銳角三角函數(shù)全章教案

1、 教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2過程與方法通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣重點(diǎn)與難點(diǎn)1重點(diǎn)：直角三角形的解法2難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入上一節(jié)我們介紹了直角三角函數(shù)我們知道，一個(gè)直角三角形有許多元素的值，各三邊的長(zhǎng)，三個(gè)角的度數(shù)，三角

2、的正弦、余弦、正切值我們現(xiàn)在要研究的是，我們究竟要知道直角三角形中多少值就可以通過公式計(jì)算出其他值二、探究新知先看1972年的情形：設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為A,過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C,在RtAABC中，ZC=90,BC5.2BC=5.2m,AB=54.5m.sinA=-0.0954.所以ZA528.AB54.5教師要求學(xué)生求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角要想使人完全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角a 一般要滿足50WaW75，現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子，問：.使用這個(gè)梯子最高可以完全攀上多高的墻(精確到0.1m)?.當(dāng)梯子底端距

3、離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角a等于多少(精確到1)?這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？教師對(duì)問題的解法進(jìn)行分析：對(duì)于問題1,當(dāng)梯子與地面所成的角a為75時(shí),梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度.、BC、問題1的解法：由sinA=得BC=ABsinA=6Xsin75.由計(jì)算器求得ABsin750.97，所以BC6X0.975.8.因此使用這個(gè)梯子能夠完全攀到墻面的最大高度約是5.8m.AC2.4八/問題2的解法：由于cosa=0.4，求得a66.因此當(dāng)梯子底端距AB6離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是66，由506675。可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的.三、隨堂練習(xí)

4、如下圖，已知A、B兩點(diǎn)間的距離是160米，從A點(diǎn)看B點(diǎn)的仰角是11AC長(zhǎng)為1.5米，求BD的高及水平距離CD.解題方法分析：由A作一條平行于CD的直線交BD于E，構(gòu)造出RtAABE,然后進(jìn)一步求出AE、BE,進(jìn)而求出BD與CD.設(shè)置此題，即使成績(jī)較好的學(xué)生有足夠的訓(xùn)練，同時(shí)對(duì)較差學(xué)生又是鞏固，達(dá)到分層次教學(xué)的目的.解：過A作AECD，于是有AC=ED，AE=CD.在RtABE中,BEAEsinA=ABBE=ABsinA=160sin11=30.53（米）COsA=麗AE=ABcosA=160cos11=157.1（米）.BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）.CD=

5、AE=157.1（米）.答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米.四、課時(shí)總結(jié)利用三角函數(shù)解應(yīng)用題時(shí)，首先要把問題的條件與結(jié)論都轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形內(nèi)的邊和角，然后再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解題五、作業(yè)1RtAABC中,4若sinA=5，AB=10,那么BC=,tanB=在ABC中，ZC=90,AC=6,BC=8，那么sinA=3在ABC中，ZC=90,sinA=5，則cosA的值是()A.B.C.25D.16254.如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosZDAC.12(1)求證：AC=BD;(2)若sinC=i3，BC=12，求AD的長(zhǎng). HYPERLINK 282

6、解直角三角形（2）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2過程與方法通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形的解法教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入上一節(jié)課我們通過實(shí)例大致了解了通過已知條件來求三角形其他元素解法這一節(jié)課我們將提出解直角

7、三角形這一概念，并通過實(shí)例說明它的解法教師提出以下問題要求學(xué)生自行解答：三角形有六個(gè)元素，分別是三條邊和三個(gè)內(nèi)角.在RtAABC中，1根據(jù)ZA=75，斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？2根據(jù)AC=2.4,斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？學(xué)生解答完后教師給出解法.二、探究新知事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），這個(gè)三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，就是解直角三角形總結(jié)：（1）三邊之間的關(guān)系a2+b2=c2（勾股定理）（2）兩銳角之間的關(guān)

8、系ZA+ZB=90.（3）邊角之間的關(guān)系：CaB28.2-2,AC=2,BC=6,ZA的對(duì)邊_aZB的對(duì)邊_bsinA=斜邊=7，sinB=斜邊=CZA的鄰邊bZB的鄰邊acosA=斜邊=c，cosB=斜邊=cZA的對(duì)邊aZB的對(duì)邊btanA=za的鄰邊=b，tanB=zb的鄰邊=a例1、如課本圖28.2-3,在RtAABC中,ZC=90解這個(gè)直角三角形.BCJ6片解：.乜口人二=：3,AZA=60.ZB=90-ZA=90-60=30.ABV2AB=2AC=2P2.例2、如課本圖28.2-4,在RtABC中，ZC=90,ZB=35,b=20,解這個(gè)直角三角形.（精確到0.1）bb220“，b解

9、：.tanB=.a=28.6.sinB=,atanBtan350.70cc=b2020二）J.丄.sinBsin350.57ZA=90-ZB=90-35=55三、隨堂練習(xí)：課本第87頁練習(xí).四、小結(jié)解直角三角形就是已知直角三角形三條邊，三個(gè)角中的2個(gè)元素（其中有-個(gè)必須是邊）求其他元素的過程.解直角三角形常用的知識(shí)有：勾股定理，正弦余弦、正切，兩個(gè)內(nèi)角和為90度.五、作業(yè)：習(xí)題28.2第1題，第2題.282解直角三角形（3）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有

10、關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2過程與方法通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形的解法教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)過程一、引入本節(jié)課將利用解直角三角形知識(shí)解決生活中的許多問題2003年10月15日“神舟”5號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功我們將應(yīng)用直角三角形知識(shí)探究有關(guān)飛船運(yùn)行的一些知識(shí)二、探究新知例3：當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運(yùn)行如課本圖28.2-5,當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上

11、方時(shí)，從飛船上能直接看到的地球上最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少？（地球半徑約為6400km,結(jié)果精確到0.1km）.圖28.2-5分析：從飛船上能直接看到的地球上最遠(yuǎn)的點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn).如圖28.2-5所示，00表示地球，點(diǎn)F是飛船的位置，F(xiàn)Q是0O的切線，切點(diǎn)Q是從飛船觀察地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn).PQ的長(zhǎng)就是地面上P、Q兩點(diǎn)間的距離（不能用弦PQ去代替）.為了計(jì)算PQ的長(zhǎng)需先求出ZPOQ（即Za）.解：在圖28.2-5中，F(xiàn)Q是0O的切線，F(xiàn)OQ是直角三角形.*.*cosa=OQ_6400OF_6400+350沁0.95,.aal818兀pQ的長(zhǎng)為而X64001.3

12、4X640=2009.6.由此可見，當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2009.6km.例4：熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120m,問這棟高棟有多高？（結(jié)果精確到0.1m）分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角.因此，在課本圖28.2-6中，AD是與水平面平行的直線，則a=30,B=60，我們可以把這道題分成兩個(gè)直角三角形來解.在RtAABD中，a=30,AD=120，所以可以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地在厶ACD中可以求出CD.

13、進(jìn)而求出BC.解：如課本圖28.2-6,a=30,B=60,AD=120.BDCDv/3r-*.*tana=,tan0_BD=ADtana=120Xtan30=120X=4i-3,ADAD3CD=ADtanB=120Xtan60=120X=1203,ABC=BD+CD=4；3+1203=160/3277.1.答：這棟樓房約為277.1m.三、隨堂練習(xí)：89頁練習(xí)第1題、第2題.四、課時(shí)總結(jié)如果問題不能歸結(jié)為一個(gè)直角三角形，則應(yīng)當(dāng)對(duì)所求的量進(jìn)行分解，將其中的一部分量歸結(jié)為直角三角形中的量.五、作業(yè)習(xí)題28.2第3題、第4題.28.2解直角三角形（4） 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能理解直角三角形中邊與邊的關(guān)

14、系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.過程與方法通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形的解法.教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)過程一、探究新知本節(jié)課將應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解決測(cè)量中的方位角問題.（一）方位角與方向角方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90的角叫做方向角.如圖中的

15、目標(biāo)方向線OA,OB,OC分別表示北偏東60，南偏東30，北偏西70.特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南的方向線成45的角，如圖:目標(biāo)方向線OD與正南方向成45角，通常稱為西南方向.2方位角:從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角.如圖:目標(biāo)方向線PA，PB，PC的方位角分別是40，135，225（二）用解直角三角形的方法解決實(shí)際問題方法要點(diǎn)在解決實(shí)際問題時(shí)，我們要學(xué)會(huì)將千變?nèi)f化的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要善 于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關(guān)系，這樣才能很好地運(yùn)用解直角三角形的方法求解.解題時(shí)一般有以下三個(gè)步驟：審題.按題意畫出正確的平面

16、或截面示意圖，并通過圖形弄清已知和未知.將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.如果沒有現(xiàn)成是直角三角形可供使用，可通過作輔助線產(chǎn)生直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形.3根據(jù)直角三角形（或通過作垂線構(gòu)造直角三角形）元素（邊、角）之間關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.二、例題講解例5、如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處.這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.1海里）分析：這道題的解題思路與上一節(jié)課的例4相似.因?yàn)锳APB不是一個(gè)直角三角

17、形，所以我們把一個(gè)三角形分解為兩個(gè)直角三角形，AACP與PCB.PC是東西走向的一條直線.AB是南北走向的一直線，所以AB與PC是相互垂直的，即ZACP與ZBDP均為直角.再通過65度角與ZAPC互余的關(guān)系求ZAPC；通過34度角與ZBPC互余的關(guān)系求ZBPC.教師分析后要求學(xué)生自行做完這道題學(xué)生做完后教師再加以總結(jié)并板書.解：在RtAAPC中,PC=PA-cos（90-650）=80Xcos2580X0.91=72.505.在RtABPC中，ZB=34，TsinB-PB.PB=PC72.50572.505=沁129.7sinBsin340.559因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向時(shí)，

18、它距離燈塔P大約129.7海里.解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí).例如，當(dāng)我們要測(cè)量如課本圖28.2-8所示大壩的高度h時(shí)，只要測(cè)出仰角a和大壩的坡面長(zhǎng)度L,就能算出h=Lsina.但是，當(dāng)我們要測(cè)量如課本圖28.2-9所示的山高h(yuǎn)時(shí)，問題就不那么簡(jiǎn)單了.這是由于不能很方便地得到仰角a和山坡長(zhǎng)度L.圖28.2-8圖28.2-9圖28.2-10與測(cè)壩高相比，測(cè)山高的困難在于：壩坡是“直”的，而山坡是“曲”的.怎樣解決這樣的問題呢？我們?cè)O(shè)法“化曲為直，以直代曲”.我們可以把山坡“化整為零”地劃分為一些小段，課本圖28.2-10表示其中一部分小段.劃分小段時(shí)，注意

19、使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出這段坡長(zhǎng)測(cè)出相應(yīng)的仰角a,這樣就可以算出這段山坡的高度h1=L1sina.在每個(gè)小段上，我們都構(gòu)造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度h1，h2,.然后我們?cè)佟胺e零為整”，把h1，h2，相加，于是得到山高h(yuǎn).以上解決問題中所用的“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的做法，就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想，它在數(shù)學(xué)中有重要地位，在今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)更多地了解這方面的內(nèi)容.三、隨堂練習(xí)：課本第91頁練習(xí)第1題、第2題.四、課時(shí)總結(jié)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的

20、問題）.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形.得到數(shù)學(xué)問題的答案.得到實(shí)際問題的答案.五、作業(yè)習(xí)題28.2第5題、第8題.小結(jié)與復(fù)習(xí)知識(shí)結(jié)構(gòu)銳/fr|悴丈基礎(chǔ)知識(shí)1直角三角形的邊角關(guān)系：在RtAABC中,ZA+ZB=90,asinA=cosB=c，atanA=cotB=b，a2+b2=c2,bcosA=sinB=c，bcosA=tanB=a.2.互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系：如ZA+ZB=90,那么sinA=cosB,cosA=sinB.3同角三角函數(shù)間的關(guān)系：sinA,cosA,cotA-sin2A+cos2A=1,tanAcotA=1,tanA=cosAsinA.4.特殊角的三

21、角函數(shù)三角函數(shù)030456090sina0122逼21cosa122120tana021不存在cota不存在130解直角三角形的基本類型解直角三角形的基本類型及其解法如下表類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bac=Jd2+b2,tanA=b,ZB=90-ZA一直角邊a,斜邊cab=&2-a2,$込人=c,ZB=90-ZA一邊一銳角一直角邊a,銳角AaZB=90-ZA,b=acotA,c=sinA斜邊c,銳角AZB=90-ZA,a=csinA,b=ccosA解直角三角形注意點(diǎn)1盡量使用原始數(shù)據(jù)，使計(jì)算更加準(zhǔn)確有的問題不能直接利用直角三角形內(nèi)部關(guān)系解題，但可以添加合適的輔助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題

22、3一些較復(fù)雜的解直角三角形的問題可以通過列方程或方程組的方法解題4解直角三角形的方法可概括為“有弦（斜邊）用弦（正弦、余弦），無弦有切（正切、余切），寧乘毋除，取原避中”其意指：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，可用正弦或余弦；無斜邊時(shí)，就用正切或余切；當(dāng)所求元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則取原始數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)5必要時(shí)按照要求畫出圖形，注明已知和所求，然后研究它們置于哪個(gè)直角三角形中，應(yīng)當(dāng)選用什么關(guān)系式來進(jìn)行計(jì)算6要把添加輔助線的過程準(zhǔn)確地寫在解題過程之中7.解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中線、高、角平分線、周長(zhǎng)、面積等），一般將非

23、基本元素轉(zhuǎn)化為基本元素，或轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系式，再通過解方程組來解應(yīng)用題解題步驟度量工具、工程建筑、測(cè)量距離等方面應(yīng)用題的解題步驟可概括為如下幾步：第一步，審清題意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離、水平等概念的意義第二步，構(gòu)造出要求解的直角三角形，對(duì)于非直角三角形的圖形可作適當(dāng)?shù)妮o助線把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）第三步，選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)便，不易出錯(cuò)第四步，按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，并按照題目要求的精確度確定答案及注明單位思想方法總結(jié)1轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想貫穿于本章的始終例如，利用三角函數(shù)定義可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化，利用互余兩角三角函數(shù)關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)“正”與“余”的互化；利用同角三角函數(shù)關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)“異名”三角函數(shù)之間的互化此外，利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，首先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題2數(shù)形結(jié)合思想本章從概念的引出到公式的推導(dǎo)及直角三角形的解法和應(yīng)用，無一不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法例如，在解直角三角形的問題時(shí)，常常先畫出圖形，使已知元素和未知元素更直觀，有助于問題的順利解決3函數(shù)思想銳角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函數(shù)，其中都蘊(yùn)含著函數(shù)的思想例如，任意銳角a與它的正弦值是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.也就是說，對(duì)于銳角a任意確定的一個(gè)度數(shù)，sina都有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于sin