高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修1第一章集合與函數(shù)概念-描點(diǎn)法Plus

1、描點(diǎn)法Plus教學(xué)設(shè)計(jì)成都樹德中學(xué) 鄧連康一、教學(xué)內(nèi)容解析1. 本課的地位與作用函數(shù)是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而函數(shù)圖象是函數(shù)的主要表達(dá)方式，所以函數(shù)圖象及圖象的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位。函數(shù)圖象是函數(shù)概念及其性質(zhì)的重要內(nèi)容，也是為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、解不等式等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。2. 本課內(nèi)容剖析本節(jié)課主要是討論怎么作出復(fù)雜函數(shù)圖象。函數(shù)圖象本身是由點(diǎn)構(gòu)成，所以描點(diǎn)法是基礎(chǔ)。連點(diǎn)成線的過程中，線怎么連是本節(jié)課主要討論解決的問題。進(jìn)而需要確定函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合描點(diǎn)法作函數(shù)圖象是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，即描點(diǎn)法升級(jí)版，稱之為描點(diǎn)法Plus二、學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課授課對(duì)象是高一

2、年級(jí)學(xué)生。學(xué)生已知的函數(shù)圖象是：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象。作函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法。對(duì)常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較熟悉，在通過這段時(shí)間對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以探究部分函數(shù)的一般性質(zhì)，比如單調(diào)性，最值，奇偶性。還沒有經(jīng)歷過畫出一個(gè)稍微復(fù)雜函數(shù)的圖象，獨(dú)立畫出復(fù)雜函數(shù)圖象還是有很大困難。三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.教學(xué)目標(biāo)：利用函數(shù)性質(zhì)結(jié)合描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象，構(gòu)建函數(shù)圖象作圖的一般步驟。2.目標(biāo)解析：（1）描點(diǎn)法是函數(shù)作圖基本方法。隨著高中數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，需要作出更加準(zhǔn)確的函數(shù)圖象。除了分析函數(shù)的單調(diào)性、值域、奇偶性等性質(zhì)，還需要分析特殊點(diǎn)、特殊線等特殊性質(zhì)。再結(jié)合描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象。（2）研究函數(shù)

3、的性質(zhì)比較困難，通過學(xué)生獨(dú)立分析，老師引導(dǎo)，利用所學(xué)知識(shí)研究函數(shù)性質(zhì)。（3）利用函數(shù)性質(zhì)作圖過程中，注意函數(shù)圖象的特殊線、特殊點(diǎn)，這是本節(jié)課的難點(diǎn)。通過學(xué)生自主探究，相互討論，數(shù)值計(jì)算等方式讓學(xué)生認(rèn)識(shí)漸近線。四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)策略主要采用問答式、自主探究的教學(xué)方式。因?yàn)槊课煌瑢W(xué)的知識(shí)、能力不同，認(rèn)識(shí)問題的習(xí)慣和特點(diǎn)也不同，所以本節(jié)課的部分教學(xué)過程不是封閉的、靜態(tài)的，而是動(dòng)態(tài)的、開放的。充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索未知的積極性，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)探究能力的發(fā)展。五、課前準(zhǔn)備教具:多媒體（投影儀）、PPT課件、翻頁(yè)筆、希沃手機(jī)助手，直尺。學(xué)具:草稿本、直尺、鉛筆、畫圖和演示用的A4

4、紙。課前思考：已知，需要畫出函數(shù)的圖象，你有哪些思考，請(qǐng)結(jié)合你的思考畫出函數(shù)圖象。六、教學(xué)過程結(jié)合以上分析,本課的教學(xué)環(huán)節(jié)擬分為三環(huán)節(jié),教學(xué)流程及大致時(shí)間分配如下：詩(shī)與遠(yuǎn)方（4分鐘）數(shù)學(xué)與思（30分鐘）數(shù)學(xué)與詩(shī)（6分鐘）教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)與詩(shī)詩(shī)情畫境猜一猜：每個(gè)圖象分別對(duì)應(yīng)哪一句詩(shī)？華羅庚教授數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。老師：同學(xué)們，高中的學(xué)習(xí)生涯已經(jīng)拉開帷幕，我們學(xué)習(xí)函數(shù)也有一段時(shí)間了，請(qǐng)回想我們主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的哪些知識(shí)？學(xué)生：函數(shù)三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域；函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，最值，奇偶性。老師：在學(xué)習(xí)函數(shù)

5、的相關(guān)概念時(shí)，為了更好的理解概念，常用三種語言表示概念，還記得三種語言是指哪三種語言？學(xué)生：圖形語言，文字語言，符號(hào)語言。老師：非常好。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，實(shí)際上是圖形語言、文字語言，符號(hào)語言互相轉(zhuǎn)化和內(nèi)化的過程。三種語言各有特點(diǎn)。我們牙牙學(xué)語的時(shí)候就開始接觸文字語言，中國(guó)的語言文化更是沉淀了幾千年，并且積累了大量的經(jīng)典文學(xué)著作。我們熟悉的唐代詩(shī)人王之渙的名作登鸛雀樓就是其中之一。老師：詩(shī)句以文字語言向讀者表達(dá)情境，數(shù)學(xué)老師我分別用四個(gè)數(shù)學(xué)圖象表達(dá)四句詩(shī)中的意境，請(qǐng)同學(xué)們猜一猜每個(gè)圖象分別對(duì)應(yīng)哪一句詩(shī)？學(xué)生：很快指出第三句和第四句對(duì)應(yīng)的圖象，第一二句可以稍作討論。老師：以上四個(gè)數(shù)學(xué)圖象能夠?qū)⒃?shī)

6、句中的意境直觀的表達(dá)。每一組圖象，都是先已知解析式，再作出相應(yīng)的圖象。例如，看到熟知的高斯函數(shù)，請(qǐng)回想它的圖象是怎樣畫出來的？學(xué)生：高斯函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，寫出分段函數(shù)的解析式（PPT展示分段函數(shù)解析式），然后作出圖象。老師：那第一句和第二句對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象又是怎樣畫出來？學(xué)生：不清楚。老師：這兩個(gè)函數(shù)我們都還沒有學(xué)習(xí)，所以現(xiàn)在還不能回答這個(gè)問題。但是作出函數(shù)圖象，結(jié)合解析式在研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等問題中有著重要的作用。這正是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)家華羅庚教授還專門作了一首詩(shī)。老師：既然數(shù)形結(jié)合如此好，那這節(jié)課就先探究函數(shù)的形，即：函數(shù)圖象怎么畫？讓學(xué)生感受圖象表達(dá)的直觀性。說明探究函數(shù)圖象

7、作圖的必要性，為下一個(gè)環(huán)節(jié)做鋪墊。（二）數(shù)學(xué)與思探究1：課前思考：已知，若要畫出函數(shù)圖象，你有哪些思考，請(qǐng)結(jié)合思考畫出函數(shù)圖象。描點(diǎn)法函數(shù)性質(zhì)+描點(diǎn)法問題分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)圖象是否關(guān)于軸對(duì)稱？奇偶性：偶函數(shù)。問題：分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)圖象在是不是下降的？寫出分析過程。單調(diào)性與最值：在單調(diào)遞減，無最小值問題：，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸？數(shù)值計(jì)算：23456710100漸近線：函數(shù)圖象：?jiǎn)栴}：在上，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？探究1小結(jié)描點(diǎn)法Plus老師：課前給同學(xué)們布置了思考問題，同學(xué)們都完成了嗎？左側(cè)板書：1、學(xué)生：完成

8、了。老師：我們一起看看這幾位同學(xué)的完成的情況。展臺(tái)展示：展示四位學(xué)生的函數(shù)圖象。老師：首先不談圖象的對(duì)與錯(cuò)，我們先看看圖象是否規(guī)范：注意：關(guān)注：作圖工具；坐標(biāo)軸及原點(diǎn)標(biāo)識(shí)，平滑曲線連點(diǎn)等。老師：同學(xué)們?cè)賮砜纯催@四位同學(xué)畫對(duì)了嗎？學(xué)生：不知道/不確定/對(duì)了。老師：數(shù)學(xué)是理學(xué)，有嚴(yán)密的分析過程，就能得到準(zhǔn)確的結(jié)論。下面就請(qǐng)這幾位同學(xué)說一說他們?cè)趺串嫵鲞@個(gè)函數(shù)圖象的。學(xué)生：用描點(diǎn)法畫出的函數(shù)圖象。老師：很好，描點(diǎn)法是作圖的基本方法。還有其他的思考嗎？學(xué)生：先描點(diǎn)法作出一些特殊的點(diǎn)，然后再分析函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)再作出函數(shù)圖象。老師：這位同學(xué)先分析函數(shù)性質(zhì)，再結(jié)合描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象，你為什么想到要去分析

9、函數(shù)性質(zhì)呢？學(xué)生：比如說如果知道函數(shù)的單調(diào)性，就可以知道函數(shù)圖象是上升還是下降。（若學(xué)生回答較困難，老師可以引導(dǎo)）（老師：比如說知道函數(shù)的單調(diào)性，就可以知道函數(shù)圖象的什么特點(diǎn)？學(xué)生：圖象是上升還是下降）老師：回答的非常好，知道函數(shù)的性質(zhì)可以知道函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)。剛才看到同學(xué)們畫的函數(shù)圖象都是關(guān)于軸對(duì)稱的，那首先就來檢驗(yàn)這個(gè)圖象特點(diǎn)是否正確，請(qǐng)同學(xué)們完成以下問題。性質(zhì)1：奇偶性問題分析函數(shù)解析式，判斷圖象是否關(guān)于軸對(duì)稱？學(xué)生：是的。老師：你是通過函數(shù)什么性質(zhì)判斷的？學(xué)生：是偶函數(shù)。老師：你又是怎樣判斷是偶函數(shù)的？學(xué)生：定義法。右側(cè)板書：，偶函數(shù)。老師：很好！定義法是判函數(shù)奇偶性的基本方法，說明

10、同學(xué)們基本概念很清楚。還有不同的方法嗎？學(xué)生：奇偶性的運(yùn)算。老師：非常好，奇偶性運(yùn)算法也是非常重要而且好用的方法。老師：通過分析，函數(shù)圖象是關(guān)于軸對(duì)稱的。老師：既然函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，我們就可以只研究軸右側(cè)的函數(shù)圖象怎么畫。即只需要畫出函數(shù)在上的圖象。研究范圍就縮小一半，作圖也就更加的簡(jiǎn)單。性質(zhì)2：?jiǎn)握{(diào)性與最值老師：再看看這幾位同學(xué)們的圖象，在軸右側(cè)都是下降的。接下來就檢驗(yàn)這個(gè)圖象特點(diǎn)正確與否，請(qǐng)同學(xué)們完成以下問題。問題：分析函數(shù)解析式，判斷函數(shù)在的圖象是不是下降的？寫出分析過程。學(xué)生：是。老師：你是通過函數(shù)的什么性質(zhì)判斷的？學(xué)生：?jiǎn)握{(diào)性，函數(shù)在上單調(diào)遞減。老師：你又是怎么判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減

11、的？學(xué)生：定義法。老師手機(jī)拍照展示，學(xué)生簡(jiǎn)述。（或者學(xué)生說老師板書）老師：很好，定義法是判函數(shù)單調(diào)的基本法。還有不同的方法嗎？學(xué)生：復(fù)合函數(shù)法。老師手機(jī)拍照展示并點(diǎn)評(píng)，學(xué)生簡(jiǎn)述，老師簡(jiǎn)評(píng)（或者學(xué)生說老師板書）。老師：非常好，復(fù)合函數(shù)能夠判斷一些復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，是判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法。雖然方法不同，但是都得到同一個(gè)結(jié)論。PPT展示：在單調(diào)遞減老師：清楚了函數(shù)的單調(diào)性，就可以順其自然的得到函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)，是什么性質(zhì)？學(xué)生：函數(shù)最大值，最小值。PPT展示：，無最小值老師：同學(xué)們分析了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值。再看看這幾位同學(xué)畫的函數(shù)圖象草圖大致對(duì)了嗎？學(xué)生：分析，判斷出哪些是與性質(zhì)明顯

12、矛盾的，哪些是與性質(zhì)完全符合的，并且檢驗(yàn)自己的圖象。但是，圖象在下降，圖象是否穿過軸是學(xué)生的困惑點(diǎn)。性質(zhì)3：漸近線老師：到此時(shí)此刻，同學(xué)們?cè)俅慰吹竭@幾個(gè)函數(shù)圖象，心中還有無困惑？學(xué)生1：有，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸呢？老師：這個(gè)問題很好。請(qǐng)同學(xué)們共同討論回答這個(gè)問題。學(xué)生2：沒有。老師：老師我有一個(gè)困惑，已知，函數(shù)圖象在下降，為什么函數(shù)圖象是一直在軸上方，而不是穿過軸？請(qǐng)同學(xué)們互相討論回答問題。問題：，函數(shù)圖象在下降，函數(shù)圖象是一直在軸上方，還是穿過軸？學(xué)生1：，所以圖象一直在軸上方（右側(cè)板書）學(xué)生2：，方程無解，所以圖象與軸無交點(diǎn)，且一直在軸上方（右側(cè)板書）。老師：

13、回答正確，而且非常妙的用了數(shù)形結(jié)合思想。正如華羅庚教授說的“形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”，同學(xué)討論了函數(shù)值和零的大小關(guān)系（或方程是否有根），知道了函數(shù)圖象一直在軸上方。老師：并且通過具體的數(shù)值計(jì)算，當(dāng)增大時(shí)，函數(shù)值漸漸接近于零，但是永遠(yuǎn)不等于零。PPT展示：數(shù)值計(jì)算：23456710100老師：這說明隨著增大，函數(shù)圖象無限靠近軸，且永不相交。此時(shí)稱：軸，即：是函數(shù)圖象的漸近線。用幾何畫板畫出函數(shù)圖象如下。PPT展示：老師：同學(xué)們看到這個(gè)函數(shù)圖象，還有困惑嗎？學(xué)生1：有：函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。圖象下降的速度快慢又與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)呢？老師：這個(gè)問題非常好，同學(xué)觀察的很

14、細(xì)致。但這個(gè)問題需要我們有更多的知識(shí)積累才能回答，如果有提前學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)的同學(xué)，可以在課后探究。學(xué)生2：沒有。老師：我們從圖象中還看到，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。圖象下降的速度快慢又與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)呢？問題：在上，函數(shù)圖象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？學(xué)生：不知道。老師：這個(gè)問題需要我們有更多的知識(shí)積累才能回答，若有提前學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)的同學(xué)，可以在課后探究。探究1小結(jié)老師：以前我們常觀察函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)。今天我們先研究函數(shù)性質(zhì)，再以描點(diǎn)法為基礎(chǔ)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)圖象。這就是描點(diǎn)法的升級(jí)版，即：描點(diǎn)法Plus。根據(jù)以上的過程，用思維

15、導(dǎo)圖總結(jié)描點(diǎn)法Plus作圖的步驟如下。PPT展示：通過對(duì)課前的思考，作圖，以及這里再次對(duì)問題深入探究，讓學(xué)生體會(huì)僅用描點(diǎn)法作圖的局限性。進(jìn)而通過研究函數(shù)性質(zhì)，通過性質(zhì)再去作函數(shù)圖象，體會(huì)描點(diǎn)法的升級(jí)版。探究2：已知，按描點(diǎn)法Plus作圖步驟畫出函數(shù)圖象：分析并寫出函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象。函數(shù)圖象：老師：實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。接下來請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下面的探究2。學(xué)生：研究函數(shù)性質(zhì)，并寫出過程，然后再結(jié)合描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象。學(xué)生：首先分析函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)是奇函數(shù)學(xué)生：接著分析函數(shù)的單調(diào)性，可能用定義法，和復(fù)合函數(shù)法兩法。若大部分學(xué)生一開始就選擇定義法，因?yàn)槎x法的有計(jì)算的難

16、度，老師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用復(fù)合函數(shù)法。老師：用展臺(tái)按描點(diǎn)法Plus作圖步驟順序直播學(xué)生分析過程和畫圖過程。四位同學(xué)每位同學(xué)直播一個(gè)完整的階段，大致分為對(duì)稱性、單調(diào)性與最值，漸近線，作圖四個(gè)階段。并拍照最后的結(jié)果。PPT展示：一位同學(xué)的分析過程和作出的函數(shù)圖象。老師：我們一起看看這位同學(xué)的解答。并且請(qǐng)這位同學(xué)講解整個(gè)分析性質(zhì)和作圖過程。學(xué)生：上講臺(tái)，根據(jù)自己的作圖過程講解。學(xué)生分析函數(shù)性質(zhì)結(jié)果：（1）（2）是奇函數(shù)（3）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，無最小值（4）漸近線：注意：若學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)回答的很全面，則進(jìn)入幾何畫板展示階段。若學(xué)生可能回答不全面（漸近線），讓其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充。老師：同學(xué)完成的非常

17、好。函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值很清楚，而且分析出了函數(shù)有漸近線。最終作出了圖象。最后用我們幾何畫板作圖檢驗(yàn)。PPT展示：幾何畫板作出的函數(shù)圖象老師：看來同學(xué)們已經(jīng)能畫出一些復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)圖象，已經(jīng)完成了這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，把最熱烈的掌聲送給你們自己。檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)描點(diǎn)法Plus的掌握情況。有一定的困難。能夠運(yùn)用描點(diǎn)法Plus作出函數(shù)圖象是本節(jié)課的重要目標(biāo)。（三）思與遠(yuǎn)方課堂小結(jié)：函數(shù)作圖方法草圖不草函數(shù)草圖不草率定義性質(zhì)先掛帥冷靜細(xì)致有慢快切記點(diǎn)線要裝怪老師：學(xué)海無涯，學(xué)無止境。作函數(shù)圖象，除了今天學(xué)習(xí)的“描點(diǎn)法Plus”之外，今后還要學(xué)習(xí)“圖象變換法”PPT展示：思維導(dǎo)圖：函數(shù)圖象的作法：（1）描點(diǎn)法Plus，（2）圖象變換法老師：最后我們用一首詩(shī)