偏微分方程的解法

1、偏微分方程的解法第1頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一一、可分離變量的微分方程 1. 定義 其中f(x),g(y) 分別是 x ,y 的連續(xù)函數(shù) 2.分離變量法 把方程中的兩個(gè)變量分離開(kāi)來(lái)，使方程的一邊只含有 y 的函數(shù)及dy，另一邊只含有 x 的函數(shù)及 dx，然后兩邊積分，從而求出微分方程的解 這種方法稱(chēng)為分離變量法 形如 （1）的一階微分方程，叫做可分離變量的微分方程. 2第2頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一3步驟(1)分離變量，得 (2) 兩邊積分，得 (3) 求得積分，得 3第3頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一解 分

2、離變量，得 兩邊積分，得 得 即 得方程的通解為 例14第4頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一例 解 分離變量，得 兩邊積分， 得化簡(jiǎn)，得 于是所求微分方程的特解為 原方程可化為5第5頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一二、齊次型微分方程 1. 定義形如的微分方程，稱(chēng)為齊次型微分方程 因?yàn)榉匠炭苫癁?6第6頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一2解法在方程 ( 2 ) 中，引進(jìn)新的未知函數(shù) 代入方程(2)，便得可分離變量方程 即 兩邊積分，得 求出積分后， 即得所求齊次型微分方程的通解 7第7頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)

3、50分，星期一例3 解 原方程可化為 它是齊次型微分方程 代入原方程，得分離變量，得 兩邊積分，得 即 這就是所求微分方程的通解 8第8頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一三、一階線性微分方程 1、定義方程（3）稱(chēng)為一階線性非齊次微分方程 方程（3）稱(chēng)為一階線性齊次微分方程方程 稱(chēng)為一階線性微分方程， (3)9第9頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一2、一階線性齊次微分方程的通解先討論一階線性齊次微分方程 （4） 的通解 顯然，方程（4）是可分離變量方程 分離變量后，得 兩邊積分，得 這就是一階線性齊次微分方程(4)的通解公式 注意即 (5-1) 在用上

4、式進(jìn)行具體運(yùn)算時(shí)，其中的不定積分只表示P(x)一個(gè)確定的函數(shù).10第10頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一3、一階線性非齊次微分方程的解法常數(shù)變易法(5) 由方程特點(diǎn)，設(shè)一階線性非齊次微分方程的通解為對(duì)（5）式求導(dǎo)得 (6) 將(5)和(6)代入方程(3)并整理得 由此可得 將上式代入(5)式，得一階線性非齊次微分方程的通解為(5-2) 11第11頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一 公式中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) 這種通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法公式(

5、5-2)也可寫(xiě)成下面的形式 (7) 由此可知：一階線性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和 注意:12第12頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一例4 解1 (常數(shù)變易法) 對(duì)應(yīng)的線性齊次方程為用分離變量法求得它的通解為 將上式中的任意常數(shù)C 換成函數(shù)C(x) ，即設(shè)原方程的通解為 （8） 則有 兩邊積分，得 再代入（8）式，即得所求方程的通解為 13第13頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一解2 (公式法) 代入公式（5-2），得 14第14頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一例5 解 對(duì)應(yīng)的齊次方程是用分離變量法求得它的通解為 用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的通解為 兩邊積分，得 因此，非齊次方程的通解為 故所求微分方程的特解為 15第15頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一例6 解 原方程可化為 將x 看作y 的函數(shù)，則它是形如 的一階線性非齊次微分方程 于是由一階線性非齊次方程的通解公式，得 或 這就是所求微分方程的通解 16第16頁(yè)，共17頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)50分，星期一四、小結(jié)：1.可分離變量的微分方程的特點(diǎn)、解法；2.齊次型微分方程的特點(diǎn)、解法；3.一階線性微分方程的解法,其中一階線性齊次方程的通