高中數(shù)學(xué)必修二 6.3.1 平面向量基本定理學(xué)案

1、 6.3.1 平面向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素 養(yǎng) 目 標(biāo)學(xué) 科 素 養(yǎng)1. 理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義。（重點）2. 掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量。（重點）1.數(shù)學(xué)運算;2.數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使 基底若e1，e2不共線，把e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底思考：基底有什么特點？平面內(nèi)基底唯一嗎？【小試牛刀】思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)基底中的向量不能為零向量()(2)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，則必有ac，b

2、d.()(3)若兩個向量的夾角為，則當(dāng)|cos|1時，兩個向量共線()(4)若向量a與b的夾角為60，則向量a與b的夾角是60.()(5)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一個基底()(6)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()【經(jīng)典例題】題型一 平面向量基本定理的理解點撥：(1)兩個向量能否作為一個基底，關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線若共線，則不能作基底，反之，則可作基底(2)一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以用這個基底唯一線性表示出來設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若x1ay1bx2ay2b，則eq blc(avs4alco1(x1x2，,y1y2.)(3)

3、一個平面的基底不是唯一的，同一個向量用不同的基底表示，表達(dá)式不一樣例1 如果e1、e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是( )ae1e2(、R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則eq f(1,2)eq f(1,2).若實數(shù)、使得e1e20，則0.A BCD【跟蹤訓(xùn)練】1 設(shè)e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是_(寫出滿足條件的序號)題型二 用基底表示

4、平面向量點撥：方法1：運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止方法2：通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解例2 如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點，且BC3AD，eq o(BA,sup6()a，eq o(BC,sup6()b.試以a，b為基底表示eq o(EF,sup6()，eq o(DF,sup6(). 【跟蹤訓(xùn)練】2 如圖所示，在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，M、N分別是邊OA、OB上的點，且eq o(OM,sup6()eq f(1,3)a，eq o(ON,sup6

5、()eq f(1,2)b，設(shè)eq o(AN,sup6()與eq o(BM,sup6()交于點P，用向量a、b表示eq o(OP,sup6().分析: 通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解1，2.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.下列說法中，正確說法的個數(shù)是( )在ABC中，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()可以作為基底；能夠表示一個平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；零向量不能作為基底A0B1 C2D32.如圖在矩形ABCD中，若eq o(BC,sup6()5e1，eq o(DC,sup6()3e2，則eq o(OC,sup6()()A.eq f(1,2)(5e13e2)

6、B.eq f(1,2)(5e13e2)C.eq f(1,2)(3e25e1) D.eq f(1,2)(5e23e1)3.如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點，eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，且eq o(BP,sup6()2eq o(PA,sup6()，則( )Axeq f(2,3)，yeq f(1,3)Bxeq f(1,3)，yeq f(2,3)Cxeq f(1,4)，yeq f(3,4)Dxeq f(3,4)，yeq f(1,4)4.已知非零向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()不共線，且2eq o(OP,s

7、up6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，若eq o(PA,sup6()eq o(AB,sup6()(R)，則x，y滿足的關(guān)系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy205.已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，則xy .6.如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq o(AC,sup6()a，eq o(BD,sup6()b，試用基底a，b表示eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6().【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】不共線向量 a1e12e2 思考：基底中的兩向量e1，e2不共線，這是基底的最大特點平

8、面內(nèi)的基底并不是唯一的，任意不共線的兩個向量都可以作為基底【小試牛刀】(1) (2)(3)(4) (5) (6) 【經(jīng)典例題】例1 B 解析由平面向量基本定理可知，是正確的對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的對于，當(dāng)120或120時不一定成立，應(yīng)為12210.故選B【跟蹤訓(xùn)練】1 解析：設(shè)e1e2e1，則eq blc(avs4alco1(1，,10，)無解，所以e1e2與e1不共線，即e1與e1e2能作為一組基底設(shè)e12e2(e22e1)，則(12)e1(2)e20，則eq blc(avs4alco1(120，,20，)無解，所以e1

9、2e2與e22e1不共線，即e12e2與e22e1能作為一組基底因為e12e2eq f(1,2)(4e22e1)，所以e12e2與4e22e1共線，即e12e2與4e22e1不能作為一組基底設(shè)e1e2(e1e2)，則(1)e1(1)e20，則eq blc(avs4alco1(10，,10，)無解，所以e1e2與e1e2不共線，即e1e2與e1e2能作為一組基底例2 解：連接FA，DF.因為ADBC，且ADeq f(1,3)BC，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)b，所以eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,s

10、up6()eq f(1,6)b.因為eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()，所以eq o(BF,sup6()eq f(1,2)b，所以eq o(FA,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BF,sup6()aeq f(1,2)b.所以eq o(EF,sup6()eq o(EA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(FA,sup6()eq f(1,6)beq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,3)ba，eq o(DF,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AF,s

11、up6()(eq o(AD,sup6()eq o(FA,sup6()eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)bblc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,6)ba.【跟蹤訓(xùn)練】2 解eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MP,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(NP,sup6()，設(shè)eq o(MP,sup6()meq o(MB,sup6()，eq o(NP,sup6()neq o(NA,sup6()，則eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()meq o(MB,sup6()e

12、q f(1,3)am(beq f(1,3)a)eq f(1,3)(1m)amb，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()neq o(NA,sup6()eq f(1,2)(1n)bna.a與b不共線，eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)1mn，,f(1,2)1nm，)neq f(1,5).eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C 解析：正確，錯誤2.A 解析：選A.eq o(OC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq

13、 f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)(5e13e2)3.A 解析eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,3)(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)OBxeq f(2,3)，yeq f(1,3).4.A 解析：選A.由eq o(PA,sup6()eq o(AB,sup6()，得eq o(OA,sup6(

14、)eq o(OP,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()，即eq o(OP,sup6()(1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6().又2eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(x22，,y2，)消去得xy2.5. 3 解析：e1，e2不共線，eq blcrc (avs4alco1(3x4y6,2x3y3)，解得eq blcrc (avs4alco1(x6,y3.)xy3.6.解：法一：設(shè)AC，BD交于點O，則有eq o(AO,sup6()eq o(OC,s

15、up6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)a，eq o(BO,sup6()eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq f(1,2)b.所以eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(BO,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.法二：設(shè)eq o(AB,sup6()x，eq o(BC,sup6()y，則eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6(