廈大《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)》習(xí)題

1、 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)參考習(xí)題說明：以下習(xí)題主要在于幫助讀者進(jìn)一步理解和掌握相關(guān)的最優(yōu)化方法。而對相關(guān)數(shù)學(xué)最優(yōu)化定理推導(dǎo)的深入理解將非常有助于對該原理的掌握，因此相關(guān)定理的證明可以作為習(xí)題，鑒于篇幅，在習(xí)題中不再重復(fù)。另一方面，對經(jīng)濟(jì)學(xué)分析如何應(yīng)用最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法，建議讀者進(jìn)一步閱讀參考文獻(xiàn)中的相關(guān)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的高級教程。另，以下習(xí)題中相關(guān)定理和例題的編號為教材中的編號。第一部分非線性規(guī)劃與應(yīng)用如序中所提到的，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為線性函數(shù)時稱為線性規(guī)劃問題，線性是非線性的一個特例，考慮以下的線性規(guī)劃問題，min:cTxs.t.:Ax0其中xeRn,c為n維向量，A為mxn矩陣。導(dǎo)出該線性規(guī)劃問

2、題的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件。當(dāng)非線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束函數(shù)為線性函數(shù)時，稱為二次規(guī)劃問題。導(dǎo)出以下二次規(guī)劃問題的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件。min:a+ctx+-xtHx2s.t.:Ax=bx0其中a為常數(shù)，c為n維向量，H為nxn對稱矩陣,A為mxn矩陣。考慮以下非線性規(guī)劃問題：max:x-x12s.t.:-x2+x021x-101-x02畫圖分析該問題的最優(yōu)解，并討論在最有解點(diǎn)是否I滿足ker條件或FritzJohn條件。求解以下非線性規(guī)劃問題：min:x2-2xx+x2-3x11221s.t.:x+4x22123x+4x0,x012分析點(diǎn)x*=（4,3）

3、是否為滿足以下非線性規(guī)劃問題的二階條件的最優(yōu)解：max:(x一3)2+(x一4)212s.t.:x2+x2712x0,x012考慮下述含參數(shù)的非線性規(guī)劃問題min:一x一ux112s.t.:x2+x21-u122用x（u）表示最優(yōu)解Q（u）表示最優(yōu)值函數(shù)，利用定.理和定理2.2.1的公式計算Vx（u）,VO(w)在u=(1,0)和u=(0,0)的值。7.在例中，設(shè)某消費(fèi)者效用函數(shù)為，u（xi，x2）=（xip+xp）1p，0P1，求出其需求函數(shù)叮PP2,y），=1，2，其中y為收入，P1，P2為價格。8.參閱例。丄1，求效用函數(shù)為u（xrx2）=（xiP+駕）1P，0P1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)xh（

4、Pi，P2,V），i=1,2，其中v為給定的效用水平，p1，p2為價格。并結(jié)合前題結(jié)論、驗(yàn)證例221中的Slutsky方程成立。9.參閱例0丄2和例1.4.3,對于柯布一道格拉斯形式的生產(chǎn)函數(shù)y=Axa呼，求其相應(yīng)的條件要素需求函數(shù)卩1，匕,y）和成本函數(shù)c叫匕，y），i=】，2其中氣,w2為生產(chǎn)要素價格。10.設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為y=AW+時卩，0a1，0P1，參閱例。丄2,求相應(yīng)的需求函數(shù)卩,w），i=1,2，供給函數(shù)y（p,w）和利潤函數(shù)兀（p,w），其中P為產(chǎn)品價格，w=叫w2） 為生產(chǎn)要素價格。并利用包絡(luò)定理，證明：dn(p,w)dp=y(p,w)，dn(p,w)dwi=x(p,w)，ii=

5、1,2 #考慮科斯模型中存在兩個生產(chǎn)要素的情況?？杉僭O(shè)例1.5.7中要素L為勞動，在此基礎(chǔ)上考慮生產(chǎn)還需另一要素一一資本K的投入，考慮此時的最優(yōu)化模型表示，證明在這種情況下例1.5.7的結(jié)論還是成立的。12考慮隱含合同模型的修訂。假設(shè)在例1.5.4中，企業(yè)對勞動投入量的調(diào)整是通過對每個工人勞動時間的調(diào)整來實(shí)現(xiàn)，而不存在解雇(失業(yè))的情況。此時例1.5.4中的約束條件L0，g0。其他設(shè)定和例1.5.4相同，寫出此時的廠商最優(yōu)化問題，分析相應(yīng)的最優(yōu)性條件的意義，特別是證明此時不存在工資剛性。第二部分動態(tài)優(yōu)化與應(yīng)用1、求泛函 J(x,y)=2(x2+2xy+y2)dt0在邊界條件x(0)=0，x=1

6、，y(0)=0,12丿下的極值曲線。2、證明例3.2.1中的等周問題。3、利用含微分方程約束的變分法求解以下最優(yōu)控制問題，min:J2(u2+u2s.t.:x=x+u,x(0)=1,x(2)=012111012x=u,x(0)=1222dL(以上x(2)無約束，則對應(yīng)的橫截性條件為=0,其中L為上述問題的Lagrange函數(shù))2dx2t=24、求解最優(yōu)控制問題max:J1x(t)dt0s.t.:X(t)=x(t)+u(t),x(0)=0,x(1)自由u(t)|15、求解終端時間可變的最優(yōu)控制問題：min:JTu2(t)dt0s.t.:X(t)=x(t)，x(0)=0，x(T)=12114x(t

7、)=u(t)，x(0)=0，x(T)=2224u(t)e-1,1其中T是可變的。(提示：主要觀察Hamilton函數(shù)關(guān)于u的特征，實(shí)際上可用H=0替代對最大u值條件的分析。)6、利用逆向遞歸，求解以下離散最優(yōu)化問題。min:X2t)+Yu2(t)s.t.:x(t+1)=ax(t)+bu(t)，t=0,1,2x(0)=x07、在第4章的Ramsey增長模型中考慮閑暇的效用。此時增長模型表示如下：max:J8U(c,l)e-0tdt0s.t.:k=f(k,l)-c-nk，k(0)=k0其中l(wèi)表示勞動時間，設(shè)總時間為1，則1-1為閑暇時間，因此在效用函數(shù)中考慮閑暇的效用時可用U(c,l)表示(此時也

8、可理解為勞動的負(fù)效用)。顯然以上問題也可表示成變分法問題，利用Euler方程或最大值原理推導(dǎo)以上的最優(yōu)性條件，并分析其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。8、分析比較勞動收益稅在第7題的增長模型中和在第4章的Ramsey增長模型中對經(jīng)濟(jì)的影響。9、考慮以下財產(chǎn)規(guī)劃問題。設(shè)某消費(fèi)者有初期財產(chǎn)x(0)=S，其收入只有財產(chǎn)利息收益，其財產(chǎn)配置方程如下，x(t)=rx(t)-c(t)其中x(t)為財產(chǎn)存量，c(t)為消費(fèi)，消費(fèi)效用函數(shù)為U(c)=C12。其貼現(xiàn)后的從現(xiàn)在(0時刻)到將來T時刻的消費(fèi)效用總值為J丁c(t)12e-0tdt0設(shè)該消費(fèi)者希望到T期將資產(chǎn)全部消費(fèi)完，即x(T)=0。利用最大值原理求最優(yōu)消費(fèi)路徑c(t)

9、。10、考慮以下含人力資本的增長模型，max:fC1Y-1J”e-0tdt01-0s.t.:K=AKa(uH)1-a-C，K(0)=K0H=B(1-u)H，H(0)=H0這里C表示消費(fèi)量，K為物質(zhì)資本存量，u是在物質(zhì)生產(chǎn)部門的投入時間，H表示人力資本水平，uH則表示考慮到勞動的質(zhì)和量的有效勞動，1-u表示用于提高人力資本的時間，A,BQ,。,K,H為正的參數(shù)。第一個微分方程表示物質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)和配置，第二個微分方程00表示人力資本的提升過程，也可理解為知識產(chǎn)品的生產(chǎn)和配置。推導(dǎo)最優(yōu)性條件，求穩(wěn)定狀態(tài)的K，H和C的增長率，分析相關(guān)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。(這里的穩(wěn)定狀態(tài)是指消費(fèi)、物質(zhì)資本、人力資本的增長率和