133《球的表面積與體積》教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修2）

1、金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) HYPERLINK 第 PAGE 5 頁(yè) 共 NUMPAGES 5 頁(yè) 金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) HYPERLINK 1.3.3球的表面積與體積教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】（1）了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.（2）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.導(dǎo)入新課：復(fù)習(xí)導(dǎo)入1. 復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積 2. 復(fù)習(xí)正方體的表面積和體積公式。新授課階段1球的體積：2球的表面積：設(shè)球的半徑為R，那么它的體積：，它的面積，現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察這兩個(gè)公式，思考它們都有什么特點(diǎn)？這兩個(gè)公式說(shuō)明球的體積和表面積都由球的半徑R惟一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函

2、數(shù).例1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.證明：（1）設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.因?yàn)椋裕?（2）因?yàn)?，所以，S球 = S圓柱側(cè).例2 球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3:4，則球的體積與圓臺(tái)的體積之比為（ ）A6:13 B5:14C3:4 D7:15【解析】如圖所示，作圓臺(tái)的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內(nèi)切于梯形ABCD.設(shè)球的半徑為R，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識(shí)知，圓臺(tái)的高為2R，母線長(zhǎng)為r1 + r2.AOB = 90，OE

3、AB (E為切點(diǎn))，R2 = OE2 = AEBE = r1r2.由已知S球S圓臺(tái)側(cè)= 4R2(r1+r2)2 = 34(r1 + r2)2 =V球V圓臺(tái) =故選A.例3 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA = PB = PC = a，求這個(gè)球的體積.解：PA、PB、PC兩兩垂直，PA = PB = PC = a.以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.又P、A、B、C四點(diǎn)是球面上四點(diǎn)，球是正方體的外接球 ，正方體的對(duì)角線是球的直徑.小結(jié)：1球的體積和表面積；2等積變換；3軸截面的應(yīng)用。拓展提升：1將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍，它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍？ 2.

4、一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是a cm，求球的體積。3.一個(gè)球的體積是100 cm2，試計(jì)算它的表面積(取3.14，結(jié)果精確到1cm2，可用計(jì)算器)。4已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面積與球的體積。 5如圖所示棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱錐的高。（1）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑；（2）求四棱錐外接球的半徑。參考答案1 8倍；23 .1044.【分析】 可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直于截面小圓平面【解析】

5、如圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，則O1是ABC的外心。設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC = BC，則O1C。設(shè)O1M = x，易知O1MAB，則O1A = ，O1C = CM O1M = x又O1A = O1C 解得則O1A = O1B = O1C = 在RtOO1A中，O1O = ，OO1A = 90，OA = R，由勾股定理得解得故5.【分析】（1）當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時(shí)球的半徑最大，即球心到各個(gè)面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點(diǎn)的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可球心O

6、在過(guò)底面中心E且垂直于底面的垂線上【解析】（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R，SABCD = a2。VP ABCD = VS PDA + VS PDC + V S ABCD + VS PAB + Vs PBC ，所以，BACDPF即球的最大半徑為。（2）法一：設(shè)PB的中點(diǎn)為F。因?yàn)樵赗tPDB中，F(xiàn)P = FB = FD，在RtPAB中，F(xiàn)A = FP = FB，在RtPBC中，F(xiàn)P = FB = FC，所以FP = FB = FA = FC = FD所以F為四棱錐外接球的球心，則FP為外接球的