,z dvDz 2 x,yfx ,y ,z dz dx ,y z 1bdxy 2 x z 2x ,y fx ,y ,z dz dy即fx ,ay 1 x z 1x ,ybdxy 2x dyz 2x ,y fx ,y ,z dzay 1x z 1x ,y y ,z dvb a dxy2x dyz

19、2 x,yfx ,y ,z dzx ,y y 1x z 1 其中 D : y1xy y2x a x b它是閉區(qū)域在 xOy 面上的投影區(qū)域提示設(shè)空間閉區(qū)域 可表為z1x y z z2x y y1x y y2x a x b運算fx ,y ,z dv基本思想精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 感謝對于平面區(qū)域 D y1x y y 2x a x b 內(nèi)任意一點 x y 將 fx y z只看作 z 的函數(shù) 在區(qū)間z1x y z2x y上對 z 積分 得到一個二元函數(shù) Fx yz 2 x , y F x , y z 1 x , y f x , y , z dz然后運算 Fx y在閉區(qū)域 D

20、 上的二重積分 這就完成了 fx y z在空間閉區(qū)域 上的三重積分z 2 x , y b y 2 x z 2 x , y F x , y d z 1 x , y f x , y , z dz da dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyD Dz 2 x , y 就 f x , y , z dv f x , y , z dz dz 1 x , y Db y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyb y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y ,

21、z dzb y 2 x z 2 x , y 即 f x , y , z dv a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y , z dz其中 D : y1x y y2x a x b 它是閉區(qū)域 在 xOy 面上的投影區(qū)域例 1 運算三重積分 x dxdydz 其中 為三個坐標面及平面 x 2y z 1 所圍成的閉區(qū)域解 作圖 區(qū)域 可表示為 : 0 z 1 x 2y 0 y 1 1 x 0 x 121 1 x 1 x 2 y于是 x dxdydz 0 dx 0 2 dy 0 xdz0 1xdx 0 12 x1 x 2 y dy1 1 x 2 x 2 x 3 dx 14 0 4

22、8爭論 其它類型區(qū)域呢 . 有時 我們運算一個三重積分也可以化為先運算一個二重積分、再運算一個定積分設(shè)空間閉區(qū)域 x y z|x y D z c1 z c2 其中 D z是豎坐標為 z 的平面截空間閉區(qū)域精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站x ,刪除感謝x2y2z21所圍成的空間閉所得到的一個平面閉區(qū)域就有y ,z dxdyfx ,y ,z dvc2dzzfc 1D例 2 運算三重積分z2dxdydz其中是由橢球面222abc區(qū)域于是解 空間區(qū)域可表為 : cz cdxdyabc1z 2c 2z 2 dz4 15abc 3x2y21z 2c 2a2b2z 2dxdydzcz 2dzccD

23、z練習(xí)1將三重積分If x ,y ,z dxdydz 化為三次積分其中 其1是由曲面 z 1 x2 y 2 z 0 所圍成的閉區(qū)域2是雙曲拋物面xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所圍成的閉區(qū)域3其中是由曲面 z x2 2y2 及 z 2 x 2 所圍成的閉區(qū)域2將三重積分Ifx,y,z dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式就這中由曲面 z 1 x 2 y2 z 0 所圍成的閉區(qū)域2利用柱面坐標運算三重積分設(shè) Mx y z為空間內(nèi)一點并設(shè)點 M 在 xOy 面上的投影P 的極坐標為P樣的三個數(shù)、 z 就叫做點 M 的柱面坐標這里規(guī)定、 z 的變化范疇為0 02z坐標面0 0 z z0的意義點 M 的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系xcosxcosysinz zys