高中數(shù)學(xué)人教A版高中選修2-1第三章空間向量與立體幾何-空間向量和空間角

1、3.2 立體幾何中的向量方法【基礎(chǔ)知識歸納】1.用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：(1)化為向量問題:建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面； 方法一：選取一組基向量，把所有向量用線性表示； 方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算:通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問題；(3)回到幾何問題:把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。2. 平面的法向量的求法：設(shè)是平面的一個法向量，是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則，即，此方程組的任意一個非零解都可以作為平面的法向量?！净绢}型與典型習(xí)

2、題分析】（一） 求兩直線所成的角，或證明 線線垂直、線面垂直常用公式： （1）； （2）兩向量夾角的公式：，立體幾何中有關(guān)夾角的問題，一般用此式解決。例題1. (2023北京理)如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，. ()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；練習(xí)1.(2023重慶文)如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn). ()證明:平面；（二）求二面角的大小二面角的求法：先分別求出平面、的法向量分別、，則二面角的余弦值是， （有時會相差一個負(fù)號）例題2.（2023陜西文） 如圖,在底面為直角梯形的四棱錐，,BC=6. () 求二面角的大小.練習(xí)2.（2023全國新課標(biāo)理）如圖，直三棱

3、柱中，是棱的中點(diǎn)，.(1)證明：； (2)求二面角的大小.（三）求直線與平面所成的角、以及點(diǎn)到平面的距離【基本方法】 1.設(shè)A，B，平面的法向量是，直線AB與平面所成的角是，則2.設(shè)A，B，平面的法向量是，則點(diǎn)A到平面的距離為 【典型例題分析】例3已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB=2，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn). (據(jù)2023遼寧理改編) （）求SN與平面CMN所成角的大??； （）求點(diǎn)S到平面CMN的距離. 練習(xí)3. (2023北京理)如圖1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I) 求證：A1C平面BCDE； (II) 若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；【鞏固練習(xí)】1(2023江西)如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，AB平面，.(1) （文）求直線與平面所成的角的大??；(2) （理）求點(diǎn)A到平面MBC的距離； (3) （文、理) 求平面與平面所成的二面角的余弦值.2（2023安徽理）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形