狀態(tài)空間描述法

1、關(guān)于狀態(tài)空間描述法第一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法 1控制系統(tǒng)的兩種基本描述方法： 輸入輸出描述法經(jīng)典控制理論 狀態(tài)空間描述法現(xiàn)代控制理論 2經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)： (1) 優(yōu)點(diǎn)：對單入單出系統(tǒng)的分析和綜合特別有效。 (2) 缺點(diǎn)：內(nèi)部的信息無法描述，僅適于單入單出系統(tǒng)。 3. 現(xiàn)代控制理論 (1) 適應(yīng)控制工程的高性能發(fā)展需要，于60年代提出。 (2) 可處理時(shí)變、非線性、多輸入多輸出問題。 (3) 應(yīng)用方面的理論分支：最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識，自適應(yīng)控制9.29.39.4一、問題的提出第二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 1. 先看一個(gè)例

2、子： 例9.1 試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。RL Ci(t)ur(t) uc(t)二. 狀態(tài)和狀態(tài)空間第三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義 在已知ur(t)的情況下，只要知道 uc(t)和i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故uc(t)和i(t)稱為“狀態(tài)變量”。記 控制系統(tǒng)的狀態(tài)為完全描述系統(tǒng)的一個(gè)最小變量組，該組中的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。 如上例中, 為系統(tǒng)的狀態(tài)， 為狀態(tài)變量。 第四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 狀態(tài)向量 4. 狀態(tài)空間: 定義: 所有狀態(tài)構(gòu)成的一個(gè)實(shí)數(shù)域上的(線性)向量空間稱為狀態(tài)空間。 5. 方程: 狀

3、態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系表達(dá)式稱為狀態(tài)方程(見上例); 系統(tǒng)輸出量y(t) 與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系的表達(dá)式稱為輸出方程。 第五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月三. 狀態(tài)變量的選取 1. 狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 2. 選取方法 （1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 （2）可選取獨(dú)立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc 、質(zhì)量m 的速度v 等。 第六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.2 圖示彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，外作用力u(t)為該系統(tǒng)的輸入量，質(zhì)量的位移y

4、(t)為輸出量，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。 k mu(t)y(t)f第七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.3 已知系統(tǒng)微分方程組為 其中，ur 為輸入，uc 為輸出，R1、C1、 R2、C2為常數(shù)。試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。 第八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：選寫成向量矩陣形式：第九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月四. 狀態(tài)空間表達(dá)式 1. 單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng) 第十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 2. 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（p輸入q輸出） 3. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式第十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于

5、2022年6月 （t 域） （ 域）uxy B C D Ab) 結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng) A a) 結(jié)構(gòu)關(guān)系圖DBC第十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月五. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 1. 方法:機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法 2. 線性定常單變量系統(tǒng)(單輸入單輸出系統(tǒng)) (1) 由微分方程建立 在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：第十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.4 已知系統(tǒng)微分方程為 列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 寫成向量-矩陣形式(或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖):解：選 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：第十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)(2) 由傳遞函數(shù)建立即實(shí)現(xiàn) 第

6、十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月B）bn0第十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.5 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。解: 由bn=b3=0,對照標(biāo)準(zhǔn)型,可得實(shí)現(xiàn)為 第十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.6 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。 解: 由bn=b30, 對照標(biāo)準(zhǔn)型 第十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.7 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。 與能控規(guī)范型關(guān)系： A*=AT，B*=CT，C*=BT 能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)第十九張，PPT

7、共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 對角線規(guī)范實(shí)現(xiàn) 第二十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)構(gòu)圖的對角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 。 例9.8 求 +x1y(t)u(t)1c1x22c2xnncn+第二十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月解：則對角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為第二十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)-特征方程有重根時(shí) 第二十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月xn x4x11x12x13y(t)u(t)+14n11 c11 c12 c13 c4 cn第二十五張，PPT共一百三

8、十頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)G(s)有重極點(diǎn)時(shí)，設(shè)-pi中有k重極點(diǎn)第二十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月111 11第二十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.9-1-21111-111第二十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月(3) 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 思路： 變換前后系數(shù)矩陣關(guān)系： 代入原狀態(tài)方程，有 第二十九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月變換為對角線規(guī)范型。 例9.10 試將狀態(tài)方程解：. 求特征值： . 求特征向量和變換矩陣P =-1對應(yīng)的p1 第三十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月3線性定常多輸入多輸出系統(tǒng) (

9、1) 傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)系數(shù)矩陣間的關(guān)系 第三十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣(3) 傳遞矩陣的對角化 單入單出系統(tǒng)y(s)e(s)u(s) G(s) H(s)-y(s)e(s)u(s) G(s) H(s)多入多出系統(tǒng)-第三十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月(4) 傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn)1) 單輸入多輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn) 第三十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月可控規(guī)范型 第三十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.11 試求下列單輸入雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。 解 ：第三十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于202

10、2年6月2) 多輸入單輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn)解題思路 ： 求對應(yīng)的單入多出系統(tǒng)GT(s) 的實(shí)現(xiàn)； 利用對偶關(guān)系求G(s)的實(shí)現(xiàn)。 例9.12 線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣如下，求系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。 解： 1）先求對應(yīng)的單輸入雙輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 第三十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2）再轉(zhuǎn)換為雙輸入單輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 故原系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)為: 第三十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月方法的驗(yàn)證 第三十九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月對比原題所給傳遞函數(shù)，可見結(jié)果一致。 第四十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月本

11、 節(jié) 作 業(yè) 劉豹. P481-41-5(1)1-7第四十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.2 狀態(tài)方程求解線性定常連續(xù)系統(tǒng) 1. 齊次狀態(tài)方程的解 （1） 冪級數(shù)法設(shè)解為： 9.39.49.1第四十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 拉氏變換法由 兩邊取拉氏變換， 得 SX(s)-X(0)=AX(s) (SIA)X(s)=X(0) X(s)=(SIA)-1.X(0)兩邊取拉氏反變換 x(t)= L-1X(s)= L-1(SI-A)-1 X(0) = L-1 (SI-A)-1 X(0)比較前式，有eAt= L-1

12、(SI-A)-1 第四十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì) (t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+ (0)=I初始狀態(tài) (2) (t1t2)=(t1)(t2) =(t2)(t1) - 線性關(guān)系 -1(t)=(-t)， -1(-t)=(t) - 可逆性 x(t)=(t-t0)x(t0) x(t0)=(t0)x(0),第四十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 則 x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0) =(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)

13、= e (t2-t1)Ae(t1-t0)A 可分階段轉(zhuǎn)移 (t)k =(kt) e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA) e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA) 引入非奇異變換 后， 兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 第四十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.13 設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為 在t0=0時(shí)，狀態(tài)變量的初值為x1(0) x2(0) x3(0), 試求該方程的解。 第四十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十張，PP

14、T共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月試求A及(t) 。 例9.14 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為第五十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月解方程組得， 11(t)=2e-t e-2t, 12(t)= 2e-t2e-2t 21(t)=-e-t +e-2t, 22(t)=-e-t+2e-2t 第五十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.15 設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為式中a、b、c均為實(shí)數(shù)，試求： 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。 求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 第五十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 非齊次狀態(tài)方程 的解 直接法（積分法） (2) 拉氏變換法 sx(s)-x(0)=Ax(s)+B

15、u(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)則 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s) (由eAt=-1(sI-A)-1可得) 第五十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.16 在上例中，當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。第五十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.17 設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下所示。試用狀態(tài)空間法對系統(tǒng)進(jìn)行分析 。解：由圖 3 2/s 1- 電動(dòng)伺服閥放大器油缸位移傳感器u(s)y(s)第五十六張，PPT共一

16、百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月本 節(jié) 作 業(yè) 劉豹. P772-32-5(3)2-6第五十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 一、可控與可觀測的概念、意義9.3 可控性與可觀測性9.29.49.1第五十九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 如果存在一個(gè)控制u(t)，能在有限時(shí)間間隔to,tf內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(to)轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x(tf) ，則稱此狀態(tài)x(to)是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。二、定義1. 可控性定義第六十張

17、，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、可控性與可觀測性判據(jù) 系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u(t)作用下，對任意初始時(shí)刻to ，若能在有限時(shí)間間隔to,tf之內(nèi)，根據(jù)從to到tf對系統(tǒng)輸出y(t)的觀測值和輸入u(t)，唯一地確定系統(tǒng)在to時(shí)刻的狀態(tài)x(to) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可（能）觀測。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能（可）觀測，則系統(tǒng)不可觀測）。2. 可觀測性定義可控規(guī)范型： = -=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1. 可控性判據(jù)第六十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣：

18、 必須滿秩。即 （n為系統(tǒng)維數(shù)）判據(jù)一：試判別其狀態(tài)的可控性。 解： 例9.18 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：系統(tǒng)可控！ 第六十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型方程：中， 陣不包含元素全為零的行。判據(jù)二: 例9.19 已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程, 試判別其狀態(tài)的可控性。 解： 不可控！ 第六十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.20 試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性。第六十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例9.21 試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)

19、規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性。 中，與每個(gè)約當(dāng)小塊 的最后一行相對應(yīng) 的 陣 中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。） 約當(dāng)規(guī)范型 判據(jù)三：第六十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 判據(jù)一: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件為可觀測性矩陣:2. 可觀測性判據(jù)必須滿秩，即 rankQo=n（n為系統(tǒng)維數(shù)）可觀測規(guī)范型：第六十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.22 已知系統(tǒng)的A, C陣如下，試判斷其可觀性。例9.23 試判別如下系統(tǒng)的可觀測性。解：解：第六十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月的矩陣 中不包含元素全為零

20、的列。 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值, 則其狀態(tài)可觀測的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型:例9.24 試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性. 判據(jù)二:第六十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月中,與每個(gè)約當(dāng)塊 首行相對應(yīng)的矩陣 中的那些列,其元素不全為零。(如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值, 此結(jié)論不成立)。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)三: 第六十九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.25 試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。 第七十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 1）可控可觀測的充要條件： 由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消（即傳遞函數(shù)可約）。 2）可控的充要

21、條件： (SI-A)-1b不存在零極點(diǎn)對消。 3）可觀測的充要條件： c(SI-A)-1不存在零極點(diǎn)對消。 四、 能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系例9.26 判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測性。1. 單輸入單輸出系統(tǒng)第七十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.27 系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測性。 解： ，故不滿足可控可觀測的條件。 第七十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 多輸入多輸出系統(tǒng)1）可控的充要條件： (SI-A)-1B 的n行線性無關(guān)。2）可觀測的充要條件： C(SI-A)-1 的n列線性無關(guān)。 例9.28 用兩種方法驗(yàn)證：系統(tǒng)（1）的狀態(tài)可控性；

22、系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可觀測性。第七十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例9.29第七十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月五、對偶原理設(shè)系統(tǒng) S1(A1,B1,C1) 與系統(tǒng) S2(A2,B2,C2) 互為對偶系統(tǒng)，則:若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可控，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可觀測；若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可觀測，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可控；證明：第七十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解*例9.30 判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測性。線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng)：

23、能控 能觀測1 2. 3. 4. 第七十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 能控性規(guī)范分解 定理 n 階系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=kn，則通過非奇異變換可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng) (Ac , Bc , Cc)，有 xc是k維能控狀態(tài)分量，為(n-k)維不能控分量，為能控子系統(tǒng)。 第七十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月5-3 Tc的求法： i) 從QC中任選k (rankQC=k) 個(gè)線性無關(guān)的列向量，它為Tc的前k列：V1, V2, , Vk ； ii) 在Rn中再選n-k個(gè)列向量，記為Vk+1, Vn , 需使得： 為非奇異。第七十九張，PPT

24、共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能控，試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。 例9.31 解 系統(tǒng)能控性判別陣 rankQc=2n=3 , 所以系統(tǒng)是不完全能控的。 第八十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月其中Tc3是任意的，只要能保證Tc非奇異即可。變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 即 能控子系統(tǒng)為 第八十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 為能觀測子系統(tǒng)?？蓪⒃到y(tǒng)變換為按能觀測規(guī)范分解的新系統(tǒng) (Ao , Bo , Co)，有 5-4定理 n 階系統(tǒng)(A, B, C)， rankQo=rn，通過非奇異變換，xo為r 維能觀測狀態(tài)分量；

25、 是（n-r）維不能觀測的狀態(tài)分量。2. 能觀測性規(guī)范分解第八十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 To-1的求法: i) 從Qo中任選r(rankWo=r)個(gè)線性無關(guān)的行向量，作為To-1的前r 個(gè)行向量。 ii) 在Rn中再選（n-r）個(gè)行向量，構(gòu)成To-1，并使To-1為非奇異。 例9.32 設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性；若不完全能觀測，試將該系統(tǒng)按能觀測性進(jìn)行分解。 解 系統(tǒng)能觀測性判別陣 rankQo=20; 當(dāng)x=0, 則 |x|=0(2) |x|=| |x| , 為任意標(biāo)量.(3) 對于兩個(gè)向量x, y有 |x+y|x|+|y| . (三角不等式) 幾種常見的向

26、量范數(shù)： n維空間上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 第一百零四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.1.2 矩陣的范數(shù) (x的范數(shù)也定義： 矩陣A=aijnm，其范數(shù)|A|滿足:(1) 當(dāng)A0時(shí)，|A|0；當(dāng)A=0時(shí)，|A|=0 ；(2) |A|=| |A| 為任意向量；(3) |A+B|A |+| B| ； (4) |AB|A | B| ； 第一百零五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 幾種常見的矩陣范數(shù)：2范數(shù) 1范數(shù) 第一百零六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.2 平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性 9.5.2.1 平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)）xe xe 一個(gè)狀態(tài)變量，一旦系統(tǒng)到達(dá)此狀

27、態(tài)，則以后在無外力及擾動(dòng)的情況下，總處于此狀態(tài)。 任意狀態(tài)x(t)可表達(dá)為：x(t)=(t ; t0 , x(t0) , u(t) 平衡狀態(tài)xe零輸入狀態(tài)下的不變狀態(tài)，有 xe=(t ; t0 , xe , 0) = 常量 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)：xe為平衡狀態(tài)線性定常離散系統(tǒng)： x(k+1)=Gx(k) (2) 第一百零七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.2.2 幾個(gè)穩(wěn)定性概念 可見，由線性定常連續(xù)系統(tǒng)（1）、離散系統(tǒng)（2）： xe=0 線性定常系統(tǒng)：xe= 0是唯一的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 (1) 李亞普若夫意義下的穩(wěn)定性 (SisLStability in the sens

28、e of lyapunov 或 i.s.L 穩(wěn)定) xe平衡狀態(tài)，x0初始狀態(tài)（t0時(shí)刻）當(dāng)且僅當(dāng) 對于任一實(shí)數(shù) 0，對應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù) 0，使： | x0 - xe | 時(shí)，從任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)(t ; t0 , x0 , 0)都滿足 |(t ; t0 , x0 , 0) - xe|, t t0 則稱xe為lyapunov意義下穩(wěn)定的（SisL）。 第一百零八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月球域s()，半徑為 ；球域s()，半徑為 。s()內(nèi)的狀態(tài)的自由運(yùn)動(dòng)總在s()內(nèi)。若與t0無關(guān)，則稱此平衡態(tài)xe是i.s.L一致穩(wěn)定的，如下圖。 一般， = (, t0)，即與和

29、t0有關(guān)；狀態(tài)空間，以xe為原點(diǎn)，對給定正實(shí)數(shù)，以xe為球心、為半徑構(gòu)造一個(gè)超球體，球域記為s( ) 。 幾何解釋： 第一百零九張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 漸近穩(wěn)定（ASasymptotic stability）稱平衡態(tài)xe是漸近穩(wěn)定（AS）的，如果滿足： xe是i.s.L穩(wěn)定的； 對于 (, t0)和任意給定的實(shí)數(shù)0，對應(yīng)地存在實(shí)數(shù) T ( , , t0)0使得滿足的任一初態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)都滿足： |(t ; t0 , x0 , 0)- xe | , t t0+ T ( , , t0) , 而且 第一百一十張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月如果從任一初

30、態(tài)x0的受擾運(yùn)動(dòng)均為漸近穩(wěn)定的，線性系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定 大范圍漸近穩(wěn)定。記： = Sisl. = 一致Sisl. = AS. = 一致AS. = 大范圍AS. = 大范圍一致AS.幾種穩(wěn)定定義的包含關(guān)系： 線性系統(tǒng)： 則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定也稱為全局漸近穩(wěn)定。（小范圍漸近穩(wěn)定也稱為局部漸近穩(wěn)定。） xe為大范圍漸近穩(wěn)定： 第一百一十一張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.3 李亞普若夫第一法9.5.3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 線性定常連續(xù)系統(tǒng)： 若u(t)=0, t0 ; 對任意x(0), 有 稱為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 定理4.1 特征值判據(jù) 線性定常

31、連續(xù)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)矩陣A的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部，即 iA的特征值。 第一百一十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個(gè)判據(jù) 1必要條件判據(jù) 若線性定常系統(tǒng)為AS，則特征多項(xiàng)式 的系數(shù) i (i=0, 1, , n-1)必全為正。 系統(tǒng)為AS i0 (i=0, 1, , n-1)；有缺項(xiàng)或有負(fù)的系統(tǒng)不是AS 。 第一百一十三張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2Hurwitz 行列式判據(jù): 線性定常系統(tǒng)為AS的充要條件判據(jù)第一百一十四張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月3Lienardchipart 判據(jù) 只需要計(jì)算一半Hurwitz行列式。 例9

32、.37 例9.38 第一百一十五張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.3.2 線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 若對于任意x(0), 有 定理4.2 特征值判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：G的所有特征值的幅值均小于1，即 （即G的特征值i均位于Z平面的單位內(nèi)）。 第一百一十六張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.4 李亞普若夫第二法基本思路：從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析： 1) 如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲存的能量隨時(shí)間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將達(dá)最小值，則這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的； 2) 反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，則這個(gè)平衡狀

33、態(tài)是不穩(wěn)定的； 3) 如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，則這個(gè)平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。 由于實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個(gè)能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系; 于是Lyapunov定義了一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一百一十七張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月9.5.4.1 (實(shí))二次型 一般的一個(gè)實(shí)二次型是指n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式 可寫成： 其中qij=qji 。 其系數(shù)確定了一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣： 第一百一十八張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于2022年6月Q稱為二次型(2)的矩陣。 設(shè)x= x1

34、, x2, , xnT，則實(shí)二次型(2)可記為：f(x1, x2, , xn)=xTQx 定義 (實(shí))二次型是xRn的標(biāo)量函數(shù) f(x1, x2, , xn)=xTQx 式中，Q為一實(shí)對稱nn矩陣，稱為二次型f的矩陣，并將Q的秩稱為二次型f的秩。 x 0 , 若xTQx 0 , 則稱二次型f為正定的，Q稱為正定矩陣，記為Q0 。 x 0 , 若xTQx 0 ,，則稱二次型f為半正定的，Q稱為半正定矩陣，記為為Q0 。 若xTQx 0 (0) ,稱f為負(fù)定的(半負(fù)定的)，Q稱為負(fù)定(半負(fù)定)矩陣，記為 Q0V(x)為正定二次型。 V(x)稱為二次型Lyapunov函數(shù)。 第一百二十二張，PPT共一百三十頁，創(chuàng)作于20