938三角形綜合證明解答題30題有答案

1、三角形綜合解答證明題專項(xiàng)練習(xí) 30 題1已知，如圖，1=2，ADBD 于 D，ACB=90，AC=BC，證明：AD= BE2如圖，點(diǎn)P 為ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，分別以 AB，AC 為斜邊作 RtABD 和 RtACE，且BAD=CAE，求證：PD=PE3已知，如圖ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，與 CD 相交于點(diǎn) F，H是 BC 邊的中點(diǎn)，連接 DH 與 BE 相交于點(diǎn) G求證：BF=AC；CE= BF4如圖，ABC 中，CA=CB，ACB=90，D 為ABC 外一點(diǎn)，且ADBD，BD 交 AC 于E，G 為BC 上一點(diǎn)，且BCG=DC

2、A，過 G 點(diǎn)作 GHCG 交 CB 于 H求證：CD=CG；若 AD=CG，求證：AB=AC+BH5如圖，在RtABC 和RtADE 中，AB=AC，AD=AE，CE 與BD 相交于點(diǎn)M，BD 交 AC 于點(diǎn) N試猜想BD與 CE 有何關(guān)系？并證明你的猜想6如圖，ABC 的邊 BC 的垂直平分線 DE 交BAC 的外角平分線 AD 于D，E 為垂足，DFAB 于F，且 ABAC，求證：BF=AC+AF7如圖 1，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE 于 D，BCECAD 的依據(jù)是（填字母）；猜想：AD、DE、BE 的數(shù)量關(guān)系為（不需證明）；當(dāng) BE 繞點(diǎn) B、AD 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到圖

3、 2 位置時，線段 AD、DE、BE 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論8如圖，分別以ABC 的邊 AB，AC 向外作等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，線段 BE 與 CD 相交于點(diǎn) O，連接 OA求證：BE=DC；求BOD 的度數(shù)；求證：OA 平分DOE9已知：如圖，在RtABC 中，CAB=90，AB=AC，D 為AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn)作CFBD 交BD 的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)作 AEAF 于點(diǎn)求證：ABEACF；過點(diǎn)作 AHBF 于點(diǎn) H，求證：CF=EH10探究題：如圖，在ABC 中，ACB=90，CEAB 于點(diǎn)E，AD=AC，AF 平分CAB 交CE 于點(diǎn) F，DF 的延長線交

4、 AC 于點(diǎn) G，試問：（1）DF 與 BC 有何位置關(guān)系？請說明理由（2）FG 與 FE 有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論11如圖在平行四邊形 ABCD 中，O 為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E 為線段BC 延長線上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)E 作EFCA，交 CD 于點(diǎn) F，連接 OF求證：OFBC；如果梯形 OBEF 是等腰梯形，判斷四邊形 ABCD 的形狀，并給出證明12如圖（1），ABC 中，ACB=90，AC=BC，直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C，ADMN 于點(diǎn) D，BEMN 于點(diǎn) E請說明：ADCCEB請你探索線段 DE，AD，EB 間的等量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)直線MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，其它條件不

5、變，線段 DE，AD，EB 又有怎樣的等量關(guān)系？（不必說理由）13已知，如圖：四邊形 ABCD 中，E 在 BC 邊上，AB=EC，B=C=AED（1）求證：AED 是等腰三角形；（2）當(dāng)B=C=AED=90時，求證：AB2+BE2=AE214如圖，AD 為ABC 的中線，ADB 和ADC 的平分線分別交 AB、AC 于點(diǎn) E、F求證：BE+CFEF15已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E 分別在BC 和 AC 上，且BD=CE，M 是 AB 的中點(diǎn)，連接CM，求證：CEMBDM；MDE 是等腰直角三角形16如圖ABC 為等邊三角形，P 為 BC 上一點(diǎn)，APQ 為等邊三角形（1）求證：A

6、BCQ（2）是否存在點(diǎn) P 使得 AQCQ？若存在，P 的位置；若不存在，說明理由17如圖，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BC=CD試說明CE=CFBCE 與DCF 全等嗎？試說明理由若 AB=21，AD=9，BC=CD=10，求 CE 的長18如圖，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE 于 DACDCBE若 AD=2.5cm，DE=1.1cm求 BE 的長19，A，E，F(xiàn)，C 在一條直線上，AE=CF，過 E，F(xiàn) 分別作 DEAC，BFAC，若 AB=CD，可以得到BD 平分 EF，為什么？說明理由20如圖，在ABC 中，BAC=90，且AB=AC，

7、ABC=ACB=45，點(diǎn)D 是AC 的中點(diǎn)，AEBD 于點(diǎn)F，交 BC 于點(diǎn) E，連接 DE求證：（1）BAF=ADB；（2）ADB=EDC21已知如圖，ABC 是等邊三角形，邊長為 6，DEBC 于 E，EFAC 于 F，F(xiàn)DAB 于 D，求 AD 的長22如圖：ABD 和ACE 都是 Rt，其中ABD=ACE=90，C 在 AB 上，連接 DE，M 是 DE 中點(diǎn)，求證：MC=MB23如圖，點(diǎn) C段 AB 上，ADEB，AC=BE，AD=BCCF 平分DCE求證：（1）ACDBEC；（2）CFDE24如圖，BD、CE 分別是ABC 的邊AC 和AB 上的高，點(diǎn)P 在BD 的延長線上，BP=

8、AC，點(diǎn)Q 在CE 上，CQ=AB求證：（1）AP=AQ；（2）APAQ25如圖，在ABC 中，D 是BC 的中點(diǎn)，過D 點(diǎn)的直線 GF 交 AC 于F，交 AC 的平行線BG 于G 點(diǎn)，DEGF，交 AB 于點(diǎn) E，連接 EG求證：BG=CF；請你判斷 BE+CF 與EF 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論26（1）如圖 1，已知點(diǎn) P 在正三角形 ABC 的邊 BC 上，以 AP 為邊作正三角形 APQ，連接 CQ求證：ABPACQ；若 AB=6，點(diǎn) D 是 AQ 的中點(diǎn)，直接寫出當(dāng)點(diǎn) P 由點(diǎn) B 運(yùn)動到點(diǎn) C 時，點(diǎn) D 運(yùn)動路線的長（2）已知，EFG 中，EF=EG=13，F(xiàn)G=10如圖 2

9、，把EFG 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)到EFG的位置，點(diǎn) M 是邊 EF與邊 FG 的交點(diǎn)，點(diǎn) N 在邊 EG上且 EN=EM，連接 GN求點(diǎn) E 到直線 GN 的距離27已知：ABC 是等邊三角形，BDC 是等腰三角形，其中BDC=120，過點(diǎn)D 作EDF=60，分別交 AB 于E，交 AC 于F，連接 EF若 BE=CF，求證：DEF 是等邊三角形；BE+CF=EF若 BECF，即 E、F 分別是線段 AB，AC 上任意一點(diǎn)，BE+CF=EF 還會成立嗎？請說明理由28如圖甲，已知在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直線MN 經(jīng)過點(diǎn) C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E說明ADCCEB說明

10、AD+BE=DE已知條件不變，將直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置時，若 DE=3、AD=5.5，則 BE=29如圖，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90，分別過 B、C 向過 A 的直線作垂線，垂足分別為 E、F如圖過 A 的直線與斜邊 BC 不相交時，求證：EF=BE+CF；如圖過 A 的直線與斜邊 BC 相交時，其他條件不變，若 BE=10，CF=3，求：FE 長30如圖 1，ABC 和CDE 為等邊三角形求證：BD=AE；若等邊CDE 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)到 BC、EC 在一條直線上時，（1）中結(jié)論還成立嗎？請給予證明；旋轉(zhuǎn)到如圖 2 位置時，若 F 為 BD 中點(diǎn)，G 為 AE 中

11、點(diǎn)，連接 FG，求證：CFG 為等邊三角形；FGBC三角形綜合解答證明題 30 題參考1證明：在RtABD 和RtNBD 中，：，ABDNBD（ASA），AD=ND= AN，3.（1）證明：CDAB，BEAC，BDC=ADC=AEB=90，A+ABE=90，ABE+DFB=90，A=DFB，ABC=45，BDC=90，DCB=9045=45=DBC，ACB=903+AED=AED+2，3=2，在ACN 和BCE 中，ACNBCE（ASA），BE=AN，BD=DC，在BDF 和CDA 中AD= BE2證明：如圖，分別取 AB、AC 的中點(diǎn) M、N，連接 DM、PM、PN、NE點(diǎn) P 為ABC 的

12、邊 BC 的中點(diǎn)，PM 為ABC 的中位線，BDFCDA（AAS），BF=AC；PM= AC（2）證明：BEAC，AEB=CEB，BE 平分ABC，ABE=CBE， 在AEB 和CEB 中又NE 為直角AEC 斜邊上的中線，NE=AN= AC，MP=NE同理 DM=PNDM=AM，1=3，5=21（三角形外角定理）同理，6=22又1=2，5=6又 PMAC，PNAB，7=9，8=9，7=8，5+7=6+8，即DMP=PNE，AEBCEB（ASA），AE=CE，即 CE= AC，由（1）知AC=BF，CE= BF4（1）解：ADBD，ADB=90，ACB=90，AED=BEC，CAD=DBH，B

13、CG=DCA，在ACD 和BGC 中在MDP 與NPE 中，MDPNPE（SAS），PD=PEACDBGC（ASA），CD=CG；（2）證明：延長 EC 到 F 使 CF=CE，如圖，AGCBCDAG=BD，CG=BD，AG=CG，GAC=GCA，CDG 為等腰直角三角形，CGD=45，GAC=22.5，ACBC，CF=CE，AEF 為等腰三角形，F(xiàn)AC=EAC=22.5，ABC 為等腰直角三角形，CAB=45，ABC=45，F(xiàn)AB=22.5+45=67.5，F(xiàn)=1804567.5=67.5，F(xiàn)=FAB，AB=BF，而 BF=BC+CF=AC+CE，AB=AC+CE證明：過 D 作 DNAC，

14、垂足為 N，連接 DB、DC，則 DN=DF（角平分線性質(zhì)），DB=DC（線段垂直平分線性質(zhì)），又DFAB，DNAC，DFB=DNC=90，在 RtDBF 和中，RtDBF （HL），在 RtDFA 和 RtDNA 中，RtDFARtDNA（HL）AN=AF，BF=AC+AN=AC+AF，即 BF=AF+AC7（1）解：AAS（2）證明：ACB=90，ACD+BCE=90，ADDE，ACD+CAD=90，CAD=BCE，又 AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，BE=CD，DE=CECD=ADBE5解：BD 和 CE 的關(guān)系是 BD=CE，BDCE，證明：ABC 和ADE 是等腰直角

15、三角形，BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在BAD 與CAE 中，（3）解：DE=CDCE=BEAD證明：ACB=90，ACD+BCE=90，ADDE，ACD+CAD=90，CAD=BCE，又 AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，BE=CD，DE=CDCE=BEAD8（1）證明：ABD 和ACE 都是等邊三角形，AB=AD，AE=AC，BAD=BDA=DBA=CAE=60，BAC+CAE=BAC+BAD，即BAE=DAC 在ABE 和ADC 中，BADCAE（SAS），BD=CE，ABD=ACE，ABD+CBM+ACB=90，ACE+CBM+A

16、CB=90，BMC=90，BDCE，即 BD=CE，BDCE6AHBF，AHF=AHE=90=CFH，EAH=180AHEAEF=45=AEF，AH=EH，D 為 AC 中點(diǎn)，AD=CD，在ADH 和CDF 中，ABEABE=DCAS），（2）解：由（1）知：ABEADC，ADC=ABEADC+BDO=ABE+BDO=BDA=60在BOD 中，BOD=180BDODBAABE=180DBA（ADC+BDO）=1806060=60，ADHCDF（AAS），AH=CF，EH=CF10解：（1）DFBC， 理由是：AF 平分BAC，CAF=DAF，在CAF 和DAF 中（3）證明：過點(diǎn) A 分別作

17、AMBE，ANDC，垂足為點(diǎn) M，N由（1）知：ABEADC，SABE=SADC，CAFDAF（SAS），ADF=ACF，CEAB，ACB=90，CEB=ACB=90，ACF+BCF=90，B+BCF=90，B=ACF=ADF，DFBCAM=AN點(diǎn) A 在DOE 的平分線上，即 OA 平分DOE（2）FG=EF，證明：DFBC，ACB=90，CEAB，AGF=ACB=90，F(xiàn)GAC，CEAB，AF 平分CAB，F(xiàn)G=EF9證明：（1）AEAF，CAB=90，EAF=CAB=90EAFEAC=CABEAC 即BAE=CAF，CFBD，BFC=90=CAB，BDA+ABD=90，DCF+FDC=9

18、0，ADB=FDC，ABD=DCF，在ABE 和ACF 中，11（1）證明：延長 EF 交 AD 于 G（如圖），在平行四邊形 ABCD 中，ADBC，AD=BC，EFCA，EGCA，四邊形 ACEG 是平行四邊形，AG=CE，ABEACF（ASA），（2）由（1）知ABEACF，AE=AF，EAF=90，AEF=AFE=45，又，AD=BC，在ABE 和ECD 中，ADBC，ADC=ECF，在CEF 和DGF 中，CFE=DFG，ADC=ECF，CE=DG，CEFDGF（AAS），CF=DF，四邊形 ABCD 是平行四邊形，OB=OD，OFBCABEECD（AAS）AE=DE，即AED 是等

19、腰三角形（2）解：B=90，在 RtABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE214證明：（2）解：如果梯形 OBEF 是等腰梯形，那么四邊形ABCD 是矩形證明：OFCE，EFCO，四邊形 OCEF 是平行四邊形，EF=OC，又梯形 OBEF 是等腰梯形，BO=EF，OB=OC，四邊形 ABCD 是平行四邊形，AC=2OC，BD=2BOAC=BD，平行四邊形 ABCD 是矩形延長 ED 到 H，使 DE=DH，連接 CH，F(xiàn)H，AD 是ABC 的中線，BD=DC，DE、DF 分別為ADB 和ADC 的平分線，1=4= ADB，3=5= ADC，1+3=4+5= ADB+ ADC= 180

20、=90，1=2，3+2=90， 即EDF=FDH，在EFD 和HFD 中，12解：（1）理由：因?yàn)锳CD+ACB+BCE=180，ACB=90，所以ACD+BCE=90又 ADMN，BEMN，則ADC=CEB=90，DAC+ACD=90故DAC=ECB而 AC=CB所以ADCCEB（AAS），EFDHFD（SAS），EF=FH，在BDE 和CDH 中，（2）等量關(guān)系：DE=AD+EB理由：由（1）知ADCCEB則 AD=CE， DC=EB因?yàn)?DE=CE+DC，所以 DE=AD+EBBDECDH（SAS），BE=CH，在CFH 中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CHFH，CH=BE，F(xiàn)H=EF

21、，BE+CFEF15證明：（1）ACB=90，BC=AC，A=B=45，M 是 AB 的中點(diǎn)，（3）等量關(guān)系：DE=ADEB 13（1）證明：B=C=AED，設(shè)B=C=AED=1+2=180，2+3=180，1=3，CMAB，ACM=BCM=45，CM=BM=AM，DBM=ECM，在CEM 和BDM 中，（2）BCEDCF理由是：CEAB，CFAD，BCE 與DCF 都是直角三角形，在 RtBEC 和 RtDFC 中，CEMBDM（SAS）；RtBECRtDFC（HL）；（2）CEMBDM，EM=DM，EMC=DMB，DMC+DMB=90，DMC+EMC=90，即DME=90，MDE 是等腰直

22、角三角形16（1）證明：ABC 和APQ 都是等邊三角形，AB=AC，AP=AQ，BAC=PAQ=60，BACPAC=PAQPAC，BAP=CAQ，在ABP 和ACQ 中（3）RtBECRtDFC，BE=DF，CFAF，CEAB，F(xiàn)=CEA=90，AC 平分BAF，F(xiàn)AC=EAC，在FAC 和EAC 中，F(xiàn)ACEAC（AAS），AE=AF，設(shè) BE=x，則 AE=21x，DF=x，AF=9+x，21x=9+x，x=6，即 BE=6，在 RtBCE 中，BC=10，BE=6，由勾股定理得：CE=8 18解：（1）ACB=90，AC=BC，BECE， ADCE 于 D，ACD=ACBBCE=90B

23、CE，CBE=90BCE，（三角形內(nèi)角和定理）ACD=CBE， 在ACD 與CBE 中ABPACQ（SAS），ACQ=B=BAC=60，ABCQ；（2）存在點(diǎn) P 使得 AQCQ，當(dāng) P 為BC 中點(diǎn)時符合，理由是：由（1）知，ABPACQ，ACB=AQP=ACQ=B=BAC=60，BP=CQ，P 為 BC 中點(diǎn)，PC=BP=CQ，CQP=QPC=（180PCQ）=（18060，60）=30，APQ 是等邊三角形，AQP=60，AQC=60+30=90，ACDCBE（AAS）（2）由（1）知，ACDCBE，CE=AD=2.5 BE=CD=CEDE=ADDE=2.51.1=1.4答：BE 的長是

24、 1.4cm 19解：BD 平分 EF，理由是：證法一、連接 BE、DFDEAC，BFAC，AFB=CED=90，DEBF，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，在 RtABF 和 RtCDE 中AC，即存在點(diǎn) P 使得 AQCQ，當(dāng) P 為 BC 中點(diǎn)時符合17解（1）AC 平分BAD，CEAB，CFAD，CE=CFMCE=ABC=ACB，BAF=ADB，ADB+FAD=90，ABD+BAF=90，ABD=CAM， 在ABD 和CAM 中，RtABFRtCDE，DE=BF，DEBF，四邊形 DEBF 是平行四邊形，BD 平分 EF；證法二、DEAC，BFAC，AFB=CED=9

25、0，DEBF，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，在 RtABF 和 RtCDE 中，ABDCAM（ASA），ADB=M，AD=CM，D 為 AC 中點(diǎn)，AD=DC=CM，在CDE 和CME 中，RtABFRtCDE，DE=BF，在BFG 和DEG 中CDECME（SAS），M=EDC，M=ADB，ADB=EDC21解：由ABC 是等邊三角形得，ABC=ACB=BAC=60又DEBC 于 E，EFAC 于 F，F(xiàn)DAB 于 D，DEF 為等邊三角形，ADFDEBEFC，AD=BE=CF，F(xiàn)DAB，AFD=30，BFGDEG（AAS），EG=FG，即 BD 平分 EFAD=，解得

26、：AD=2答：AD 的長為 222證明：延長 CM、DB 交于 G，20（1）證明：BAC=90，BAF+DAF=90，AEBD，AFD=90，DAF+ADB=90，BAF=ADBABD 和ACE 都是Rt，CEBD，即 CEDG，CEM=GDM，MCE=MGD又M 是 DE 中點(diǎn)，即 DM=EM，ECMDMG，CM=MG，G 在 DB 的延長線上，CBG 是RtCBG，（2）證明：過 C 作 CMAC，交 AE 的延長線于 M，則ACM=90=BAC，CMAB，在 RtCBG 中，23證明：（1）ADBE，A=B，在ACD 和BEC 中26解：（1）證明：ABC 和APQ 是正三角形，AB=

27、AC，AP=AQ，BAC=PAQBACPAC=PAQPACBAP=CAQ所以ABPACQ（3 分）3（5 分）ACDBEC（SAS），（2）解法一：過點(diǎn) E 作底邊 FG 的垂線，點(diǎn)H 為垂足在EFG 中，易得 EH=12（6 分）類似（1）可證明EFMEGN，（7 分）EFM=EGNEFG=EGF，EGF=EGN，GE 是FGN 的角平分線，（9 分）點(diǎn) E 到直線 FG 和 GN 的距離相等，點(diǎn) E 到直線 GN 的距離是 12（10 分）解法二：過點(diǎn) E 作底邊 FG 的垂線，點(diǎn) H 為垂足過點(diǎn) E 作直線 GN 的垂線，點(diǎn) K 為垂足在EFG 中，易得 EH=12（6 分）類似（1）可

28、證明EFMEGN，（7 分）EFM=EGN可證明EFHEGK，（9 分）EH=EK所以點(diǎn) E 到直線 GN 的距離是 12（10 分）解法三：把EFG 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)著點(diǎn) M 在邊 FG 上從點(diǎn) F 開始運(yùn)動由題意，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)E 到直線 GN 的距離不變不失一般性，設(shè)EMF=90類似（1）可證明EFMEGN，ENG=EMF=90求得 EM=12（2）ACDBEC，CD=CE，又CF 平分DCE，CFDE 24證明：（1）BDAC，CEAB（已知），BEC=BDC=90，ABD+BAC=90，ACE+BAC=90（垂直定義），ABD=ACE（等角的余角相等），在ABP 和QCA 中，

29、ABPQCA（SAS），AP=AQ（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）由（1CAQ=P（全等三角形對應(yīng)角相等），BDAC（已知），即P+CAP=90（直角三角形兩銳角互余），CAQ+CAP=90（等量代換），即QAP=90，APAQ（垂直定義）25證明：（1）BGAC，DBG=DCFD 為 BC 的中點(diǎn)，BD=CD又BDG=CDF，在BGD 與CFD 中，點(diǎn) E 到直線 GN 的距離是 12（酌情）BGDCFD（ASA）BG=CF（2）BE+CFEFBGDCFD，GD=FD，BG=CF又DEFG，EG=EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）在EBG 中，BE+BGEG，即 BE+CFEF27（1）證

30、明：延長 AB 到 N，使 BN=CF，連接 DN，ABC 是等邊三角形，ABC=ACB=60，DBC 是等腰三角形，BDC=120，DBC=DCB=30，ACD=ABD=30+60=90，在EBD 和FCD 中EDB+FDC=60，EDB+BDN=60，即EDF=EDN， 在EDN 和EDF 中，EDNEDF（SAS），EF=EN=BE+BN=BE+CF，即 BE+CF=EFEBDFCD（SAS），ED=DF，EDF=60，EDF 是等邊三角形，EBDFCD，EDB=FDC，在NBD 和FCD 中28（1）證明：ADMN，BEMN，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，DAC=BCE，ADC=BEC，AC=BC，ADCCEB，NBDFCD（SAS），DN=DF，NDB=FDC，EDB=FDC，EDB=BDN=FDC，BDC=120，EDF=60，EDB+FDC=60，EDB+BDN=60，即EDF=EDN， 在EDN 和EDF 中（2）證明：由（1）知：ADC