高考中數(shù)列試題的應(yīng)對(duì)策略

1、高考中數(shù)列試題的應(yīng)對(duì)策略數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位， 是高考數(shù)學(xué)的主要考察內(nèi)容之一，試題難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度適中的小 綜合題，也有綜合性較強(qiáng)對(duì)能力要求較高的難題。大多數(shù)是一道選擇或填空題，一道解答題。 解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題經(jīng)常是 綜合題，把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，探索性問題是高考的 熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。應(yīng)用問題有時(shí)也要用到數(shù)列的知識(shí)。數(shù)列試題形態(tài)多變，時(shí)常有新穎的試題入卷，學(xué)生時(shí)常感覺難以把握。為了在高考中取 得好成績，必須復(fù)習(xí)、掌握好數(shù)

2、列這一板塊及其相關(guān)的知識(shí)技能，了解近幾年來高考中數(shù)列 試題的能力考察特點(diǎn)，掌握相關(guān)的應(yīng)對(duì)策略，以培養(yǎng)提高解決數(shù)列問題的能力。第一講：數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的梳理數(shù)列是按一定順序排列好的一列數(shù)。它可以理解為以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定 義域的函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的觀念分析和解決有關(guān)數(shù)列問題，是一條基本思路。遞推是數(shù)列特有 的表示法，它更能反映數(shù)列的特征。等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個(gè)基本的數(shù)列，除了要熟練掌握這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和 公式外，還要掌握以下基本性質(zhì)：在等差數(shù)列中an中，an=am+(n-m)d 或 d=aam (n,m N);n - m若 m+n=p+q則 an+am=ap+aq (m,n,p,q

3、 C N+).在等比數(shù)列中an中，an=am qn-m, (n,m N);若 m+n=p+q,貝U*an am=ap aq (m,n,p,q C N+).對(duì)于非等差等比的數(shù)列，要用轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化成和等差、等比有關(guān)的數(shù)列。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列 或等比數(shù)列問題。遞推式為an+產(chǎn)an+d及an+產(chǎn)qa (d, q為常數(shù))【例1？已知an滿足an+1=an+2,而且a1 = 1。求an。解？ = an+1-a n=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列1. an=1+2

4、 (n-1 ) 即 an=2n-1遞推式為an+1 = an+f (n)解：由已知可知令 n = 1 , 2,，(n-1),代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a 1 ) + (a3-a2)+ (an-an-1) 說明？只要和f (1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2,，(n-1 )代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))【例 41 an中，a1 = 1,對(duì)于 n 1 (nCN)有 an=3an-1 +2,求 an。解法一：由已知遞推式得 an+1=3an + 2, an = 3an-1+

5、2。兩式相減： an+1-an = 3 (an-an-1)因此數(shù)列an+i-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a產(chǎn)(3X1+2) -1=4n-1 an+ia n =4 , 3an+i=3an+2? . . 3an+2-an=4 - 3n1即 an=2 - 3n1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2a 1=4, a3-a 2=4 , 3)a4-a 3=4 , 3)an-a n-1 =4 , 3 ,把n-1個(gè)等式累加得：an=2 - 3n-1-1解法三：設(shè)遞推式an+1=3an+2,可以化為 an+1-t=3 (an-t ),即是 an+1=3an-2t2=-2

6、t? - t=-1 ,于是得an+1+1=3 (an+1),數(shù)列an+1是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1+1=2.an+1=2 - 3n-1 即 an=2 - 3n-1-1遞推式為an+1=pan+qn (p, q為常數(shù)). 一.一2 c由上題的解法，得：bn =3-2(f)n一 an旦=3(-)n -2(1)n n2n 23的方法解。遞推式為 an+2=pan+1+qan思路：設(shè) an+2=p&+1+qan 可以變形為： an+2- a an+1= 3 (an+1- a an), 于是an+1-a an是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求an。個(gè)等式累加得遞推式為Sn與an的關(guān)系式

7、關(guān)系；(2)試用n表小ano. c c11、- Sn 1 _ Sn = (an - an 1 ) (2n-：2 -277)1+ 2n1 an 1 = an - an 1 2VJ(2)兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2 nan是公差為2的等差數(shù)列。2nan= 2+ (n-1 ) - 2=2n2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來說是有益的。 2 1 + 3+5+ (2n-1)=n【例 8】 求數(shù)歹 U 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 項(xiàng)的和。解？本題

8、實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前 n項(xiàng)中，一 1 共有1+2+- +n=鼻n(n +1)個(gè)奇數(shù),最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前 n項(xiàng)的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 - (n2-22) +3 - (n2-32) +n (n2-n2)解？ S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè) 和式相加，然后求和。-n-1Sn=3n - 2(4)、錯(cuò)位相減

9、法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘 以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.【例11】 求數(shù)列1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1前n項(xiàng)的和.解？設(shè) Sn=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 時(shí)，Sn=1.(3)當(dāng)xw。且xw 1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+ - +(2n-1)x n, ?-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：=( ) C (2n-l)C2n + 3

10、) 4 2n -1 2n +3注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3?等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10,前n項(xiàng)的和為Sn,若S=& (l wk)問n為何值 時(shí)與最大？此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。. a10? Si=& (l wk) , . d、(n+1)a n+1 - nan(a n+1+an)=0,an+1+an0,(n+1)a n+1 nan=0 ,(n+1)a n+1=nan=(n-1)a n-

11、1 = =1,1 an=一n解法三、(門+1)(包土)2+亙土門=0, ，電土 =上， TOC o 1-5 h z an anann 1由此，得:ann -1a21= ? ? anj na12將以上各式連乘，得:a n _ 1a1n1.an=一 n例設(shè)an是等比數(shù)列,Tn=na1+(n-1)a 2+2an-1+an .已知 T1=1,T 2=4. (1)求數(shù)列an的首項(xiàng)和公比；（2）求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式。（2000年高考數(shù)學(xué)試題） 解：（1）由 T1=1,T 2=4,可得 a 1=12a I1+a1q=4a1=1, q=2.（2）解法1 ：錯(cuò)位相消法：Tn-qT n=na1-a 2-a 3-a

12、 n-a n+1a? - an 2=na1 1 -q又 a1=1, q=2 , . Tn= -(n+2-2 n+1)=2 n+1-(n+2).解法2：記Sn為an的前n項(xiàng)和，化為Tn=S+&+- +S ,S1,有 b n+1=b nX0.94+ x = b n-1X 0.942+(1+0 94) x ,11-0.94n TOC o 1-5 h z . b n+產(chǎn) b1X 0.94 +x (1+0.94+0.94 )= b 1X 0.94 +x0.06(30 - -) 0.94n HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 0.060.06x當(dāng) 30 之

13、0,即 xW1.8 時(shí)，bn+WbnW Wb 1=30.0.06 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document xx當(dāng)30 1.8時(shí)，并且數(shù)列 b n逐項(xiàng)增加，可以任意靠近0.060.06因此,如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即b nW60(n=1,2,3,).x則& 60,即 x W 3.6(萬輛).0.06綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3 6萬輛.解法2:由解法1知jb 1=30,Lb n+1=0.94 b n+ X , 50這說明數(shù)列bn - 50 x 是等比數(shù)列，35050n 1即 bn =x + (30- x)M0.9433 TOC o 1-5 h

14、 z 一 5050由此可得 bn 書50 x = 0.94(bn 50 x),33因而 bn -笆 x = (30 - x) 0.94n433解法 3:由 b n+1=0.94 bn+X，得 bn=0.94 b n-1 + X ,兩式相減得 bn+1- bn=0.94( bn- bn-1).(1)若 b 2- b 1=0，則 b n+1- b n= b n- b n-1= =0,即 b n= b n-1 = -= b 1=30, 此時(shí) X =30 - 30 X0.94=1.8;(2)若 b 2- b 1 w 0,則數(shù)列 b n+1- b n是以 b 2- b 1= x -1.8 為首項(xiàng)，以0.

15、94為公比的等比數(shù)列, 從而b n+1-b n=0.94n (x -1.8).即有 b n= b 1+( b 2-b 1)+-+( b n-b n-1) =30+0.94 - ( x-1.8)+0.94 2 - ( x -1.8)+0.94 n-1( x -1.8)(1 -0.94n)(x-1.8)300.06解法4:依題意要求汽車彳有量不超過60萬輛，即b n 60( n =1,2,3,),i 1 -0 94n 也就是30 x 0.94 一 + x w 60恒成立,0.06 TOC o 1-5 h z _1、解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式(*)，得 xw 1.8(1+鼻)1-0.94n人1、令 f(n)= 1.8(1 )1-0.94nl. f (n)是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，.當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，f(n)取最小值3.6. 要使(* )式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x 3.6.故每年新增汽車不應(yīng)超過3 6萬軍.解法5：換一種思維方式來思考本題，會(huì)發(fā)現(xiàn)用小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)就能求解如果每年新增汽車的數(shù)量比年末報(bào)廢汽車的數(shù)量要少，那么汽車的保有量就要逐年減少這顯然能使該城市汽車保有量不超過60萬輛.如果每年新增汽車數(shù)量比年末報(bào)廢汽車的數(shù)量要多，那么汽車的保有量就要逐步增加，經(jīng)過若干年后，汽車的保有量就會(huì)達(dá)到60萬輛,隨后每年新增汽車數(shù)量只有等于或小于年末汽車報(bào)廢的數(shù)量才能使該城市汽車保有量不