地震波動(dòng)方程

1、第三章地震波動(dòng)方程現(xiàn)在，我們用前一章提出的應(yīng)力和應(yīng)變理論來(lái)建立和解在均勻全空間里彈性波傳播的地震波動(dòng)方程。這章涉及矢量運(yùn)算和復(fù)數(shù)，附錄2對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了復(fù)習(xí)。運(yùn)動(dòng)方程（EquationofMotion）前一章考慮了在靜力平衡和不隨時(shí)間變化情況下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場(chǎng)。然而，因?yàn)榈卣鸩▌?dòng)是速度和加速度隨時(shí)間變化的現(xiàn)象，因此，我們必須考慮動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，為此，我們把牛頓定律（F=ma）用于連續(xù)介質(zhì)。一維空間之振動(dòng)方程式質(zhì)點(diǎn)面上由于應(yīng)力差的存在而使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)。如圖1-3所示，考慮一薄棒向x軸延伸，其位移量為u：UFig3-1則其作用力為“應(yīng)力”X”其所在的質(zhì)點(diǎn)面積”，所以其兩邊的作用力差為ds(J(

2、x+dx)-c(x)=dxdsSx慣量（inertia）為d2updxdsS12所以得出.(3-1)S2uSop=St2SxSu其中P為密度（density），。為應(yīng)力（stress）=E-。Sx3-1式表示，物體因介質(zhì)中的應(yīng)力梯度（stressgradient）而得到加速度。如果P與E為常數(shù)，則3-1式可寫(xiě)為(3-2)d2u1d2ud.x2c2d12其中c=,一p運(yùn)用分離變量法求解(3-2)式，設(shè)u=F(x)T(t),(3-2)式可以變?yōu)閄T=XTc2、c2XT設(shè)=32XT,.3x則可得：Txe土i31,Xxe1c考慮歐拉公式：ei31=cos(3t)+isin(3t),eit=cos(3t

3、)isin(3t)u=Ael3+ct)+Be-i：(x+ct)+Cei：(xct)+De(xct)(3-3)其中A,B,C,D為根據(jù)初始條件和邊界條件確定的常數(shù)。考慮到3可正可負(fù)，方程式的解具有u=f(xct)+g(x+ct)的形式，其中f及g為波的函數(shù)，以c的波行速度向+x與-x方向傳遞。我們可以采用如下程序模擬地震波的傳播。平面波在均勻介質(zhì)里沿X方向傳播，剪切波的齊次微分方程可表達(dá)為：d2u娛2u二B2d12dX2這里u是位移。對(duì)100公里的波長(zhǎng)和假定B=4公里/秒的情況，我們寫(xiě)出用有限差分法解這方程的計(jì)算機(jī)程序。用長(zhǎng)度間距dx=1公里，時(shí)間間距dt=0.1秒。假定在u(50公里)震源時(shí)間

4、函數(shù)的形式為：u(t)=sin2Gt/5)0t5秒用u(0公里)的應(yīng)力自由邊界條件和u(100公里)的固定邊界條件。用有限差分圖解來(lái)近似二次導(dǎo)數(shù)：d2uu一2u+u=-i+1ii-1d.X2dx2以4秒的間隔畫(huà)出1-33秒的圖。M=moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4;%初始化變量，tlen為震源持續(xù)時(shí)間，beta為波傳播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1為前一個(gè)時(shí)刻的各點(diǎn)的位移，u2為當(dāng)前時(shí)刻的位移，U3為下一個(gè)時(shí)刻的位移值，開(kāi)始均假定為零t=0;jj=0;while(t=33)%模擬的最長(zhǎng)時(shí)間為33秒forii=2:

5、100rhs=beta2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)/dx2;%方程的解u3(ii)=dt2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)end%左邊為自由邊界條件，右邊為固定邊界條件u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件%左右兩邊為自由邊界條件%u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件%u3(101)=u3(100);%右邊為自由邊界條件%左右兩邊為固定邊界條件%u3(1)=0.0;%左邊為固定邊界條件%u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件if(t=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/

6、tlen)2;%地震震源時(shí)間函數(shù)endforii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii);%時(shí)刻的更新endplot(u2);%繪制目前的波形圖ylim(-1.21.2);M(:,jj+1)=getframe;%獲得當(dāng)前的圖像t=t+dt;%時(shí)間延長(zhǎng)endmovie(M)%演示波形傳播在y-z面上的作用力差為:在x-z面上的作用力差為:在x-y面上的作用力差為:慣量為：(x+dx)-o(x1dydzxxxx(y+dy)-o(y)dxdzyxyx0(z+dz)-oZRdxdyzxzx3.1.2三維空間之振動(dòng)方程式推導(dǎo)三維空間之振動(dòng)方程式的過(guò)程，與上節(jié)中所采用的一維空間討

7、論方式類(lèi)似，如圖3-2所表示，先探討在x方向之位移量u：J-dxFig3-2(3-4)pdxdydz得出d2udodoSop=+yx+zx+fd12dxdydzx其中。xx、0yx及。zx分別為stresstensor在xx（x面方向、x力方向），yx（y面方向、x力方向）及zx（z面方向、x力方向）方向的分量。注意，在本講義中有關(guān)stresstensor的兩個(gè)下標(biāo)（indexes）之定義，依序?yàn)槊娴姆较蚺c力的方向。將。xx、0yx及。zx與其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變之關(guān)系代入3-4式可推導(dǎo)得出三維空間之振動(dòng)方程式如下：p12u=6+日）哈+四2u+f.（3-5a）TOC o 1-5 h zdt2dxxd2

8、d2d2其中人及u為常數(shù)，而V2為L(zhǎng)aplacianoperator,代表7；十7十-dx2dy2dz2以相同的方法，可以得出在y及z方向的振動(dòng)方程式，若其位移量分別為v與w,則其相對(duì)應(yīng)之振動(dòng)方程式可分別表示如下：+RV2V+fyS2Vp=。+d12(3-5b)+rV2w+fzd2w；p二a+d12.(3-5c)若以向量形式來(lái)統(tǒng)一表示3-5a、b、c式，可改寫(xiě)如下：(3-6)p=G+R）gradQiv-u）+RV2u+f.a12其中“為位移向量，在X、y與z方向的位移分量分別為u、v與w。其中f，f，f為體力，只有在研究震源時(shí)，才考慮該體力。這是構(gòu)成許多地震學(xué)理論基xyz礎(chǔ)的基本方程，稱(chēng)之為連

9、續(xù)介質(zhì)方程或運(yùn)動(dòng)方程。體力f通常包括重力項(xiàng)fg和震源項(xiàng)f。在正常模型地震學(xué)中，重力項(xiàng)是頻率很低時(shí)的一個(gè)重要因子，但對(duì)所觀s測(cè)到的典型波長(zhǎng)圍，即在體波和面波的計(jì)算中，通?？杀缓雎?。在這本書(shū)后面我們將考慮震源項(xiàng)f。在沒(méi)有體力的情況下，有齊次運(yùn)動(dòng)方程:sa2U仆ep=G+R)grad(div-u)+RV2u(3-7)at2在場(chǎng)論中考慮到:VxVxu=Wu-V2u(3.8)將其變?yōu)楦Ｓ玫男问?，?V2u=VV-u-VxVxu(3.8)將這個(gè)式子代入(3.12)得到：Bp=G+2R)gradQiv-冽-Rrot(rotU)a12p&(X+2)VV-u-四xVxu上式?jīng)Q定了在震源區(qū)以外，地震波的傳播。解

10、真實(shí)地球模型的上述方程是地震學(xué)的重要部分，這樣的解給出了離震源某一距離的特定地點(diǎn)預(yù)期的地面運(yùn)動(dòng)，通常稱(chēng)為合成地震圖。3.1.3體波（縱波與橫波）之振動(dòng)方程式首先，我們考慮由介質(zhì)伸縮所衍生的質(zhì)點(diǎn)體積應(yīng)變之振動(dòng)方程式。從上節(jié)所描述的單一方向（X、y、z）上之位移量（u、v、w）所導(dǎo)出的振動(dòng)方程式，可以進(jìn)一步地推求體積應(yīng)變。所引發(fā)的振動(dòng)方程式，由。的基本定義可以很自然的聯(lián)想到分別將3-4a、3-4b以及3-4c三式分別對(duì)x、y與z微分之后再相加，忽略體力，即可得到下式：02。九十2日口q=V20(3-7)dt2p另外，考慮剪切應(yīng)變可能產(chǎn)生的振動(dòng)方程式。若將3-5c式對(duì)y微分、3-5b式對(duì)z微分，然后

11、相減，忽略體力可得到下式:(dw況21dy(3-7)dwdv其中括弧內(nèi)的可一法項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)繞x軸的扭轉(zhuǎn)角度。參考圖3-3,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P(y、z)向逆時(shí)針?lè)较蚺まD(zhuǎn)到P(y、z),扭轉(zhuǎn)角度為3義若其扭轉(zhuǎn)半徑為r,根據(jù)幾何關(guān)系可得到：y=rcosa,z=rsina其位移形變?yōu)関=一/xosince=-zcoXXi/i/=nocosa=yenXX將其分別對(duì)y及z微分且相加，得出(dwdvyco二一|-x21Sydz)(du1(dv一一、同理得到3“二K-T|和3=,所以質(zhì)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方程式可與y2dzdx)zdy)為:d23xd12=V23pxd23yd12=V23pyd23z=V23d12pz3-6

12、式與3-8式可用通式描述如下：=c2V26a12其為典型之波動(dòng)方程式。根據(jù)九十2TOC o 1-5 h z對(duì)3-8式而言，。=。，可得出c=V=a1P對(duì)3-6式而言，6=3,.，可得出c=V=Pi2，P(3-8)(3-9)(3-10)(3-11)3-10可視為縱波（亦稱(chēng)為P波），因其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向相同（如圖3-4）。Particlemotion*Ray質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向波傳方向Fig3-41-24視為橫波（亦稱(chēng)為S波），因3為扭轉(zhuǎn)應(yīng)變，其質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與波的傳播方向成正交。S波依其質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的不同可分為SV及SH,如圖3-5所示。綜合以上所得，在完全彈性介質(zhì)中，當(dāng)其受外力作用時(shí)，產(chǎn)生兩

13、種波相：縱波與橫波。由前節(jié)所述之各彈性系數(shù)的關(guān)系，我們可將3-10式以及3-11式寫(xiě)為：4Ik+_liy-J3其他彈性系數(shù)與速度的關(guān)系如下:E=p31/2-41/2122-11-r72-1E*3(-2o)(4二P1/2-1/2132其中3-13式可化為(!/!/)21.(3-12)(3-13)(3-14)(3-15).(3-16)在地函內(nèi)部，大部分的泊松比。接近于1/4o若。=1/4,則=1.732b而且_5P1/25pl/2C=J=2-四二絲二3pl/22若。=1/2,即介質(zhì)為純液體,日、E及1/皆為零2X=K=pV21地震所產(chǎn)生之彈性波，穿過(guò)地球內(nèi)部，藉由彈性波傳播所產(chǎn)生的速度變化，參考彈

14、性理論以及彈性系數(shù)關(guān)系，我們可以探索地球內(nèi)部的情況。3.1.4地震波的勢(shì)位移u往往可以根據(jù)P波的標(biāo)量勢(shì)。和S波的矢量qj：u=V(p+Vx(|),V4=0(3.25)那么有：Vu=V4)=。(3.26)將其代入禁二彳得到:32cp221一V2(p-0L2Vxu=Vxw(p+Vx(|)7=VxVx(|)(3.27)=VV4-V2(|)(根據(jù)3.13)=-V2(|)(因?yàn)閂=0),du,6vdu,=()x+()y+()zdydz&dxdxdy將(3.27)代入工=上口3沅2px。23-譏2=上V2CDPv。2311妨V2CD可倚：譏2pz(3.29),1。2(|)V2(b-1-=02a2P波的解由

15、(P的標(biāo)量波動(dòng)方程給出，S波的解由。的矢量波動(dòng)方程給出。3.3平面波式(3.28)和(3.29)具有相同的形式，它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系可以表示為：我們用分離變量法來(lái)尋找X(x)Y(y)Z(z)T(t)形式的解。每個(gè)因子是僅僅一個(gè)變量的函數(shù)。由上式可得：c2d2Xc2d2Yc2d2Z1d2T+=Xdx2Ydy2Zdz2Tdt2這意味著TdT是常數(shù)，令其為一32可得:d2T+32T=0,Txeictdt2同理，對(duì)于某常數(shù)k,k，有xyd2X+k2X=0,dx2xXxe士ikxtd2Y+k2Y=0,dy2yYxe土ikyd2Z+k2Z=0,dz2zZoceikz.應(yīng)注意，k2一k2一k2，因此解可由三個(gè)量

16、C,k,k)而不是zc2xyxy四個(gè)量來(lái)表示。類(lèi)似于一維形式的推導(dǎo)。該方程可以有如下形式的通解：nny,kz-，xcyczcn2+n2+n2=1，xyznznn+ny+nz=nxyz下面我們看看ft-的物理意義。令nx+ny+nzt-yj-const-ac當(dāng)t=t1時(shí)，nx+ny+nz-c(t-a)xyz1當(dāng)t=t2時(shí)，nx+ny+nz-c(t-a)xyz2由平面解析幾何知識(shí)可知第一式為離原點(diǎn)距離為c(t-a)的平面，第二式為離原點(diǎn)距1離為c(t-a)的平面，并且兩平面的法線方向都為,n,n)。因此兩平面之間的距離為2xyzTOC o 1-5 h zc(t-1)，為波從tz時(shí)刻傳播到t,時(shí)刻所

17、傳播的距離，傳播的速度恰為c，這也是為什么我2112們?cè)诓▌?dòng)方程中將其稱(chēng)之為速度的原因。Jnx+ny+nz)類(lèi)似地，ft+一y表示以速度c向-n方向傳播的平面波。2rc7任意函數(shù)都可以寫(xiě)成簡(jiǎn)諧平面波疊加的形式根據(jù)Fourier疊加原理，可以把屋里上實(shí)際存在的平面波動(dòng)，以數(shù)學(xué)形式分解成抽象的、覆蓋整個(gè)頻率圍的平面波的積分來(lái)表示：ft-上1-1FQ)*.中,3Ic72.6F(3)=1卜/1-上e”t-jj)dt兀-6Ic7實(shí)際問(wèn)題不考慮-3。因此通常取f(r,t,3)=aGMNt-c呵為方程的基本解。而n為波傳播的方向，由于c為波的傳播速度，通常稱(chēng)2為慢度矢量。對(duì)不同的A怎)怎)做Fourier疊

18、加即可得c到任意函數(shù)形式的平面波。引進(jìn)平面波的概念很有幫助。平面波是一個(gè)位移只在波的傳播方向上變化，在與波傳播方向相互垂直的方向上，位移為常數(shù)的波動(dòng)方程的解。例如，沿x軸傳播的波，位移可表達(dá)為：()(3.30)u(x,t)=ftx/c這里c是波的速度，f是任意函數(shù)(矢量函數(shù)需表達(dá)出波的偏振)，這波沿+x或-x方向傳播。位移不隨y或z變化。在KZ方向上，波無(wú)限擴(kuò)展。如果f(t)是離散的脈沖，那么假定u有以平面波陣面?zhèn)鞑サ奈灰泼}沖形式。更普遍地說(shuō)，在位置矢量X處，平面波在單位矢量S方向傳播的位移可表達(dá)為：u(x,t)=f(t-s-x/c)(3.31)=f(t-s.x)(3.32)這里s=s/c是慢

19、度矢量，它的值是速度的倒數(shù)。由于地震能量通常由局部的震源輻射出來(lái)，地震波陣面總有某種程度的彎曲。然而，在離震源足夠大的距離，波陣面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正確的。因此，許多解地震波動(dòng)方程的方法總是把整個(gè)解表達(dá)為不同傳播角度的平面波的和。往往通過(guò)變換到頻率域，從方程中去掉與時(shí)間的依賴(lài)關(guān)系。在這種情況下，可以把特定角頻率3的位移表達(dá)為：u(x,t)=A(3)e-i3(t-s-x)(3.33)=A(3)e-i(3t-k-x)(3.34)這里k=3S=(3h叫做波數(shù)矢量。在這本書(shū)中，我們將用復(fù)數(shù)來(lái)表示諧波。其詳細(xì)情況在附錄2中作了復(fù)習(xí)。把諧波稱(chēng)為單色的平面波，有時(shí)也把它叫做調(diào)和的或穩(wěn)態(tài)平面波

20、解。用來(lái)描述這樣的波的其他參數(shù)是波數(shù)k=k=3,C，頻率f=32兀，周期T=1f和波長(zhǎng)A=cT。波數(shù)為單位長(zhǎng)度波的震動(dòng)次數(shù)。在波的傳播過(guò)程中，某一振動(dòng)狀態(tài)(周相)在單位時(shí)間傳播的距離為波速c，因此波速又叫做相速。應(yīng)注意介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和波的傳播速度c是兩個(gè)完全不同的概念。振動(dòng)速度由震源確定，它是周期性變化的，而波速的大小只與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。將不同的諧波參數(shù)歸納于表3.1。表3.1諧波參數(shù)角頻率3頻率f周期T速度c31c2k=tAA3c=fA=Tk,一CT2九波長(zhǎng)一f一CT一丁732兀叫波數(shù)kk=一=CCP波和S波的偏振考慮沿方向傳播的P波，根據(jù)（3.28）式有:可以把（3.35）式的解寫(xiě)成

21、：a2d二Sxxtt01%）（3.35）（3.36）這里減號(hào)相應(yīng)于沿+x方向傳播，加號(hào)相應(yīng)于沿-X方向傳播。因?yàn)閡=V,故有：u=d隼xxu=0（3.37）yu=0z注意對(duì)沿X方向傳播的平面波，在y和z方向沒(méi)有變化，所以空間導(dǎo)數(shù)d和d為yz零。對(duì)P波僅在沿x軸波的傳播方向上有位移。這樣的波叫做縱波。而且因?yàn)閂xVr=0，運(yùn)動(dòng)是不旋轉(zhuǎn)的，或“無(wú)旋”的。由于P波使介質(zhì)體積發(fā)生變化，所以P波也叫“壓縮”波或“膨脹”波。然而，要注意的是P波包括剪切和壓縮，這是為什么P波速度對(duì)體積模量和剪切模量反應(yīng)都靈敏的原因。實(shí)際的P波諧振運(yùn)動(dòng)可以用圖3.2來(lái)說(shuō)明。圖3.2沿頁(yè)面水平傳播的諧振平面P波（上面）和S波（

22、下面）的位移。S波純剪切，沒(méi)有體積變化。而P波包括材料體積的變化和剪切（形狀變化）。相對(duì)于地球?qū)嶋H的應(yīng)變，這里應(yīng)變被放大?，F(xiàn)在考慮沿正方向傳播的S波，矢量勢(shì)為:（3.38）位移為:u=&xW）=Sq-Sq=0 xxzyyz（3.39）u=（VxW）=Sq-Sq=Sqyyxzzxxzu=（VxW）=Sq-Sq=-SqzzyXXyXy這里我們?cè)儆肧=S=0，即給出：yz（3.40）運(yùn)動(dòng)在y和z方向，垂直于傳播方向。S波的實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往可以分成兩個(gè)分量:在含傳播矢量的垂直面里的運(yùn)動(dòng)（SV波）和取向與這個(gè)面垂直的水平運(yùn)動(dòng)（SH波）。因?yàn)閂-u=V-（VxW）=0，運(yùn)動(dòng)是純剪切的，沒(méi)有任何的體積變化（因此

23、叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切諧波（SV波）的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)如圖3.2所示。球面波如果我們假定球?qū)ΨQ(chēng)，P波勢(shì)中的標(biāo)量波動(dòng)方程（3.28）就可能有另外的解。在球坐標(biāo)系里，拉普拉斯方程為：V2。）=r2砂（3.41）r2SrSr因?yàn)榍驅(qū)ΨQ(chēng)，這里去掉角的偏導(dǎo)數(shù)，由表達(dá)式3.28）,即得到:S。11S2。（3.42）r2L二=0Sra2S12在點(diǎn)r=0以外，方程的解可表達(dá)為：,。、,t）=/土ra（3.43）r注意到除了1因子外，這與平面波方程3.30）是相同的。分別用和-號(hào)表示向r和向外傳播的波。因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式通常用來(lái)模擬從點(diǎn)源輻射的波，所以在正常情況下，1項(xiàng)表示波的振幅隨距離衰減的幾何擴(kuò)散因子，在第

24、6章將進(jìn)一步的探r討。在r=0時(shí)，（3.43）不是方程（3.42）的正確的解。然而，這表明（例如Aki和Richards,4.1節(jié)），（3.43）可能是以下非齊次方程的解:V2aQ）毀=4兀b（r）f（t）（3.44）a2d12這里bQ）函數(shù)在r=0以外的任何地方都為零，它的體積積分為1。因子4獲Q）f（t）表示在震源時(shí)間函數(shù)。在僻討論震源理論時(shí)，我們將回到這個(gè)方程上來(lái)。平面波的反射和折射地殼及地球部是成層結(jié)構(gòu)，部有不少分界面。地表也可看作一個(gè)界面，震源在各向同性的均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的地震波波陣面是成球形的一層一層向外稱(chēng)傳播，為球面波。因此，嚴(yán)格來(lái)講，我們應(yīng)該討論球面波遇到分界面時(shí)的情況。但當(dāng)距離

25、震源足夠遠(yuǎn)時(shí)也，就是說(shuō)震源到接收點(diǎn)的距離比波長(zhǎng)大得多作時(shí)為，一種近似，可討論平面波在分界面上的行為。同時(shí)當(dāng)p（p為分界面的曲率半徑）也可以將分界面看作平面，這樣可使討論大大簡(jiǎn)化而不影響對(duì)許多現(xiàn)象本質(zhì)的揭示。同時(shí)，球面波在理論上可以看作是許多不同方向的均勻或不均勻的平面波的疊加，因而先弄清了平面波在分界面上的行也為比，較容易討論球面波在分界面的行為。P波、SV波設(shè)平面波（指均勻的平面波）的傳播方向出面，傳播方向就是波陣面的法線方向，波的位移場(chǎng)可以表示為：u-u+u=Vr+Vx9（1）ps其中隼滿足壓縮波的波動(dòng)方程9滿足剪切波的波動(dòng)方程由于均勻平面波波陣面上醐,a,a為常數(shù)，而這里平面波傳播方段在

26、xyz平面，因此垂直于XZ平面的直線上的各點(diǎn)必在同一波陣面，也就是:和a。M)-g-UOdydydydyP波產(chǎn)生的位移為:UPVP)=里Odx=0G)=X0+2piep=九zzIdudx+2|liG)=2|ne=pVCduaZ+SwdxyC520=2jidxdzG)=2性=dv+=|LX-=0P波產(chǎn)生的應(yīng)力為7P=。=四pZ&。pZVdwqdzS2(p+、6x2&2,八S2(p+2|li&2SV波的位移SV波產(chǎn)生的應(yīng)力為:(AQCc_.52(|)O/=A0+2xe=2jll=2|i女sv蕊Szdxdz八(du=2xe=Li+亞dxJ-+X氏26x2=2jne=|idvSw+一dy)力空=0dz

27、將上面兩式代入(1)式得:a(p刖UU+M=ps3%dzv=v+v=衿三Ps&QxSep3。w=w+w=+分析界面條件，界面應(yīng)力為:八-/SuSw)Ozz=X9+2u=Xl+一日z(SxSz)c(SuSw)o=2pe一國(guó)十zxz(SzSx)o一2四一日zyzy界面條件為界面兩邊應(yīng)力相等，位移連續(xù)，即:o=o,o=o,o=ozzzzzxzxzyzyu=u,v=v,w=w分析位移場(chǎng)在y方向的分量v,v-v+v-v，也就是v全部為橫波場(chǎng)的分量。pss再由界面應(yīng)力條件看，v只出現(xiàn)o的表達(dá)式中，而u,w只出現(xiàn)在o,o的表達(dá)孫zzzx式中。因此，SH波和P-SV波產(chǎn)生的波場(chǎng)是分離的。地球表面是一個(gè)特殊的分

28、界面，它將無(wú)限介質(zhì)劃分為兩個(gè)半空間，地面以上空氣介質(zhì)，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。地球表面可以看成是一個(gè)彈性半空間表面，表面下面視為理想彈性介質(zhì)，表面上面為空氣，這種界面稱(chēng)為自由界面，自由界面上的應(yīng)力作用為零。本節(jié)中將介紹彈性波在自由表面上的反射。P波在自由界面的反射如圖所示，取xoy平面為自由表面，設(shè)有一P波自下部介質(zhì)入射到自由表面上，由于自由表面以上不存在介質(zhì)，所以當(dāng)波遇到自由表面時(shí)，只可能折回到原來(lái)的介質(zhì)，而不會(huì)透過(guò)它，即只存在反射被而不存在透射波。當(dāng)P波入射到自由表面上時(shí)，為滿足自由表面處的邊界條件，反射波中會(huì)同時(shí)產(chǎn)生P波和SV波兩種成分，此時(shí)，SV波稱(chēng)為轉(zhuǎn)

29、換波。但是，由于SH波的振動(dòng)方向與P被和SV波的振動(dòng)方向是相互獨(dú)立的，所以反射波中不會(huì)產(chǎn)生SH波。設(shè)入射P波為平面簡(jiǎn)諧波，入射面為xOz平面，法線為z軸，入射P波的入射角為，反射SV波的反射角為，由圖中各波的傳播方向與坐標(biāo)軸方向的關(guān)ds系，它們的波函數(shù)可以寫(xiě)為：(P=Aei(ot一kxx+kz),p=Aei(ot-kx一kz),0=Bei(ot一kx一kz)11xz22xzyxz這里0只考慮0分量，這是由于只有Vx。y產(chǎn)生xoz平面的振動(dòng)。式中，=sini,k=sini,k=siniiadxadxps,ir!in!=cosi,k=cosi,k=cosiadzadzps由邊界條件可知，在z=0處

30、，方程為ei(t-kxx+kzz),ei(t-kXx-kzz),ei(-kxx-R.)的線性組合(其中由于z=0，指數(shù)因子中的z因子全為零)。所以必有k=kk，因此必有:xxxsinisinisinid=d=saap這就是Snell定律，回憶一下幾何光學(xué)，可見(jiàn)上式與幾何光學(xué)中的折射定律和反射定律完全一致，這是由于它們?cè)诒举|(zhì)上(波動(dòng)性)有相同之處。而折射反射定律正是反映了物質(zhì)的波動(dòng)相關(guān)的一種規(guī)律。在光學(xué)中是從光學(xué)實(shí)驗(yàn)或惠更斯原理得到了折射反射定律，而這里我們從波動(dòng)方程和邊界條件出發(fā)也得到了它。cosii31tpxcsz,9=BePy我們?cè)谝院蟮耐茖?dǎo)中令上式為常數(shù)p。則波函數(shù)可以寫(xiě)為：(cosii

31、3ltpxsz.fcosi)4=Ae叩px+azJ,4=AeTOC o 1-5 h z1122則：P波產(chǎn)生的位移為:()即=u=i3ppxd.x=u)=空pzdzP波產(chǎn)生的應(yīng)力為Q)6zzpd2+d2中d.x2dz2c-、cos2Ida2JcCOS2I一2R32d4a2，因此反射p波的反射角大于入射SV波的入射角i，當(dāng)入射角i滿足當(dāng)isin-i時(shí)i=sin-1時(shí)，反射P波的反射角為90dsini1,根據(jù)有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)，這時(shí)i必為復(fù)數(shù)，且有sinipcosip.兀-sin-1Y12(兀.兀.兀-sincosiY-cossiniY-cosiY-coshY22=coscosiY+sinsiniV=cosiY=isinhV22.一eze-z-ez+e-z這里sinhz二-一,coshz=-一為雙曲函數(shù)，并采用了歐拉公式的推論:ey+e-yacosiz=coshz,siniz=isinhz。y的數(shù)值由一-=sini確定。則代入波的勢(shì)函數(shù)可2p得反射P波的勢(shì)函數(shù)為:/9.91(m)/3)iIxsini+zcosi-mtI-Isinh