高職數(shù)學全套電子課件完整版ppt整本書電子教案最全教學教程

1、歡迎新同學！歡迎學習高職數(shù)學！ 高職數(shù)學的教學與中學數(shù)學的教學相比，有以下三個顯著的差別： 1、課堂。課堂上講的多練的少，一般不可能提問或很少提問，同學之間在學習基礎、水平、理解能力上差別大。 2、時間長。每一次課一般是連續(xù)講授兩節(jié)課。 3、進度快。由于高職數(shù)學的內容極為豐富，而學時又有限，因此，平均每次課要講授教材內容至少一個章節(jié)。預習：預習的目的是： 1、使聽課時心中有底，不至于被動地只是跟著教師的“腳后跟”走； 2、知道那些地方是重點和自己的難點、疑點，從而在聽課時就能特別注意，有重點，不至于漏掉關鍵地方。形象一點說，就像去旅游前，先買一張該處的旅游圖及其說明來看一看，意義是不言而喻的。

2、聽課： 帶著充沛的精力和獲取新知識的濃厚的興趣，帶著預習中的疑點、難點，專心致志聆聽教師是如何提出問題的，是如何分析問題的，是如何解決問題的，要緊跟教師的思路，并積極思考。 復習： 學而不習，知識不易消化和掌握；習而不學，知識不易豐富。孔子說：“學而時習之”。對于高職數(shù)學，復習時要想鉆進去就必須手邊有紙、有筆、有課堂筆記。 “眼過十遍不如手過一遍”“好記性不如爛筆頭”。做作業(yè)： 做作業(yè)是檢驗自己對聽課、復習收獲大小的一個重要標志。也是深化聽課、復習的繼續(xù)。更是培養(yǎng)、提高運算能力、綜合運用所學知識去分析問題解決問題能力的重要手段。答疑： 在學習上遇到疑問時及時“去”請教老師,答疑是向老師學習、請

3、教的良好時機，請同學們利用好它。俗話說：“學問、學問，有學有問”培根說過：“多問的人將多聞”。教材：高職數(shù)學（理工類） 楊偉傳，關若峰，譚宇柱主著作業(yè)要求：幾乎每一次課都有作業(yè)，要準備2 本作業(yè)本，輪流繳交作業(yè)學期成績構成：期中成績+期末成績+平時成 績（作業(yè)及考勤）課堂秩序問題：做到不遲到、不曠課、不請假 上課不能聽電話、打電話、玩手機， 需關閉手機一、預備知識1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集1.1 函數(shù)復習（第1講）數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實數(shù)集數(shù)集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何

4、集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.3.鄰域:4.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量.5.絕對值:運算性質:絕對值不等式:6.一些常用的符號因變量自變量二、函數(shù)概念數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域1、函數(shù)、反函數(shù) 、復合函數(shù)自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與

5、對應法則.約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.求函數(shù)的定義域應遵守以下原則： (1)分式中分母不能為零； (2)偶次根式內被開方數(shù)非負； (3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1； (4)在反三角函數(shù)中，要符合反三角函數(shù)的定義域。 (5)如果函數(shù)表達式中含有分式、根式、對數(shù)式或反三角函數(shù)式，應該取各部分定義域的交集； (6)對于表示實際問題的解析式，還應該保證符合實際意義. 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線 對稱.反函數(shù)一般具有以下性質 ：（1）反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域、定義域；（2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線 對稱；（3）嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴

6、格增（減）的反函數(shù)。U1U2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)2函數(shù)的幾種簡單性質函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX函數(shù)的單調性:xyoxyo函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.3基本初等函數(shù)和初等函數(shù)(1)冪函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)對數(shù)函數(shù)(4)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)(5)反三角函數(shù) 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),

7、稱為初等函數(shù). 由三個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成，是初等函數(shù)。有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo 狄利克雷函數(shù)不能用基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復合而成，就不是初等函數(shù)，稱為非初等函數(shù)。例1-1解：故由所給函數(shù)知，要使函數(shù)有定義，必須例1-2解：寫出下列函數(shù)的復合過程。（1）（2）三、小結函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))作業(yè)：P3練習1.1 1、（2）（4） 2、（2）（4） 4、（2）（4） 5、12 極限的概念（第2講）1數(shù)列極限2函數(shù)的極限3無窮小量與無窮大量正六邊形的面積正十二邊

8、形的面積正 形的面積 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” 割圓術：劉徽概念的引入1數(shù)列極限 截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數(shù)列的定義例如數(shù)列極限如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的。如果一個數(shù)列有極限，則此極限是唯一的。例1-3 根據(jù)極限的定義，判斷下列各數(shù)列是否有極限，對于收斂的數(shù)列指出其極限。解：可以看出（1）、（3）兩個數(shù)列沒有極限，（2）、（4）兩個數(shù)列有極限，即 2函數(shù)的極限定理1例1-6 考察下列函數(shù)的極限。例1-8 在半徑為R的圓內作內接正方形，在這正方形內作內切圓，在這圓內又作內接正方形，如此n次。試求當n時所有圓面積總和的極限。

9、R 圖13解：如圖13所示。第一個圓的面積為： 第二個圓的面積為： 第三個圓的面積為： 第n個圓的面積為：所以面積總和為：所求極限為3無窮小量與無窮大量(1)無窮小量及其性質 定義4 如果在x的某種趨向下，函數(shù)f(x)以零為極限，則稱在x的這種趨向下，函數(shù)f(x)是無窮小量， 簡稱無窮小。注意：無窮小量是趨于零的函數(shù), 非零常數(shù)都不是無窮小。例如，當x2時，函數(shù)x2-4，ln(x-1)都是無窮小量.定理3 若在的某種趨向下，函數(shù)f(x)A，則在的這種趨向下，f(x)A是無窮小量，其逆定理也為真。定理4 在自變量的同一變化過程中, 無窮小具有下列性質： 有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量。 有限

10、個無窮小量的乘積仍是無窮小量。 有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍是無窮小。（2）無窮大量及其與無窮小量的關系定義5 如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，那么函數(shù)f(x)就叫做在自變量的這種趨向下的無窮大量, 簡稱無窮大。例1-9 求下列函數(shù)的極限。(1)(2)課堂小結1、數(shù)列的極限2、函數(shù)的極限當 時的極限3、函數(shù)在處的左右極限作業(yè)：P7練習1.2 1、（2）（4） 4、（2）（4） 5、（3）13 極限的運算（第3講）1極限的運算法則2復合函數(shù)的極限運算法則3兩個重要極限1極限的運算法則定理若則，推論解運用定理及其推論可得:例 1-10解因為分母的極限例 1-11所以一般地，

11、 即多項式函數(shù)在 x0 處的極限等于該函數(shù)在 x0 處的函數(shù)值.解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例1-12解例1-13(消去零因子法)例1-14解(無窮小因子分出法)結論:解由于括號內兩項的極限都是無窮大，因此人們常稱為 “ - ” 型極限，不能直接應用定理. 一般的處理方法是先通分再運用前面介紹過的求極限的方法.例 1-152復合函數(shù)的極限運算法則 定義 如果函數(shù) f (x) 在 x0 滿足以下三個條件：則稱函數(shù)f (x) 在 x0處連續(xù). 上述三個條件中，只要有一個不滿足，則函數(shù)在點x0處就不連續(xù)，這時稱函數(shù)f(x)在點x0間斷，點x0稱為函數(shù)f(x)間斷點。連續(xù)函數(shù)的圖形通常稱

12、為光滑不間斷。例1-16 已知函數(shù) 在 處連續(xù)，求 的值。解： 因為f(x)在x=0連續(xù)，故 存在，則 ，所以 。關于函數(shù)的連續(xù)性的四點結論：(1)基本初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內都是連續(xù)的；(2)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）在它的定義區(qū)間內仍是連續(xù)函數(shù)；(3)連續(xù)函數(shù)復合而成的函數(shù)在它們的定義區(qū)間內仍是連續(xù)函數(shù)；(4)初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間都是連續(xù)的。例 1-17解因為 arcsin(log2x) 是初等函數(shù)，且 x = 2 為它的定義區(qū)間內的一點， 所以有3兩個重要極限兩個極限存在準則:準則2 單調有界數(shù)列必有極限。兩個重要極限。（1）OxRABC證 AOB 面積 扇形AOB 面積

13、 0，那么y=f(x)為這個區(qū)間內的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內y 0增函數(shù)y 0減函數(shù)解例1-50單調區(qū)間為 和 單調增加，在 單調減少。+-+確定函數(shù)單調性的一般步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出使 f (x)=0和f (x)不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域分為若干個子區(qū)間；（3）確定f (x)在各個子區(qū)間內的符號，從而判定f (x)的單調性。 注：單調區(qū)間不以“并集”出現(xiàn)。 例1-51解：y=f(x)的定義域為(-,+)故y=f(x)在(-,+)內單調增加。2函數(shù)的極值和最大(小)值（1）極值和極值點的概念圖18定義1 設函數(shù)f(x)在x0的一個鄰域內有定義，若對于該鄰域內異

14、于x0的x恒有：(1) f(x0)f(x)則稱f(x0)為f(x)函數(shù)的極大值， x0稱為f(x)的極大值點；(2) f(x0)f(x)則稱f(x0)為f(x)函數(shù)的極小值， x0稱為f(x)的極小值點；xx00yx0yx0函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。（2）極值點的判定定理2（必要條件） 函數(shù)的極值點必為駐點或不可導點。定理3（第一充分條件）設函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域內可導且f(x0)=0，則: 如果當x取x0左側鄰近的值時， f(x)恒為正；當x取x0右側鄰近的值時， f(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值。xx0y0+ 如果當x

15、在x0左右兩側鄰近的值時， f(x)不改變符號，那么函數(shù)f(x)在x0處不取得極大值（無極值）。(不是極值點情形)xx0y0+xx0y0 xx0y0+ 如果當x取x0左側鄰近的值時， f(x)恒為負；當x取x0右側鄰近的值時， f(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值。定理4（第二充分條件） 設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f(x0)=0，f(x0)0，那么：當f(x0)0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；當f(x0) 0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；例1-52解列表討論極大值極小值函數(shù)定義域為（-，+）例1-53解：因為（3）函數(shù)的最大、最小值求y=f(x)在a,b上

16、最大值、最小值的步驟:1.求f(x)=0和f(x)不存在的點x1,x2,xn;2.比較f(a),f(x1),f(x2),f(xn),f(b)的大小，其中最大的是最大值，最小的是最小值。注意:如果區(qū)間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)例1-54解計算比較得：例1-55 將一塊邊長為a的正方形硬紙板做成一個無蓋方盒，可在四角截去相同小方塊后折起來，問怎樣截方盒容積最大? 圖19x解：設方盒容積為V，例1-56某車間要制造一個容積為V的帶蓋園桶。問：園的半徑r和桶高h應如何確定，所用材料最?。縭h解：要材料最省，就是要園桶的表面積S最小，條件是：做出的園桶的體積是固定的，它等于V

17、。在這個條件下，如果園桶的半徑r 定了，園桶的高h也就跟著固定了。事實上，我們有從而因此我們的問題就是要求這個函數(shù)的最小值點。rh 這種形狀的園柱形容器，在實際中常采用，如貯汕罐、化學反應容器、罐頭盒等。rh為此，我們先算出函數(shù)的導數(shù)，然后解方程即園桶的高等于園桶的直徑。課堂小結1函數(shù)單調性的判別法2函數(shù)的極值和最大(小)值作業(yè)：P30練習1.8 1（2）（4） 2（2） 5 81.9 函數(shù)的凹凸性與拐點，函數(shù)作圖 （第9講）1曲線的凹凸性及拐點2函數(shù)圖形的描繪1曲線的凹凸性及拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?ABCxyo定義1如果曲線弧總是位于其任一點切線的上方，則稱這條曲線弧是凹的；如果曲

18、線弧總是位于其任一點切線的下方，則稱這條曲線弧是凸的。曲線凹凸的判定:定理解注意到,例1-57 某凸輪的某一邊沿呈曲線形狀 ，試判斷其凹凸性。解：判定曲線y=f(x)的拐點步驟:定義2 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點，稱為曲線y=f(x)的拐點。（1）確定y=f(x)的定義域并求f(x)，f(x) 。（2）令f(x0)=0，求出其解并求出二階導數(shù)不存在的點。（3）考察f(x)在點x0左右兩側鄰近的符號，如果當x漸增地經(jīng)過x0時， f(x)變號，則點(x0 ,f(x0)是拐點，否則就不是拐點。例1-59 解：例1-60解：所以點(0 ，0)是曲線的拐點。2函數(shù)圖形的描繪描繪函數(shù)圖形的一

19、般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域，并考察其奇偶性和周期性等；（2）討論函數(shù)的單調性，極值點和極值；（3）討論函數(shù)的圖形的凹凸區(qū)間和拐點；（4）討論函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線；（5）補充函數(shù)圖形上的若干特殊點（如與坐標軸的交點等）；（6）根據(jù)上述結果，適當?shù)孛璩鲆恍c，即可描繪函數(shù)的圖形。例1-61作函數(shù)=的圖形.其次，無水平漸近線和垂直線近線列表:（課堂小結1曲線的凹凸性及拐點2函數(shù)圖形的描繪作業(yè):P33練習1.9 1（2）（4） 2（2）（4）1.10 多元函數(shù)微分學（第10講）1多元函數(shù)概念2偏導數(shù)3全微分4二元函數(shù)的極值1多元函數(shù)概念二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。例如，設均為全

20、體實數(shù)的集合 定義域值域二元函數(shù) 的定義域在幾何上表示一個平面區(qū)域，圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界；包括邊界在內的平面區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界在內的平面區(qū)域稱為開區(qū)域，如果區(qū)域延伸到無窮遠處，則稱為無界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域。 例如，函數(shù)的定義域 是平面上， 由圓 （包括圓周在內）圍成的有界區(qū)域，見圖1-13。 圖1-13函數(shù)的定義域 是平面上， 由圓 （不包括圓周在內）圍成的有界區(qū)域。 2偏導數(shù)定義2 設函數(shù)在點的某個鄰域內有從取得改變量，而保持不變定義，當時，得到一個改變量 存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)。記作 或存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)。記作同理，如果極限

21、 或記作 ， ，解：函數(shù)的二階偏導數(shù)。記作 ，或仿此可以定義更高階的偏導數(shù)。（略）解：， ，3全微分解：由 ， 所以例1-65 要造一個無蓋的圓柱形水槽，其內半徑為2米，高為4米，厚度均為0.01米，求需用材料多少立方米。4二元函數(shù)的極值定義4 如果二元函數(shù)在點 的某一鄰域的所有點，總有如果總有 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。定理2（極值存在的充分條件） 如果函數(shù)在點 的某一鄰域內有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且 是它駐點，設 ，則解：由 ， 所以函數(shù)在點(3,2)不取得極值。所以函數(shù)在點(3,-2)取得極大值，極大值為f(3,-2)=30。例1-67 某企業(yè)要建造一個容

22、量一定的長方形鐵箱，問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最少？， 即當鐵箱的長、寬、高相等時，所用材料最少。課堂小結1多元函數(shù)概念2偏導數(shù)3全微分4二元函數(shù)的極值作業(yè)：P37練習1.10 1（2）（4） 3 4（2） 6（2）第一章 復習課（第11講）11 函數(shù)復習 12 極限的概念13 極限的運算14 導數(shù)的概念15 導數(shù)運算法則16 隱函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù)17 微分及其應用18 函數(shù)的單調性與極值19 函數(shù)的凹凸性與拐點 函數(shù)作圖1.10 多元函數(shù)微分學第一章知識樹形圖20描繪函數(shù)的圖形，其一般步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域，并考察其奇偶性和周期性等；（2）討論函數(shù)的單調性，極值點和極值；（

23、3）討論函數(shù)的圖形的凹凸區(qū)間和拐點；（4）討論函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線；（5）補充函數(shù)圖形上的若干特殊點（如與坐標軸的交點等）；（6）根據(jù)上述結果，適當?shù)孛璩鲆恍c，即可描繪函數(shù)的圖形。多元函數(shù)微積分（略）練習： P41 綜合習題1第二章 不定積分與定積分2.1 不定積分的概念與性質2.1 不定積分的概念與性質1原函數(shù)與不定積分的概念2不定積分的幾何意義3不定積分的運算法則與基本公式1原函數(shù)與不定積分的概念 定義1 函數(shù) f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在函數(shù)F(x)，都有F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx， x I則稱函數(shù)F(x) 為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函

24、數(shù) 例如，在區(qū)間（-，+）內，因為有(x2)=2x,(sin x)=cos x,所以 x2,sinx是2x,cosx的一個原函數(shù)又如當x (1，)時，在區(qū)間(1，)內的原函數(shù)兩點說明： (1)如果F(x)是f(x)的原函數(shù)，那么F(x)C 也是f(x)的原函數(shù)，其中C是任意常數(shù) (2)如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)，則(x)F(x)C (C為某個常數(shù)) 定義2 若函數(shù)F(x)是f(x)的在區(qū)間I上一個原函數(shù)，則F(x)+C（ C為任意常數(shù))稱為函數(shù)f(x) 在區(qū)間I上的不定積分，記作 f(x)稱為被積函數(shù)， f(x)dx稱為被積表x 稱為積分變量， C為積分常數(shù)。 根據(jù)定義，如果F(

25、x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么F(x)C就是 f(x)的不定積分，即達式，即例2-1 求下列不定積分。解：2不定積分的幾何意義0圖2-1 F(x)+C是f(x)的所有原函數(shù)，原函數(shù)之間的關系可在坐標系中表示出來，把曲線y=f(x)通過上下平移，就得到曲線y=F(x)+C的圖像，如圖2.1所示。如：3x2積分曲線：1012112xy y=x3+CC=0C=-1.5C=1C=2微分與積分的關系： 從不定積分的定義可知：又由于F(x)是F (x)的原函數(shù)，所以由此可知，積分運算與微分運算互為逆運算。3不定積分的運算法則與基本公式 性質2 函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和，即 性質1 求不

26、定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即（1）不定積分的性質2、不定積分的基本積分公式例2-2 求下列不定積分。解：例2-3 求解：例2-4 求解：例2-5 求下列不定積分。解：（1）（2）（3）課堂小結1原函數(shù)與不定積分的概念2不定積分的幾何意義3不定積分的運算法則與基本公式練習2.1 3（2）（4）（6）（8）（10）（12）（14） 4作業(yè)：P46第二章 不定積分與定積分22 換元積分法23 分部積分法(第13講)1.第一類換元積分法（湊微分法）2.第二類換元積分法3.分部積分法計算積分22 換元積分法/23 分部積分法 定理證明：所以有22 換元積分法1第一類換元積

27、分法（湊微分法）第一類換元積分法計算的一般過程：第一類換元積分法也稱湊微分法。例2-6 求解：例2-7 求解：常用的湊微分的公式：例2-8 求解： 例2-9 求解：2第二類換元積分法第二類換元積分法計算不定積分的一般過程為：那么解 a cos t ，于是dx a cos t d t ，所以 例2-10 txa例2-11 求解：于是23 分部積分法 設函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導數(shù)那么，兩個函數(shù)乘積的微分法得d(u v) u d v vd u ，移項得 u d v =d(u v) -vd u 對這個等式兩邊求不定積分，得這個公式稱為分部積分公式即分部積分公式還可以寫為： 用分部積分法求積

28、分的步驟是：例2-12求解：設，于是根據(jù)分部積分公式有所以例2-13 求 解：設，則于是解二：設，于是根據(jù)分部積分公式有所以解：解：課堂小結1.第一類換元積分法（湊微分法）2.第二類換元積分法3.分部積分法練習2.2. 1(2)(4)(6)(8)(10) 2(2)(4)(6)(8)(10)練習2.3 (2)(4)(6)(8)(10)(12)作業(yè)：P49、5124定積分的概念與性質（第14講）1.兩個實例2.定積分的概念3.定積分的幾何意義4.定積分的性質1、兩個實例實例1 曲邊梯形的面積曲邊梯形： 設函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上非負、連續(xù)由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為

29、曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊ba y = f(x)x=bx=ax yO y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一個矩形的面積 A1近似代替曲邊梯形的面積A， 得A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn y = f(x)

30、bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在 a, b中任意插入 n -1個分點得n個小區(qū)間： xi1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形任取xi xi1，xi ，以f (x i) Dxi近似代替第i個窄曲邊梯形的面積區(qū)間xi1 , xi 的長度Dxi xi xi1 曲邊梯形的面積近似為：A記 maxDx1, Dx2， , Dx n 則曲邊梯形的面積的精確值為：A=曲邊梯形的面積近似為：A y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2)

31、 f(xi)xi在 a, b中任意插入 n -1個分點得n個小區(qū)間： xi1 , xi (i=1, 2 , , n)區(qū)間xi1 , xi 的長度Dxi xi xi1 實例2 變速直線運動的路程 設物體作直線運動, 已知速度vv(t)是時間間隔T1 , T2上 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計算在這段時間內物體所經(jīng)過的路程S 在時間間隔T1 , T2內任意插入n-1個分點T1t0t1t2 tn1tnT2 ,把T 1 , T 2分成n個小段t0, t1, t1, t2, , tn1, tn ,各小段時間的長依次為Dt1t1t0, Dt2t2t1, , Dtn tn tn1 任取iti1, ti

32、 , 在時間間隔ti1, ti內物體所經(jīng)過的路程近似為DS v(i) Dt i (i1, 2 , , n) 所求變速直線運動路程S 的近似值為 記 maxDt1，Dt2， ，Dtn則變速直線運動的路程為： 所求變速直線運動路程S 的近似值為 兩個不同類型的的問題，透過它們解決問題的思想方法和結構模式，最終可歸結為求一個具有特定結構和式的極限。即：分割近似替換求和取極限。2、定積分的概念 定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有定義，任取分點a x0 x1x2 xn1xnb把區(qū)間a，b分成n個子區(qū)間xi1，xi (i1，2， ，n) ，即x0，x1，x1，x2， ，xn1，xn ，記Dxi xi x

33、i1，即Dx1x1x0，Dx2x2x1， ，Dxn xn xn1 任取xi xi1，xi ，作函數(shù)值 f (xi)與小區(qū)間長度Dxi的乘積 f (xi) Dxi (i1，2， ，n) ，并作出和S = 記 maxDx 1, Dx 2 , , Dx n, 如果不論對a, b怎樣分法，也不論在小區(qū)間x i1, x i上點x i 怎樣取法, 只要當0時，和 S總趨于確定的極限I, 這時我們稱這個極限 I 為函數(shù) f (x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作即I f (x) 被積函數(shù) f (x)dx 被積表達式 x 積分變量 a 積分下限 b 積分上限a，b 積分區(qū)間定積分各部分名稱： 根據(jù)定積分的定義，曲

34、邊梯形的面積為 變速直線運動的路程為A（2）在定義中假設ab，為了計算方便起見，補充如下規(guī)定：注意： (1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量的記法無關，即3、定積分的幾何意義 在區(qū)間a，b上，當f(x)0時，圖形位于x 軸上方，積分在幾何上表示由曲線yf (x)、兩條直線xa、xb 與x 軸所圍成的曲邊梯形的面積；ba y = f(x)x yO 當f(x)0時，由曲線y f (x)、兩條直線xa、xb 與x 軸所圍成的曲邊梯形位于x 軸的下方，x yO y = - f(x)ba y = f(x)定積分在幾何上表示上述曲線邊梯形面積的負值：=- S=-=- 我們對面積賦以正負號

35、：在x軸上方的圖形面積賦以正號，在 x 軸下方的圖形面積賦以負號它是介于x 軸、函數(shù) f(x)的圖形及兩條直線 xa、xb之間的各部分面積的代數(shù)和abO y x+-+ y = f(x) 在一般情形下，定積分的幾何意義為：4、定積分的性質 性質1即，函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差).性質2 性質3 性質4 性質5 （估值定理）若在a，b上，有m f(x) M ，則有M *證明： 因為 m f (x) M ，所以從而M (ba)m y=f (x) f (x) dxm(ba)Ox y a b 性質6 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， 則在積分區(qū)間a, b上

36、至少存在一個點x ， 使下式成立： f (x)dx f (x )(ba) y=f (x)Ox y a b f (x) f (x) dx =f (x)(ba)或 性質7 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則幾何意義如圖所示。解由估值定理可得課堂小結1定積分的概念2定積分的幾何意義3定積分的性質作業(yè)：P55練習2.4 2(2) 3(2)25 微積分學的基本原理(第15講) 1.變上限的定積分2.牛頓萊布尼茲公式 設f(x)在區(qū)間a, b上可積，對任何xa, b， f(x) 在 a, x 上也可積。記稱為變上限的定積分。1.變上限的定積分 定理1 （原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,

37、b上連續(xù), 則在區(qū)間a, b上可微, 且證明： 解：由定理1，可得解：由定理1，可得解：因為 為連續(xù)函數(shù)，由定理1及復合函數(shù)求導法則可得2、牛頓萊布尼茨公式 定理2 （牛頓（Newton）-萊布尼茲（Leibniz）公式） 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，F(xiàn) (x)是f(x)在 a，b上的一個原函數(shù)，則有 此公式稱為牛頓萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式也稱為微積分基本公式進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系 F(b) F(a) 于是 證明： 已知函數(shù)F (x) 是f(x)在區(qū)間a，b上的一個原函數(shù)，也是f (x)的一個原函數(shù)因此有令xa代入上式得又根據(jù)定理2，積分上限函

38、數(shù)所以C F (a)，于是有 F(b) F(a) （C為常數(shù)）再令x b代入上式得根據(jù)定積分值與積分變量無關，即有例2-20 求下列定積分。解：由牛頓-萊布尼茲公式可得（1）=2=12 解：因為所以課堂小結.變上限的定積分2.牛頓萊布尼茲公式。作業(yè)：P58 練習2.5 1(3) 2(2)(4)(6)(8)(10)(12)(14)(16)2.6 定積分的計算方法(第16講) 1定積分的換元法 2定積分的分部積分法 定理1 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，x(t)在, 上具有連續(xù)導數(shù)，且 ，則： 1、定積分的換元法注意：應用公式時，換元必換限。 證明 ： 由于上式兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，因

39、此它們的原函數(shù)都存在，設F(x)是f (x)在 a, b上的一個原函數(shù)，由復合函數(shù)求導法則，有 可見，F(xiàn) (t)是f (t)(t)的一個原函數(shù)，根據(jù)牛頓萊布尼茲公式得 F ( ) F ( ) F(b)F(a)=即 解：根據(jù)定理1可得解：解：根據(jù)定理1可得解： 定理2 設函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a，b上具有連續(xù)導數(shù)u(x)、v(x)，則有或簡寫成2、定積分的分部積分法解：解：解：定積分的換元法課堂小結定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）作業(yè)：P60練習2.6 1（6）（8）（10） 2（2）（3） 3（2）（4） 4（2

40、）（4）（6）2.7 定積分的應用（第17講） 1定積分的幾何應用 2定積分的物理應用1、定積分的幾何應用 從前面的介紹可知，計算曲邊梯形面積可分四個步驟： 分割； 近似代替； 求和； 取極限。上述簡化了的定積分方法稱為定積分的微元法。（1）直角坐標系中的平面圖形的面積由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積為 由兩條連續(xù)曲線y=f(x)， y=g(x)以及兩條直線x=a，x=b(a 0時, 當 0時,解：（2）比值判別法定理4 ( Dalembert 判別法)設 為正項級數(shù), 且則當證: ()當時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 ;從而因此所以級數(shù)發(fā)散.時()

41、當從而看級數(shù)部分和 它的各項分別小于級數(shù) 的對應項，而前文介紹的公比小于1的等比級數(shù)是收斂的，因此由比較判別法知級數(shù)也收斂。解：解：設,則所以 所以級數(shù)發(fā)散。2交錯級數(shù)收斂法則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) .定理6 ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂 。證: 是單調遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S。故解：級數(shù)是交錯級數(shù)，且 故級數(shù)收斂。解：這是交錯級數(shù)，且故級數(shù)收斂。3、絕對收斂與條件收斂 本身收斂乎？證明：因為即 由比較法可知而級數(shù)所以級數(shù)收斂。 解：級數(shù)每一項取絕對值，得因為 而級數(shù)收斂，故原級數(shù)絕對收斂。 解：所以級數(shù)為交錯級數(shù)。又 （）所以該級數(shù)收斂。

42、而每項取絕對值后構成的級數(shù)為，由比較判別法有 所以原級數(shù)是條件收斂。課堂小結1正項級數(shù)收斂法2交錯級數(shù)收斂法3絕對收斂與條件收斂內容小結1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)收斂法必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值判別法收 斂發(fā) 散不定 比較判別法用它法判別積分判別法部分和極限3. 任意項級數(shù)收斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂作業(yè)：P130練習4.5 3（2）（4） 4（2）（4）（6）4.6 冪級數(shù)（第32講）1冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑 2冪級數(shù)的性質定義:形如 的級數(shù)，稱為的冪級數(shù)，其中均為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)。 其實，前式作變換

43、y=x-x0即變成后式。所以下面只討論后者。1冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑將級數(shù) 的各項取絕對值，得正項級數(shù)設，則 于是，由比值法可知幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定例如，級數(shù)由于 例如，級數(shù)由于問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?求冪級數(shù)收斂區(qū)間的步驟： （）寫出收斂區(qū)間。定理 如果冪級數(shù) 的系數(shù)滿足條件 解：由 得到，收斂半徑為R=1。 解：由(收斂半徑不變)2冪級數(shù)的性質這性質表示：冪級數(shù)逐項積分等于原級數(shù)積分。這個性質表示：冪級數(shù)逐項求導等于原級數(shù)求導。(收斂半徑不變)解兩邊積分得由前面知其收斂區(qū)間為（-1，1。解：設兩邊再對求導，得 即 課堂小 結2冪級數(shù)的性質1冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑作業(yè)：P134 練習4.6 1（2） 2（2） 3（2）（4）4.7 函數(shù)冪級數(shù)的展開（第33、34講）1泰勒級數(shù)2泰勒級數(shù)在近似計算中的應用3傅里葉級數(shù)及其展開1泰勒級數(shù) 設f(x)可以用冪級數(shù)表示，即f(x)可以表示為問題:1.如果能展開, 是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件