三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日O下面我們借助正弦線(xiàn)(幾何法)來(lái)畫(huà)出y=sinx在0，2上的圖象. 首先，我們來(lái)作坐標(biāo)為(x0，sinx0)的點(diǎn)S，不妨設(shè)x00，如圖所示，在單位圓中設(shè)AP的長(zhǎng)為x0(即AOP= x0)，則MP= sinx0，所以點(diǎn)S (x0，sinx0) 是以AP的長(zhǎng)為橫坐標(biāo)，正弦線(xiàn)MP 的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn). S (x0，sinx0)My-x1-12O1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像PA 為了更直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作出它們的圖象.2第2頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 知道如何作出y=si

2、nx的圖象的一個(gè)點(diǎn)，就可以作出一系列的點(diǎn)，例如，在單位圓中，作出對(duì)應(yīng)于 的角及相應(yīng)的正弦線(xiàn), 相應(yīng)地,把x軸上從0到2這一段分成12等份，把角x的正弦線(xiàn)向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重合，再用光滑的曲線(xiàn)把這些正弦線(xiàn)連結(jié)起來(lái)，既得到正弦函數(shù)y=sinx在0，2區(qū)間上的圖象，如圖所示.-11yxAO2鏈接3第3頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 最后我們只要將函數(shù)y=sinx， x 0，2的圖象向左、右平移(每次2個(gè)單位)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx， xR的圖象，如圖所示. 正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(xiàn)(sine curve).正弦曲線(xiàn)-yxO1-1246-2-

3、4-6 以上是借助正弦線(xiàn)描點(diǎn)來(lái)作出正弦曲線(xiàn)，也可以利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)作出正弦曲線(xiàn).yxO1-124-234第4頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 用描點(diǎn)法(代數(shù)法)作出正弦函數(shù)在0，2上的圖象，然后由周期性就可以得到整個(gè)圖象.x02y=sinx010-10(1) 列表(2) 描點(diǎn)(3) 連線(xiàn)-xy1-1O2(五點(diǎn)法) 由上圖可以看出，函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象上起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)， (2 ，0)5第5頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 觀察正弦和余弦曲線(xiàn)(如下圖) 的形狀和位置,

4、說(shuō)出它們的異同點(diǎn)，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線(xiàn)y=1與y=1之間. 但它們的位置不同，正弦曲線(xiàn)交y軸于原點(diǎn)，余弦曲線(xiàn)交y軸于點(diǎn)(0，1).由cox=sin(x+ )，可知y=cosx圖象向左平移 個(gè)單位得到，余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線(xiàn) .y=cosx圖象的最高點(diǎn)( 0，1)，與x軸的交點(diǎn)( ，0)， ( ，0), 圖象的最低點(diǎn)(，1).6第6頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 事實(shí)上，描出五點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要求不高時(shí)，我們常常找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線(xiàn)將它們

5、連結(jié)起來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，今后，我們將經(jīng)常使用這種“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法” 例1 畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖： (1) y=1+sinx； (2) y=cosx x0，2 )-xy1-1O2-xy1-1O27第7頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日x02x02 sin2x010 10 例2 用“五點(diǎn)法”畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：y=sin2x x0，2 ) 描點(diǎn)畫(huà)圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示)yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx兩圖象有何關(guān)系？8第8頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日練習(xí)1.畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線(xiàn)的區(qū)別和

6、聯(lián)系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的圖象可由正弦曲線(xiàn)向下平移1個(gè)單位.9第9頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系: (2) y=2sinx. y=2sinx的圖象可由正弦曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變.10第10頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日2. 畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明這些函數(shù)的圖象與余弦曲線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系: (

7、1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).y=1+cosx的圖象可由余弦曲線(xiàn)向上平移1個(gè)單位.可由余弦曲線(xiàn)上每一點(diǎn)向左平移 個(gè)單位得到.y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )xyO2-2111第11頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日周期性的有關(guān)概念：那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù) (periodic function)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期(period). 一般地對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿(mǎn)足f(x+T)= f(x)最小正周期：對(duì)一個(gè)周期函數(shù)f(x)的所有周期

8、中存在最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k (kz且k0) 都是它們的周期，它們最小的正周期都是2;正切函數(shù)也是周期函數(shù)，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)12第12頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日說(shuō)明: 當(dāng)函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù).設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集 D上的函數(shù)，若存在一個(gè) 常數(shù)T( T0)，具有下列性質(zhì): (1)對(duì)于任何的 xD，有(xT)D； (2)對(duì)于任何的 xD，有f(x+T)=f(x)成立，則f(x) 叫做周期函數(shù).

9、若函數(shù)f(x)不是當(dāng)x取定義域內(nèi)的“每一個(gè)值”時(shí)，都有f(x+T)= f(x)成立，則T就不是f(x)周期. 今后本書(shū)所說(shuō)的周期，如果不加特別說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小的正周期.13第13頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日要重視 “ T0”且為常數(shù)這一條件， 若T=0，則f(x+T)=f(x)恒成立，函數(shù)值不變沒(méi)有研究?jī)r(jià)值；若T為變數(shù)，則失去了周期的意義.一般地，函數(shù)y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期若函數(shù)y=f(x)的周期為T(mén)，則y=Af(x+)的周期為 ，(其中A，為常數(shù), 且A0，0)若在函數(shù)的定義域內(nèi)至少能找到一個(gè)x ，

10、使f(x+T)= f(x)不成立，我們就斷然函數(shù)f(x) 不是周期函數(shù)或T不是函數(shù)f(x)的周期.14第14頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定義域值 域周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我們得到正弦、余弦函數(shù)定義域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx15第15頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx是奇函數(shù)cos(x)= cosx y=

11、cosx是偶函數(shù)定義域關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y=sinx16第16頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 正弦函數(shù)的單調(diào)性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx10101增區(qū)間為 ， 其值從1增至1.減區(qū)間為 ， 其值從1增至 1.17第17頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 余弦函數(shù)的單調(diào)性 y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx10101 ？增區(qū)間為，0 ，其值從1增至1.減區(qū)間為0 ， ，其值從1增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)18第18頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日

12、 正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心y=sinxy=cosx函數(shù)軸、中心19第19頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日x02cosx101012cosx20202(1) 先用“五點(diǎn)法”畫(huà)一個(gè)周期的圖象，列表: 例1 用“五點(diǎn)法”畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描點(diǎn)畫(huà)圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx兩圖象有何關(guān)系？20第20頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 例2

13、求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量 x 的集合： (1) y=cos ； 解 函數(shù)的y=cos 的最大值為1， 因?yàn)槭筩osz取得最大值的z的集合為: z|z=2k，kz， 令z = ， 由于 =2k，得 x= 6k. 所以，使函數(shù) y=cos 取得最大值時(shí)自變量x 的集 合為: z | z = 6k，kz. 練習(xí) 函數(shù)y=sinx 的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.B21第21頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 解 函數(shù)的y=2sin2x 的最大值為2(1)=3， 因?yàn)槭箂inz取得最小值的z的集合為: 令z =2x，由于2x= +2k，得 所以

14、，使函數(shù)y=2sin2x 取得最小值時(shí)自變量x 的集合為: 例2 求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量 x 的集合： (2) y=2sin2x. 練習(xí) 求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)自變量 x 的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cos22第22頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日例3不通過(guò)求值，指出下列各式大于0還是小于0 (1) sin( ) sin( ) ; (2) cos( ) cos( ) 又 y=sinx 在 上是增函數(shù)，又 y=cosx 在0，上是減函數(shù)解(1)23第23頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 (1) sin

15、2500 sin2600 ; (2) cos cos練習(xí)1不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小: (1) sin2500 與 sin2600 ; (2) cos 與 cos練習(xí)2 利用函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小: (1) sin103045與 sin sin164030 ; (2) sin5080與 sin1440 ; (3) cos7600與 cos(7700)； (4) cos 與 cos . (4) cos cossin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)24第24頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星

16、期日解 (1) y=2sin(x ) = 2sinx，例4 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ ) 所以單調(diào)增區(qū)間為: 函數(shù)在 上單調(diào)遞增.函數(shù)在 上單調(diào)遞減，單調(diào)減區(qū)間為:25第25頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日例4 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2) y=sin(2x+ ) 所以單調(diào)增區(qū)間為:單調(diào)減區(qū)間為:解 (2) 令z=2x + ，函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為:函數(shù)y=sinz的單調(diào)減區(qū)間為:26第26頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日 所以單調(diào)增區(qū)間為:(3) y = sin(x + )；解 (3) 令z=x + ，函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為:函數(shù)y=sinz的單調(diào)減區(qū)間為: 所以單調(diào)減區(qū)間為:27第27頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)27分，星期日1.了解正弦函數(shù)圖象(代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法)、余弦函數(shù)圖象(代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法、平移變換法)的畫(huà)法除了它們共同的代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法之外余弦數(shù)圖象還可由平移變換法得出這節(jié)課講授的“五點(diǎn)法”是比較常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握2.掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心，會(huì)求最小正周期.回顧總