高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的求解及應(yīng)用_第1頁(yè)
高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的求解及應(yīng)用_第2頁(yè)
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1、高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的求解及應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的求解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的根本概念在高等數(shù)學(xué)中地位很高,是高等數(shù)學(xué)的核心靈魂,因此學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重要性是不言而喻的。然而這種重要性很多同學(xué)沒(méi)有意識(shí)到,更不懂得如何求解導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決有關(guān)的問(wèn)題。我通過(guò)自己的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí),舉例子說(shuō)明了幾種導(dǎo)數(shù)的求解方法以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。一、導(dǎo)數(shù)的定義1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=fx在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,假如自變量x在x0的改變量為xx00,且x0 x仍在該鄰域內(nèi)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)有增量y=fx0+x-fx0。假設(shè)y與x之比,當(dāng)x0時(shí),有極限li=li存在,就稱此極限為該函數(shù)y=fx在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù),且有函數(shù)y=fx在點(diǎn)x=x0處

2、可導(dǎo),記為fx0。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0處的切線斜率,即fx0=tan,其中是切線的傾角。假如y=fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大,這時(shí)曲線y=fx的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置,即曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0處具有垂直于x軸的切線x=x0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程,可知曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0處的切線方程。二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.實(shí)際應(yīng)用假設(shè)某一公司每個(gè)月消費(fèi)的產(chǎn)品固定的本錢(qián)是1000元,關(guān)于消費(fèi)數(shù)量x的可變本錢(qián)函數(shù)是0.01x2+10 x元,假設(shè)每個(gè)產(chǎn)品的銷售價(jià)格是30元,求:總本錢(qián)的函數(shù),總收入的函數(shù),

3、總利潤(rùn)的函數(shù),邊際收入,邊際本錢(qián)及邊際利潤(rùn)等為零時(shí)的產(chǎn)量。解:總的本錢(qián)函數(shù)是可變本錢(qián)文由論文聯(lián)盟搜集整理本函數(shù)和固定本錢(qián)函數(shù)之和:總本錢(qián)的函數(shù)x=0.01x2+10 x+1000總收入的函數(shù)Rx=px=30 x常數(shù)p是產(chǎn)品數(shù)量總利潤(rùn)的函數(shù)Ix=Rx-x=30 x-0.01x2-10 x-1000=-0.01x2+20 x-1000邊際收入Rx=30邊際本錢(qián)x=0.02x+20邊際利潤(rùn)Ix=-0.02x+20令I(lǐng)x=0得-0.02x+20=0,x=1000。也就是每月的消費(fèi)數(shù)量為1000個(gè)時(shí),邊際利潤(rùn)是零。這也就說(shuō)明了,當(dāng)每月消費(fèi)數(shù)目為1000個(gè)時(shí),利潤(rùn)也不會(huì)再增加了。2.洛必達(dá)法那么的應(yīng)用假如

4、當(dāng)xa或x時(shí),兩個(gè)函數(shù)fx與Fx都趨于零或都趨于無(wú)窮大,那么極限li可能存在,也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式,分別簡(jiǎn)記為或。對(duì)于這類極限,即使它存在也不能用商的極限等于極限的商這一重要法那么。下面我們會(huì)得出這一類極限的一種簡(jiǎn)便并且很重要、很實(shí)用的方法。定理1,設(shè):1當(dāng)xa時(shí)函數(shù)fx及Fx都趨于零;2在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi),兩個(gè)函數(shù)fx與Fx的導(dǎo)數(shù)都存在且Fx的導(dǎo)數(shù)不等于零;3當(dāng)xa時(shí)函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)Fx的導(dǎo)數(shù)比的極限存在或?yàn)闊o(wú)窮大;那么li的極限存在就等于函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)Fx的導(dǎo)數(shù)比值在xa時(shí)的導(dǎo)數(shù)。這種在一定的條件下通過(guò)運(yùn)用分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值的方法就稱

5、為洛必達(dá)法那么。定理2,設(shè):1當(dāng)x時(shí)函數(shù)fx及Fx都趨于零;2在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi),兩個(gè)函數(shù)fx與Fx的導(dǎo)數(shù)都存在且Fx的導(dǎo)數(shù)不等于零;3當(dāng)x時(shí)函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)Fx的導(dǎo)數(shù)比的極限存在或?yàn)闊o(wú)窮大;那么li的極限存在就等于函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)Fx的導(dǎo)數(shù)比值在x時(shí)的導(dǎo)數(shù)。洛必達(dá)法那么是計(jì)算未定式極限的一個(gè)重要并且效果很好的法那么。盡管洛必達(dá)法那么計(jì)算省時(shí)方便,但極易出錯(cuò),下面是應(yīng)用這個(gè)法那么時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題:在使用洛必達(dá)法那么之前必須看好極限是不是型或型,假設(shè)用過(guò)洛必法那么之后還是型或型,就繼續(xù)使用,直至得出所要求的結(jié)果。在使用洛必達(dá)法那么時(shí),要盡最大可能聯(lián)絡(luò)和極限相關(guān)的性質(zhì)一起使用,使用極限的性

6、質(zhì)處理問(wèn)題,先做一定恰當(dāng)?shù)奶幚恚詈笥寐灞剡_(dá)法那么求解出結(jié)果。3.斷定函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的斷定方法:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加或遞減是函數(shù)的單調(diào)性。下面利用導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)展一些研究。假如函數(shù)y=fx在a,b上單調(diào)增加單調(diào)減少,那么它的圖形是一條沿著橫軸正向上升或下降的曲線。這時(shí),各點(diǎn)處的斜率是非負(fù)的非正的,即y=fx0y=fx0。由此可見(jiàn),函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著嚴(yán)密的聯(lián)絡(luò)。反過(guò)來(lái),用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性是不是可行呢?這就需要我們用相關(guān)的定理來(lái)證明一下這一想法是不是正確。經(jīng)過(guò)拉格朗日中值定理的證明得出如下定理:定理1,設(shè)函數(shù)y=fx在a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)可導(dǎo)。1

7、假如a,b內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于零,那么函數(shù)y=fx在a,b上單調(diào)增加;2假如a,b內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于零,那么函數(shù)y=fx在a,b上單調(diào)減少。即便是把這個(gè)斷定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間甚至包括無(wú)窮區(qū)間,這個(gè)結(jié)果最終也是成立的。與此同時(shí)也要注意下面的一些問(wèn)題:有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的,但是當(dāng)我們用導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間以后,就可以使函數(shù)在各個(gè)局部區(qū)間上單調(diào)。這個(gè)結(jié)論對(duì)于在定義區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都是成立的。還可以得出,假如函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo),那么劃分函數(shù)的定義區(qū)間的分點(diǎn)還應(yīng)包括這些導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。綜合以上兩種情形,我們可以得出下面的結(jié)論:假如函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有

8、限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程fx=0的根及導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)fx的定義區(qū)間,就能保證導(dǎo)函數(shù)fx在各個(gè)局部區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào),因此函數(shù)fx在每個(gè)局部區(qū)間上也都是單調(diào)的。4.曲線的凹凸性前面我們介紹了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題上的運(yùn)用,下面我們來(lái)討論曲線的凹凸性及其拐點(diǎn)確實(shí)定。函數(shù)的單調(diào)性在圖形的反映上,就是曲線的上升或者下降。但是曲線在上升或下降的過(guò)程中,還要考慮彎曲方向這一問(wèn)題。曲線在上升或下降的過(guò)程中有可能是凹的也有可能是凸的曲線弧,根據(jù)曲線弧凹凸性的不同,我們來(lái)研究下曲線的凹凸性及其拐點(diǎn)的斷定。從幾何圖形上直觀地發(fā)現(xiàn),在有的曲線弧上,假如任取兩點(diǎn),然后聯(lián)接這兩點(diǎn)

9、間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方,而有些曲線弧恰恰與之相反,曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。故曲線的凹凸性可以用聯(lián)接曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)的點(diǎn)即具有一樣橫坐標(biāo)的點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)描繪。下面是曲線凹凸性的定義:假設(shè)fx在區(qū)間I上連續(xù),假如對(duì)I上任意兩點(diǎn),恒有f,那么稱fx在I上的圖形是向上凹的或凹弧;反之,那么稱fx在I上的圖形是向下凸的或凸弧。假如函數(shù)fx在I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判別曲線的凹凸性,這就是下面的曲線凹凸性的斷定定理。當(dāng)I不是閉區(qū)間時(shí),定理也一樣。定理2,假設(shè)函數(shù)y=fx在a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么:1假設(shè)在a,b內(nèi)二階導(dǎo)

10、函數(shù)恒大于零,那么函數(shù)y=fx在a,b上的圖形是凹的。2假設(shè)在a,b內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)恒小于零,那么函數(shù)y=fx在a,b上的圖形是凸的。一般情況下,設(shè)y=x在區(qū)間I上連續(xù),區(qū)間I內(nèi)的一點(diǎn)x0,假如曲線y=fx在經(jīng)過(guò)點(diǎn)x0,fx0時(shí)曲線的凹凸性改變了,那么就稱點(diǎn)x0,fx0為該曲線的拐點(diǎn)。尋找曲線拐點(diǎn)的方法如下:從以上的定理可知,由y=fx的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以斷定曲線的凹凸性,因此,假如二階導(dǎo)函數(shù)的左右兩側(cè)臨近異號(hào),那么該點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)。故要尋找一個(gè)曲線的拐點(diǎn),只要找出二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可。假如一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I存在,那么在這樣的分界點(diǎn)處必然有二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值;

11、除此以外,二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn),也有可能是二階導(dǎo)函數(shù)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)。綜合以上的分析和討論,在斷定區(qū)間I上的連續(xù)曲線的拐點(diǎn)時(shí),我們可以得出這樣的結(jié)論:求出二階導(dǎo)函數(shù)并解出二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值,求出在區(qū)間I內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn),對(duì)于求出的橫坐標(biāo)值或二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn),檢查二階導(dǎo)函數(shù)在這些橫坐標(biāo)值的左右兩側(cè)的值是否異號(hào)。假如異號(hào),那么為曲線的拐點(diǎn);反之,那么不是。三、結(jié)論在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,導(dǎo)數(shù)的求解方法以及與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的概念都是非常深?yuàn)W、難以理解的,因此需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)。而導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)作為整個(gè)課程的核心,不管在平常測(cè)試還是其他任何考試中都處于整本教材的重要地位,并且這一章節(jié)是后續(xù)課程內(nèi)容比方微分問(wèn)題、積分問(wèn)題、多元函數(shù)的微積分等章節(jié)的必備根底知識(shí),故學(xué)好導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程的基矗在以往的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)歷中,我遇到多數(shù)的學(xué)生學(xué)習(xí)起高等數(shù)學(xué)來(lái)簡(jiǎn)直難熬甚至非常吃力,我認(rèn)為找不到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程的方法和技巧是學(xué)生們學(xué)習(xí)吃力費(fèi)事的關(guān)鍵。在這里,結(jié)合教學(xué)中的好經(jīng)歷,還有不好的經(jīng)歷并引以為戒,以及大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常常出現(xiàn)的問(wèn)題,詳細(xì)地講述了導(dǎo)數(shù)的求解問(wèn)題,期望大家可以獲得良好的學(xué)習(xí)成效。上面的內(nèi)容進(jìn)一步說(shuō)明了,在求解導(dǎo)數(shù)的

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