大一下高數(shù)9第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

1、第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個方程的情形x ,y )1.F(0隱函數(shù)存在定理 1 設(shè)函數(shù)F(x, y在) 點P(x0 , y 0 的)y 0) (Fx0,，0某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且y 0) y ) 在0點P(x0, y 0 的)(Fyx0,，0則方程(Fx,某一鄰域數(shù)的函數(shù) y f (唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)x)，它滿足條件 y0 f(x0)，并有dyFx .dxFy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式由y f ( x), 得F ( x, f ( x) 0 dy FxF F i dy 0dxFyxydxd 2 y FFdy( x ) ( x )ixydx2FFdxyy yyx )FyFF 2yy

2、x F 3y驗證方程x 2 y 2 1 0在點(0,1)的某鄰例域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、且x 0時 y 1的隱函數(shù) y f ( x)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在x 0的值.F ( x, y) x2 y2 1 2 y,Fy (0,1) 2 0,解令則Fx 2 x,F (0,1) 0,Fy依定理知方程x 2 y2 1 0在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、且x 0時y 1的函數(shù) y f ( x)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為dy x ,dy Fx 0,dxydxFyx0y x x y y xyd 2 y1 ,dx2y2y2y3d 2 y 1.dx2x0y2 arctan y ，求dy .

3、x2例 2已知lnxdx解令z,)2.F(x, y0設(shè)函F數(shù)(x,y在)z點P (0 x ,隱函數(shù)存在定理 2y 0 ,z0 )的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F (x0 , y0 ,0)z，0則方程F)z,y 0在z0 ) 0F，(x0,0,y(x,zP點(x0,0y,0的z) 某一鄰域唯一確定一個單f (值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函z數(shù)x,，)y 它f (件滿足z條0 x ,，0 y，)并有0zzFFxy.xyFFzz 2 z設(shè)x yz 4z 0，求x 2 .222例 3 2 z設(shè)x yz 4z 0，求x 2 .222例 3F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z,解令z Fxx2 z

4、F 2z 4,F 2 x,x,則zxxFz(2 z) x z(2 z) x 2z 2 zxx2(2 z)2(2 z)2 (2 z)2 x2.(2 z)3設(shè)z f ( x y z,xyz)，f例4具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，zxy，.xyz求思路：z把z 看成x, y 的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得x ，y把 y看成x, z的函數(shù)對z 求偏導(dǎo)數(shù)得z .x把x看成z, y的函數(shù)對 y求偏導(dǎo)數(shù)得y ，zxy設(shè)z f ( x y z,xyz)，求，.xyz例 4zxy設(shè)z f ( x y z,xyz)，求，.xyz例 4思路：z把z 看成x, y 的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得x ，x把x看成z, y的函數(shù)對 y求偏導(dǎo)數(shù)得y ，y

5、把 y看成x, z的函數(shù)對z 求偏導(dǎo)數(shù)得z .u x y z,v xyz,解令則 z f (u,v),把z 看成x, y 的函數(shù)對x 求偏導(dǎo)數(shù)得zxf (1 z )f ( yz xy z ),uxvxzfu yzfv1 fu xyfv,整理得x把x看成z, y的函數(shù)對y 求偏導(dǎo)數(shù)得f ( xz yz x ),f (x 1)0 vyuyxxzfv fu,整理得yfu yzfv把 y看成x, z的函數(shù)對z 求偏導(dǎo)數(shù)得f (y 1) f ( xy xz y ),1 uzyvz 1 fu xyfv.整理得zfu xzfv 2 z2 z設(shè) z 2xz y 0 ，求3及。xyx2 2 z2 z設(shè) z 2x

6、z y 0 ，求3及。xyx2F ( x, y, u,v) 0二、方程組的情形G( x, y, u,v) 0隱函數(shù)存在定理 3 設(shè)F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在點P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱 Jacobi）FuFvJ (F ,G) GG(u, v)uv在P 點( x0,y0,yy0,0u,)v方程組則0v不等于零，, u ), u )F(x,G0、 (x,yv0在P 點( x0

7、,0u,的某一鄰域唯一確定數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)續(xù)且具有單值連組一的函數(shù)u(v(uu,x v，) yx,v滿)y足條件，它們u(0 x,0 ,v)y 00( x 0,y0 ，)并有FFxvu1 F()G xGv, G,xJ(xFGFvGv, v )uuv 1 (F ,G) FuFxGxFuGuFvGvxJ (u, x)Guu 1 (F ,G) FyFvGvFuGuFvGv,yJ ( y,v)Gyv 1 (F ,G) FuFyGyFuGuFvGv.yJ (u, y)Gu設(shè)xu yv 0， yu xv 1，例5uuvv求，和.xyxy解1直接代入公式；設(shè)xu yv 0， yu xv 1，例5uxuyvxvy求

8、，和.解2運用公式推導(dǎo)的方法，x求導(dǎo)并移項將所給方程的兩邊對 x u y v uyxxyxuxv x2 y2 ,J , yx vxx在J 0的條件下，uyxuvyxyyu xv ,u vv xu yv ,yxy2x2xxxyxyy2x2x將所給方程的兩邊對 y 求導(dǎo)，用同樣方法得u xv yu ,v xu yv .yy2yy2x2x2u f (ux, v y)uv,.其中 f , g 具有一階連續(xù)練習(xí)、設(shè)，求x xv g(u x, vy)2偏導(dǎo)數(shù)）練 習(xí) 題一、 填空題: arctan y ,則y 2x 21、 設(shè)lnxdy .dx2、設(shè)z xy z ,則z,xz .y二、 設(shè)2 sin( x

9、 2 y 3z) x 2 y 3z,證明： z z 1.xy(fx,y ,z)對三、如果函數(shù)任何t恒 滿足關(guān)系式tz) k tftx(,tyk 次,( f,x, 則y稱)函z數(shù)(fx,y ,z為)函數(shù),試證:k 次函數(shù)滿足方程,y .) zx fy ffz kf(x,xyz3 2 z四、z 設(shè) 3 3xyz,求a.xy五、求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù):z x22ydydz,求,.1、 設(shè) 2x 2y 3 20dx dx22zfv)uv( uux,yu v2、設(shè) ，求,.y x x g,x2v )（其中 f , g 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）u f ( x, y)六、設(shè)函數(shù)u( x)由方程

10、組 g( x, y, z) 0所確定,h( x, z) 0且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)y七、設(shè) y zdxf ( x, t ), 而t 是由方程F ( x, y, t ) 0 所確定的x, y 的函數(shù),求dy .dx八、設(shè)z z( x, y)由方程=0 所確定,證明: x z y z z xy.xyF ( x x , y z )yx練習(xí)題zxxylnz1、一、2、y；yx 1yzxxzlnzy z 13、.x 1yzxzlnyz2 z42xyz22x)2z (y四、.xy2xy)3z(1、五、dy (x 6z 1 d)zx,；zz dx2y(31dx)31112 yv2g)2 f1uu