高中數(shù)學(xué)必修二 6.4 平面向量的應(yīng)用

1、平面向量的應(yīng)用一.復(fù)習(xí):1.平面向量數(shù)量積的含義:2.平面向量數(shù)量積的運算律.3.重要性質(zhì):(1)(2)(3)設(shè)a 、b都是非零向量,則 若設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則 |AB|=|a |=向量的長度(模)向量的夾角設(shè)a、b為兩個向量,且a(x1，y1),b(x2，y2)向量數(shù)量積的坐標表示向量平行和垂直的坐標表示設(shè)a、b為兩個向量,且a(x1，y1),b(x2，y2)隨堂練習(xí)1.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么對角線AC的長是否確定？ABCD3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量語言怎樣表述？5.根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對角線的長

2、度與兩條鄰邊的長度之間具有什么關(guān)系嗎？探究（一）：推斷線段長度關(guān)系 用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。練習(xí):用向量方法求證：直徑所對的圓周角為直角。已知:如圖，AC為O的一條直徑，ABC是圓周角求證： ABC=90利用向量的數(shù)量積可解決長度、角度、垂直等問題理論遷移1.三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系？ 交于一點ABCDEFPabc3.對于PABC,PBAC,用向量觀點可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論?4.如

3、何利用向量觀點證明PCBA?探究（二）：推斷直線位置關(guān)系 練習(xí): ABCD中，點E、F分別是邊AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？1,建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；2,通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；3,把運算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.一、選擇題（每小題3分，共15分）1.已知| |=2| |,且| |0且關(guān)于x的方程x2+| |x- =0有兩相等實根，則向量 與 的夾角是（ ）（A）- （B）- （C） （D）【解析】選D.由已知可得=| |2+4 =0，即4| |2+4|2 |

4、|cos=0,cos=- ,= .2.如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是 （ ）【解析】選A.利用數(shù)量積的幾何意義，向量 、 、 、 中， 在向量 方向上的投影最大，故 最大.3.已知P是ABC所在平面內(nèi)的一點,若 = + ,其中R,則點P一定在（ ）（A）AC邊所在的直線上 （B）BC邊所在的直線上（C）AB邊所在的直線上 （D）ABC的內(nèi)部【解析】選A.C、P、A三點共線,P在AC邊所在的直線上. 4.（2010廣州模擬）已知非零向量 , 和 滿足 則ABC為（ ）（A）等邊三角形 （B）等腰非直角三角形（C）非等腰三角形 （D）等腰直角三角形【解析】選

5、A. 表示的是BAC的平分線上的一個向量，又與 的數(shù)量積等于0，故BC與A的平分線垂直，ABC是等腰三角形.又 ,即cosBCA= ,BCA= ,ABC是等邊三角形.5.若O為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足( - )( + -2 )=0,則ABC的形狀為_.【解析】由已知ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形 向量是從物理學(xué)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，在物理中，通常被稱為矢量！在物理學(xué)，工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，因此，我們要明確掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識！1. 向量既是有大小又有方向的量，物理學(xué)中，力、速度、加速度、位移等都是向量！2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加減法，運動的疊加也用

6、到向量的合成！3. 功的定義即是F與所產(chǎn)生位移S的數(shù)量積探究（三）：向量與物理的關(guān)系 例題例1：同一平面內(nèi)，互成 的三個大小相等的共點力的合力為零。BO120abcD CA證：如圖，用a，b，c表示這3個共點力，且a，b，c互成120，模相等按照向量的加法運算法則，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD又由三角形的知識知：三角形OBD為等邊三角形，故 a與OD共線且模相等例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個現(xiàn)象嗎？分析：上述的問題跟如圖所示的是同個問題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下

7、： F2F1FG用向量F1，F(xiàn)2，表示兩個提力，它們的合向量為F，物體的重力用向量G來表示， F1，F(xiàn)2的夾角為，如右圖所示，只要分清F，G和三者的關(guān)系，就得到了問題得數(shù)學(xué)解釋！F1FG F2 F1解：不妨設(shè) = ，由向量的 平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道： = （*） 通過上面的式子，有：當由0到180逐漸變大時， 由0到90逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因此 ： 由小逐漸變大，即F1 ，F(xiàn)2之間 的夾角越大越費力，夾角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1F2F1FG F2探究：（1）為何值時， 最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于 嗎？為什么？

8、 F1 G答：在（*）式中，當 =0時， 最大， 最小且等于cos2 F1 G2答：在（*）中，當 = 即=120時， = cos212 F1 GF2小結(jié)： （1）為了能用數(shù)學(xué)描述這個問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！（2）由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題?。?）用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。 分析：（1）因為兩平行線之間的最短距離是它們的公垂線段。所以只有當小船的實際運動方向（即合運動方向）是垂直于河岸的方向時，小船的航程最小。500mA （2）小船過河的問題有一個特點，就是小船在垂

9、直于河岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船過河所用的時間就最短，河水的速度是沿河岸方向的，這個分速度和垂直于河岸的方向沒有關(guān)系，所以使小船垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對岸），小船過河所用時間才最短。例3：如圖，一條河流的兩岸平行，河的寬度d = 500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸。已知船的速度 =10km/h，水流的速度 = 2km/h。（1）行駛航程最短時，所用的時間是多少？（2）行駛時間最短時，所用的時間是多少？把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：解（1） = = 所以 t = = 60 答：行駛的航程最短時，所用的時間是3.1min。 v-

10、v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行駛的時間最短時，所用的時間是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1vkm/h變式訓(xùn)練(2010年 高一統(tǒng)考) 河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為( )v1v2vABDA10 m/s B6 m/s C215 m/s D217 m/s 2、人騎自行車的速度為V1，風(fēng)速為V2，則逆風(fēng)行駛的速度大小為（ ）C1、ABC中，已知 則ABC的形狀是（ ）A、等腰三角形 B、正三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形拓展訓(xùn)練：B3.平行四邊形ABCD中，若 則下列判斷正確的是( )A四邊形ABCD是矩形B四邊形ABCD是正方形C四邊形ABCD是鄰邊不相等的平行四邊形D四邊形ABCD是鄰邊不垂直的菱形A4、已知作用于原點的兩個力F1=（3,4），F(xiàn)2=（2，-5），現(xiàn)增加一個力F，使這三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)的合力為0，則F=（ ）A（1,1） B（5，-1）