壓軸題命題區(qū)間5立體幾何增分點2立體幾何問題空間與平面轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵

1、資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,增分點 立體幾何問題,空間與平面轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵在立體幾何中,判定和證明空間的線線、線面以及面面之間的位置關(guān)系 主要是平行與垂直的位置關(guān)系 ,運算空間圖形中的幾何量 主要是角與距離 是兩類基本問題正確揭示空間圖形與平面圖形的聯(lián)系,并有效地實施空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換是分析和解決這兩類問題的關(guān)鍵典例 2022 浙江高考 如圖,在 ABC 中,ABBC2,ABC120 .如平面 ABC 外的點 P 和線段 AC 上的點 D,滿意 PDDA ,PBBA,就四周體PBCD 的體積的最大值是_思路點撥 由題設(shè) PDDA ,P

2、BBA ,可知PBD 實際上是由ABC 沿 BD 翻折使 A 點到達 P點而得,也就是說這實際上是一個動態(tài)翻折問題不難知道,對每一個確定的點 D,當(dāng)四面體 PBCD 的體積取最大值時,必有平面 PBD平面 BCD 此時過點 P 向底面作的高最大接下來我們要挑選一個合適的變量,將四周體PBCD 的體積表示出來,再用函數(shù)或不等式等方法來解決空間問題要轉(zhuǎn)化為平面問題,這是通性通法,在這個過程中肯定要關(guān)注該幾何體的結(jié)構(gòu)特點,才能將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題方法演示 法一：平面幾何法由題意可知四周體PBCD 的體積最大時,應(yīng)有平面PBD 平面 BCD .如圖,過點P 作PF BD,垂足為 F,就 PF

3、平面 BCD ,就 VP-BCD1 3S BCD PF .由翻折過程可知 AF PF ,就 VP-BCD1 3S BCDAF ,這樣就將空間問題轉(zhuǎn)化為ABC 內(nèi)的問題等腰ABC 的底邊 AC邊上的高 hAB sin 301,V P-BCD1 3 1 2 DC h AF 1 6DCAF .DC 與 AF 不在同一個三角形中,如圖,由于 S ABD1 2BDAF 1 2AD h,就 AF AD BD,得 VP-BCD 1 6DC AD BD .設(shè) ADB ,由正弦定理得AD DB2sin150 ,DC 2sin 30sin ,就 VP-BCD23sin 150 sin 30sin cos 2cos

4、 120 3sin 2 3 sin 4sin ,易知函數(shù) 1 fxx1 4x在區(qū)間 0,1 上單調(diào)遞增,于上海高中資料群 1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：是 VP-BCD2 3 141 2.法二：構(gòu)造法1035630125,5 號群： 1079294226,換個角度看問題,我們把ABC “ 立起來 ” ,如圖,設(shè) BO平面 ACP,考慮以 B 為頂點,ACP 的外接圓O 為底面的圓錐,易得 AC 2 3,就 OB BA2OA2412AC 21.設(shè) PDA ,0, ,AD x0 xrLcos 45 2 L ,所以 2 2 r L 1.3.如圖,

5、等邊三角形 ABC 的中線 AF 與中位線 DE 相交于點 G,已知 AED 是 ADE 繞 DE 旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,以下命題錯誤的是 A動點 A 在平面 ABC 上的射影在線段 AF 上B異面直線 AE 與 BD 不行能垂直C三棱錐 A-EFD 的體積有最大值D恒有平面 AGF 平面 BCED解析： 選 B 依題意可知四邊形 ADFE 為菱形, 對角線 AF 與 DE 相互垂直平分, 故 A正確；在旋轉(zhuǎn)過程中 DE 始終垂直 GF 和 GA,故 DE 平面 AGF,所以恒有平面 AGF平面 BCED ,故 D 正確；當(dāng) AG平面 ABC 時,三棱錐 A-EFD 的體積取得最大值,故 C

6、正確； 由于 EF BD ,故異面直線 AE 與 BD 所成的角為 FEA ,旋轉(zhuǎn)過程中有可能為直角,故 B 錯誤42022 西安八校聯(lián)考 某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體,其直觀圖和三視圖如圖所示,正視圖為正方形,其中俯視圖中橢圓的離心率為上海高中資料群1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,a,2a、A. 1 2B.24C.2D.322解析：選 C依題意得,題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,設(shè)其直角邊長為就斜邊長為2a,圓錐的底面半徑為2 2 a、母線長為a,因此其俯視圖中橢圓的長軸長為

7、短軸長為 a,其離心率e1a22 2 .2a5.如圖, 正方體 ABCD -A 1B1C1D 1 的棱長為3,以頂點 A 為球心, 2為半徑作一個球, 就圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于 由于 AA 1B.2 3A.5 6C D.7 6解析： 選 A3,AE 2,所以 EAF 6,E F 的長為 6 2 3,又由于BF 1, FBG 2,所以 G F 的長為 2 1 2,所以EF 和 GF 的長的和為5 6 .6.已知圓柱 OO 1 的底面半徑為 1,高為 ,平面 ABCD 是圓柱的一個軸截面動點 M 從點 B 動身沿著圓柱的側(cè)面到達點 D,其距離最短時在側(cè)面留下的曲線 如下

8、列圖現(xiàn)將軸截面 ABCD 圍著軸 OO1 逆時針旋轉(zhuǎn)0 后,邊 B 1C1 與曲線 相交于點 P,設(shè) BP 的長度為 f,就 yf的圖象大致為 解析： 選 A 將圓柱的側(cè)面沿軸截面 ABCD 展平,就曲線 是綻開圖形 即矩形 的對角線依據(jù)題意,將軸截面 ABCD 圍著軸 OO1 逆時針旋轉(zhuǎn) 0 后,邊 B 1C1 與曲線 相交于點 P,設(shè) BP 的長度為 f,就 f應(yīng)當(dāng)是一次函數(shù)的一段,應(yīng)選 A.7.把平面圖形 M 上的全部點在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形 M 稱為圖形 M 在這個平面上的射影如圖,在長方體 ABCD -EFGH 中, AB5,AD 4,AE3.就 EBD 在平面 EBC 上的射

9、影的面積是 25A 2 34 B. 2C 10 D30上海高中資料群 1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,解析： 選 A 連接 HC ,過 D 作 DM HC ,連接 ME ,MB ,由于 BC平面 HCD ,DM. 平面 HCD ,所以 BCDM ,由于 BCHC C,所以 DM 平面 HCBE ,即 D 在平面 HCBE 內(nèi)的射影為M ,所以 EBD 在平面 HCBE 內(nèi)的射影為 EBM ,在長方體中,HC BE,所以MBE 的面積等于CBE 的面積,所以EBD 在平面 EBC 上的射影

10、的面積為 125232 42 34.8.棱長為 2 的正四周體的四個頂點都在同一個球面上,如過該球球心的一個截面如圖,就圖中三角形 正四周體的截面 的面積是 2 3A. 2 B. 2C. 2 D. 3解析： 選 C 球具有對稱性,關(guān)于每一個過球心的平面 包括圖中給出的截面 都是對稱的同樣,球的內(nèi)接正四周體也應(yīng)關(guān)于此截面對稱,因此圖中三角形位于球大圓內(nèi)的頂點應(yīng)是棱AB 所對的棱 CD 的中點 E.依題意, AB 2,AEBE 3,故所求三角形 正四周體的截面 的面積為 2.92022 江西八校聯(lián)考 已知三棱錐 A-BCD 中,AB ,AC,AD 兩兩垂直且長度均為 10,定長為 mm6的線段 M

11、N 的一個端點 M 在棱 AB 上運動,另一個端點 N 在 ACD 內(nèi)運動 含邊界 ,線段 MN 的中點 P 的軌跡的面積為 2,就 m 的值等于 A 2 B3C 4 D5解析： 選 C 由 AB,AC,AD 兩兩垂直且長度均為 10,可知三棱錐A-BCD 的外形如下列圖 又 M 點在線段 AB 上,N 點在平面 ACD 內(nèi)運動m含邊界 , MN 的中點 P 的軌跡是一個半徑為 2的球的 1 8,其表面積為 S1 8 4R2 1 8 4m2 2m 2 82,解得 m4.10.如圖,直三棱柱 ABC-A 1B 1C1 的底面為直角三角形,ACB 90,AC 6,BCCC12,P 是 BC1 上一

12、動點,就 CPPA1 的最小值是 A. 2 B5 2C 4 D10 2解析： 選 B 沿 BC1 將二面角 A1-BC1-C 綻開,使 A 1,B,C1,C四點位于同一平面,形成四邊形 A 1BCC1.由直三棱柱 ABC-A1B 1C1的底面為直角三角形, 且 ACB 90,可知 AC平面 BB 1C1C,上海高中資料群 1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,故在四邊形 A 1BCC 1 中, A1C1BC 1.又由 BC CC12,可知四邊形 BB 1C1C 是正方形,所以 BC1C 是等腰

13、直角三角形,BC 12, BC 1C45, A1C1C135 如圖 P 是 BC1上一動點, CPPA1 A1C,當(dāng)且僅當(dāng)點 P 在 A 1C 上時,等號成立,故 CPPA1的最小值是線段 A 1C 的長在A 1C1C 中, AC 2 1A 1C 2 1CC 2 12 A1C1 CC1 cos 135 3622 622 250,A 1C5 2.由此可知, CPPA1 的最小值是 5 2.11.如圖,在等腰梯形 ABCD 中, AB2DC 2, DAB 60,E為 AB 的中點,將ADE 與 BEC 分別沿 ED,EC 向上折起,使 A,B重合于點 P,就三棱錐 P-DCE 的外接球體積為 4

14、3 6A. 27 B. 26 6C. 8 D. 24解析： 選 C 如圖,經(jīng)過折疊生成的正四周體 P-DCE 必內(nèi)接于正方體,正四周體 P-DCE 的各條棱都是此正方體的面對角線,正四周體P-DCE 的四個頂點都是正方體的頂點,因此正四周體 P-DCE 和正方體共外接球由正四周體的棱長為 1,可知正方體的棱長為 2,其對角 2線長為 2,即球的直徑為 62,所以三棱錐 6P-DCE 的外接球體積 V4 34 6 38 . 612.2022沈陽質(zhì)檢 在九章算術(shù)中,將四個面都是直角三角形的四周體稱為鱉臑,在鱉臑 A-BCD 中, AB 平面 BCD ,且 BDCD ,ABBD CD ,點 P 在棱

15、 AC 上運動,設(shè) CP 的長度為 x,如 PBD 的面積為 fx,就 fx的圖象大致是 解析： 選 A 如圖,作 PQBC 于 Q,作 QRBD 于 R,連接 PR,就PRBD.由鱉 臑的定義知 PQ AB,QR CD .設(shè) AB BD CD1,就CP ACxPQ 1,即 PQ x 3.又QR 1BQ BCAP AC3x,33所以 QR3 x,3上海高中資料群1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,2x22 3x3 , 所 以fx 所 以PRPQ2QR2x23x2 3 3333 62x22 3

16、x36 6x323 4,結(jié)合圖象知選A.2二、填空題13.2022南昌模擬 如圖, 在直角梯形 ABCD 中,ADDC,AD BC,BC 2CD2AD2,如將該直角梯形繞 BC 邊旋轉(zhuǎn)一周,就所得的幾何體的表面積為 _解析： 依據(jù)題意可知,此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐 底面半徑為 1,高為 1,下半部分為圓柱 底面半徑為 1,高為 1,如下列圖就所得幾何體的表面積為圓錐側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和,即表面積為 112 122 1 2 1 2 2 3 .答案： 23 14如圖,在矩形 ABCD 中, AB8,BC 4,E 為 DC 邊的中點,沿 AE 將 ADE 折起,在折起過程中,以

17、下結(jié)論中能成立的序號為 _ED平面 ACD ； CD平面 BED ；BD平面 ACD ； AD平面 BED .解析： 由于在矩形 ABCD 中, AB 8,BC4,E 為 DC 邊的中點,就在折起過程中,D 點在平面 BCE 上的投影為 O1O2如圖 由于 DE 與AC 所成角不能為直角,所以 DE 不垂直于平面 ACD ,故錯； 只有 D 點投影位于 O2 位置時, 即平面 AED 與平面 AEB 重合時, 才有 BE CD ,此時 CD 不垂直于平面 AECB ,故 CD 不垂直于平面BED ,故錯； BD 與 AC 所成的角不能為直角,所以BD 不垂直于平面 ACD ,故錯；由于 AD

18、ED ,并且在折起過程中,有 AD BD,所以存在一個位置使 ADBE ,所以在折起過程中 AD平面 BED 能成立,故正確答案： 15.2022湘中名校聯(lián)考 一塊邊長為a cm 的正方形鐵片按如下列圖的陰影部分裁下,然上海高中資料群1026782372,3 號群： 992351236 資料下載來源：江蘇高中資料群：1035630125,5 號群： 1079294226,后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,就容器的容積的最大值是_解析： 如圖,設(shè) AB x,OF x 2,EF a 20 xa,1 6x2a 2 x2所以 EO EF2OF21 2a2x2.所以 Vx1 3S 正方形 ABCD EO 1 6a2x4