原始概念和定義的概念

1、原始概念和定義的概念恩格斯在反杜林論中曾對(duì)古典數(shù)學(xué)給出一個(gè)精辟的論斷：“純數(shù)學(xué)的對(duì) 象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料.”但是，為了能 夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式與關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi) 容作為無關(guān)緊要的東西放在一邊.”恩格斯的論斷可以這樣理解：幾何學(xué)的對(duì)象側(cè)重研究現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界的空間形 式，而代數(shù)和函數(shù)等則側(cè)重研究現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界的數(shù)量關(guān)系.恩格斯的這個(gè)論斷指 明了：幾何學(xué)的對(duì)象主要是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式(小至個(gè)別物體、局部空 間，大全宇宙空間)；幾何對(duì)象來源于客觀世界；幾何對(duì)象是抽象化和理想化的概念.我們?cè)賮砜匆豢船F(xiàn)行初級(jí)中學(xué)課本幾何第一冊(cè)的引言中關(guān)于幾

2、何學(xué)研究 對(duì)象的提法：“在生產(chǎn)建設(shè)和日常生活中，我們常常需要研究物體的形狀、大小 和位置關(guān)系，而不是物體的其他性質(zhì).”又寫道：“對(duì)于一個(gè)物體，當(dāng)只研究它的 形狀、大小而不考慮其他性質(zhì)時(shí)，我們就說它是幾何體，簡(jiǎn)稱為體.“體是由面 圍成的，面和面相交于線.線和線相交于點(diǎn).”“點(diǎn)、線、面或若干個(gè)點(diǎn)、 線、面組合在一起，就成為幾何圖形?！霸谖覀儗⒁獙W(xué)習(xí)的幾何里，只研究在同 一平面內(nèi)的圖形平面圖形.”推而廣之，立體幾何就是研究立體圖形的.中學(xué)幾何引言中這一段話，概括地指明了：中學(xué)幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，它們是點(diǎn)、線、面和由點(diǎn)、線、面組 合而成的其他圖形，以及圖形和圖形間的關(guān)系(性質(zhì))；幾何學(xué)的對(duì)象的客

3、觀原型是客觀世界的物體和關(guān)系；幾何對(duì)象是抽象化和理想化的概念.在人類的實(shí)踐活動(dòng)中，周圍的許多事物經(jīng)常地、反復(fù)地引起人們的感覺，形 成印象，開始對(duì)物體的形狀有了初步的認(rèn)識(shí)；經(jīng)過由此及彼的分析對(duì)比，從個(gè)別、 特殊到一般的綜合歸納，拋開具體的物體，拋開它們的化學(xué)的、物理的等等性質(zhì)， 逐步抓住表現(xiàn)形的本質(zhì)屬性，從各種形狀的一般特征中，抽象出幾何圖形，于是 就有了沒有大小的點(diǎn)，只有長(zhǎng)度而沒有寬度的線，只有長(zhǎng)度和寬度而沒有厚薄的 面，以及由點(diǎn)、線、面組合而成的幾何體等等.這種從特殊到一般，從具體到抽 象的過程，是人類對(duì)形的認(rèn)識(shí)的飛躍，這樣才有了幾何圖形，才能夠從純粹的狀 態(tài)中研究空間形式與關(guān)系，從而產(chǎn)生了

4、幾何學(xué).例如，“平面”是中學(xué)幾何中的重要概念.它就是人們對(duì)客觀存在的水平面、 平滑的石頭面以及一切具有平滑的物體表面等等形狀中，抓住了它們所共有的平 滑、沒有厚度、可以任意延展等所占有的空間形式上的特征，拋開了它們所具有 的化學(xué)和物理等等性質(zhì)，抽象出“平面”概念.這時(shí)它已不是某一具體物體的表 面，而是一個(gè)抽象化、理想化的思維對(duì)象，即概念化了.隨著實(shí)踐的深入，人們 對(duì)“平面”的認(rèn)識(shí)也不斷地深化，更加認(rèn)清了 “平面”的本質(zhì)屬性；直線有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，則直線上的點(diǎn)都在平面上；兩個(gè)平面如果相交，則必交出一條直線；過不共線的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.此外還有其他屬性，這樣就把平面和曲面區(qū)別開來，“平面”

5、的內(nèi)涵也就逐步明確起來.幾何對(duì)象也是理想化的.實(shí)際上，球的客觀原型總是凸凹不平的，研究這樣 十分復(fù)雜的曲面體，很難設(shè)想會(huì)得到現(xiàn)在的關(guān)于球的面積公式和體積公式.只有 理想化的球才可以推出現(xiàn)在的公式，而利用這個(gè)理想化的公式可以研究與球相近 似的客觀原型，如地球、太陽、足球等的面積和體積，雖然和原型相比會(huì)產(chǎn)生一 些誤差，但可以獲得足夠精確的結(jié)果.幾何對(duì)象都是通過概念的形式表述出來的，公理化幾何的概念分為原始概念 和定義概念兩種.原始概念原始概念是作為研究?jī)?nèi)容提出的而本身又不加定義的概念.原始概念包含原始元素（圖形）和原始關(guān)系兩類.原始元素又名“元名”，是組成幾何圖形的最簡(jiǎn)單、最基本的幾何元素.原 始

6、關(guān)系又名“元誼”，是原始圖形間的基本幾何關(guān)系.從后面的希爾伯特公理系統(tǒng)綱要中可以看出，該系統(tǒng)的原始概念有：原始元素：點(diǎn)、直線、平面.原始關(guān)系：結(jié)合關(guān)系、介于關(guān)系、線段合同關(guān)系和角合同關(guān)系.希爾伯特對(duì)原始概念的選擇，既少而精，又足以根據(jù)它們定義出其他所有的 概念，這是難能可貴的，可稱得上是一個(gè)典范的工作.用公理化方法建立幾何體系，為什么要列舉一些沒有定義的原始概念?每個(gè) 概念都加以定義不是更好嗎？實(shí)際上，每一個(gè)概念都加以定義是不可能的.這是因?yàn)榘凑者壿嫷脑瓌t，在 定義一個(gè)概念時(shí)，必須以某些已知概念為根據(jù)，而這些已知概念又要根據(jù)它們前 面的已知概念來定義，這樣追溯下去是無窮盡的，甚至出現(xiàn)某些概念再

7、沒有已知 概念來給它們下定義了.為了避免這種“無限的回復(fù)”，最初需要選擇少數(shù)不加 定義的原始概念作為基礎(chǔ)來定義所有其余的概念.歐幾里得在他的幾何原本中，試圖對(duì)每個(gè)概念都下定義，例如幾何原 本第一卷開頭的定義.于是，出現(xiàn)了 “面只有長(zhǎng)度和寬度”，“面的界是線”， “平面是與其上的直線看齊的面”等“定義”，不僅令人費(fèi)解，而且無用.實(shí)際 上這都不能叫做數(shù)學(xué)定義，而只是借助于其他的概念對(duì)“面”和“平面”進(jìn)行直 觀描述罷了.原始概念沒有定義，但它們所具有的屬性隱含在公理之中，即通過公理來確 定、來制約，或者說來間接定義.例如，中學(xué)立體幾何中，開頭給出以下三條公理：公理1如果一直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那

8、么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè) 平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公 共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.就是規(guī)定平面屬性、制約平面的最基本的公理.嚴(yán)格地說，歐氏平面是滿足 歐氏幾何公理系統(tǒng)中全部公理的幾何圖形.定義的概念定義是揭示概念的本質(zhì)屬性的邏輯方法.概念有明確的定義才能從本質(zhì)上把 不同的概念區(qū)別開來.通過定義不僅可以明確概念，不斷獲得新的概念，豐富幾何內(nèi)容，而且從實(shí) 質(zhì)上看，這些定義不過是舊的概念按一定的關(guān)系的組合，會(huì)使概念和定理的敘述 得以簡(jiǎn)化.實(shí)際上，用公理化方法建立的幾何體系所定義的概念，無非是由少數(shù) 原始概念遵循公理的要求

9、和一定條件組合而成的新的概念.一個(gè)定義是由被定義的概念、定義概念和聯(lián)結(jié)詞三個(gè)部分組成.被定義概念 也稱被定義項(xiàng)，就是要揭示出其本質(zhì)屬性的概念（用以代替舊概念的組合）；定義 概念也稱定義項(xiàng)，是用來揭示被定義概念屬性的那些已知的舊概念；被定義概念 與定義概念之間用聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來，幾何中常用的有“叫做”稱為”“是”等. 一般說來，聯(lián)結(jié)詞前面是定義的概念，后面是被定義的概念.下定義的方法有多種，下面舉幾個(gè)常用的方法.屬加種差的定義這是一種常用的、古典的定義方法.其公式為種差+鄰近的屬二被定義概念例如四邊形的屬種關(guān)系有E仲梯形睥形一正方形四邊形 1平行四邊形菱形一正方形其中符號(hào)“一”前面的是屬，后面的是

10、種.如四邊形與平行四邊形、四邊 形與平行四邊形、四邊形與正方形都有屬種關(guān)系.兩個(gè)相鄰的屬種，稱為鄰近的 屬種，如四邊形和平行四邊形、菱形和正方形.同一個(gè)種的本質(zhì)屬性的差別稱為 種差.利用屬加種差的方法，可對(duì)四邊形這一類圖形給出如下定義：兩組對(duì)邊分別平行（種差）的四邊形（鄰近的屬）稱為平行四邊形（被定義項(xiàng)）.一組對(duì)邊平行、另一組對(duì)邊不平行（種差）的四邊形（領(lǐng)近的屬）稱為梯形.有一個(gè)直角（種差）的平行四邊形（鄰近的屬）稱為矩形.鄰邊相等的平行四邊行稱為菱形.鄰邊相等的矩形稱為正方形.有一內(nèi)角為直角的菱形稱為正方形.發(fā)生定義用事物發(fā)生或形成過程中的情況來下定義的方法.例如:依次連結(jié)任意三點(diǎn)不共線的幾個(gè)點(diǎn)A、4成線段、電也、4-】4,所構(gòu)成的圖形稱為折線.平面上到定點(diǎn)有等距離的點(diǎn)構(gòu)成的圖形叫做圓.外延定義通過指出外延來下定義的方法.例如：點(diǎn)、直線、平面統(tǒng)稱原始元素；正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、 零統(tǒng)稱為有理數(shù).關(guān)系定義以事物間的關(guān)系作為種差的定義方法