材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定

1、第十一章壓桿穩(wěn)定11-1壓桿的穩(wěn)定概念11-2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的公式11-3公式的使用范臨界應(yīng)力總11-4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算11-5提高壓桿穩(wěn)定性的措施圖圍111壓桿的穩(wěn)定概念一、失穩(wěn)現(xiàn)象概述強(qiáng)度剛度 穩(wěn)定性構(gòu)件的承載能力：構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的安全性大部分取決于構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度。強(qiáng)度而發(fā)生脆斷，或屈服甚至剪斷剛度不夠而發(fā)生過(guò)大的彈性變形喪失穩(wěn)定性而失去承載能力構(gòu)件失效：工程中有些構(gòu)件并非因強(qiáng)度、剛度而破壞觀察以下試驗(yàn)(a): 長(zhǎng)為0.02m的鋼桿，橫截面形，直徑為1cm。當(dāng)載荷重量為為18850 N時(shí)，桿橫截面的應(yīng)力達(dá)到屈服極限而破壞。 240 MPas(b): 鋼桿的橫截面與(a)相同，長(zhǎng)為2m(細(xì)長(zhǎng)壓

2、桿），當(dāng)壓力為240 N 時(shí)，桿突然側(cè)向屈曲被壓彎，導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)承載。此時(shí)桿橫截面的 3.06 MPa不同于強(qiáng)度、剛度的屈曲應(yīng)力破壞（在遠(yuǎn)低于材料的屈服極限時(shí)）突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而喪失工作能力，這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)。這類(lèi)問(wèn)題稱為穩(wěn)定性問(wèn)題(a)(b)因圓在載荷的作用下，構(gòu)件或結(jié)構(gòu)在某一位置保持平衡，這一平衡位置稱為平衡構(gòu)形。當(dāng)載荷增大時(shí)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)不能保持原有平衡構(gòu)形，突然轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N平衡構(gòu)形（或非平衡構(gòu)形，如彈性振動(dòng)狀態(tài)）的現(xiàn)象失穩(wěn)對(duì)于軸向壓縮的直桿，簡(jiǎn)稱壓桿，失穩(wěn)就是由初始的直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)榍€平衡構(gòu)形，若失穩(wěn)后構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)仍處于彈性應(yīng)力狀態(tài)彈性失穩(wěn)。本章主要壓桿的穩(wěn)定性問(wèn)題工程中常見(jiàn)的壓

3、桿建筑物或結(jié)構(gòu)中的立柱各種桁架結(jié)構(gòu)中的壓桿內(nèi)燃機(jī)中的連桿壓桿失穩(wěn)帶有突發(fā)性，是造成結(jié)構(gòu)物破壞倒塌的重要原因穩(wěn)定性研究是材料力學(xué)的重要任務(wù)之一失穩(wěn)問(wèn)題最早在17世紀(jì)提出當(dāng)時(shí)未得到重視高強(qiáng)度材料（鋼材和鋁合金）問(wèn)世，使構(gòu)件的設(shè)計(jì)尺寸越來(lái)越小，穩(wěn)定性問(wèn)題逐漸引起重視1881 1897的16，世界各地有24座大橋倒塌（結(jié)果某些構(gòu)件失穩(wěn)造成）1907年河上的魁倒塌后成為一片廢墟由于懸臂的受壓下弦桿失穩(wěn)造成全橋倒塌，倒塌持續(xù)時(shí)間10s，心血10年北克橋倒塌（倒塌前正在進(jìn)行懸臂法架設(shè)中跨施工）1925年橋在試車(chē)腳手架結(jié)構(gòu)存在缺陷，造成失穩(wěn)坍塌事故時(shí)因橋梁桁架壓桿失穩(wěn)導(dǎo)致破壞時(shí)的情景。研究壓桿穩(wěn)定性的目的找出

4、壓桿失穩(wěn)的原因，采取防止失穩(wěn)的措施二、平衡穩(wěn)定性的概念平衡的種類(lèi)小球平衡的三種狀態(tài)不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡隨遇平衡（ 臨界狀態(tài)）穩(wěn)定性平衡物體在其原來(lái)平衡狀態(tài)下抵的能力。失穩(wěn)不穩(wěn)定的平衡物體在任意微小的外界干擾下的變化或破壞過(guò)程。受壓直桿平衡的三種狀態(tài)隨遇平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡受壓直桿平衡的三種狀態(tài)F FcrFcr臨界載荷F Fcr穩(wěn)定平衡直線平衡構(gòu)形隨遇平衡微彎構(gòu)形下處于平衡不穩(wěn)定平衡三、其它工程結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象板條在最大彎曲剛度平面內(nèi)橫力彎曲時(shí)會(huì)產(chǎn)生側(cè)彎失穩(wěn)軸向載荷作用下的柱殼屈曲失穩(wěn)圓薄壁壓力容器薄壁壓力容器在外壓力作用下會(huì)被壓扁不再保持原平衡形態(tài)，不僅有強(qiáng)度問(wèn)題，還有穩(wěn)定性問(wèn)題。薄壁壓力容器在

5、內(nèi)壓作用下通常計(jì)算的是強(qiáng)度問(wèn)題11-2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的公式理想壓桿材料為理想彈性體，軸線為直線，壓力與軸線重合一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力微彎Fcr狀態(tài)下局部壓桿的平衡:yFNyFcr考慮在臨界壓力作用下，壓桿處于微彎構(gòu)形下的平衡兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M (x) = Fcr y (x)EI d2y= M (x)yd x2d2FNy Fy 0crd x2EI Fcrk 2令EIyd2y 02Fcrd x2二階常系數(shù)線性奇次微分方程兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力d2y Fk22crEI0d x2（二階常系數(shù)線性微分方程）y =Asinkx + Bcoskx微分方程的解

6、:yFNy ( 0 ) = 0,y ( l ) = 0支承條件:0 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B = 0sinkl A =0yFcr若 A = 0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)不符，因此sinkl = 0：兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力y =Asinkx + BcoskxB = 0sinkl = 0sinkl A =0kl n（n = 0、1、2、3） Fcryk 2由FNEIyFcr上式表明，使壓桿處于微彎曲線平衡狀態(tài)的壓力在理論上是多值的，對(duì)應(yīng)壓桿的多次失穩(wěn)n EIFcr兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力l 2臨界壓力 Fcr 是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，故取 n = 1，即

7、得 EI2minl 2Fcry兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力的公式FN式中取 Imin，是因?yàn)閴簵U失穩(wěn)時(shí)抗彎能力弱的縱向平面內(nèi)彎曲y lFcry(si壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程撓曲線形狀為正弦半波曲線二、支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響壓桿兩端約束條件改變時(shí)，彎矩方程和支承條件改變，F(xiàn)cr必然發(fā)生改變。桿端約束越強(qiáng)，穩(wěn)定性越好，F(xiàn)cr 越大。到不同支承條件下理想壓桿的Fcr 及其撓用同樣的方法曲線形狀種不同桿端約束條件下理想壓桿的Fcr及其撓曲線形狀 2EIl 相當(dāng)長(zhǎng)度。 長(zhǎng)度系數(shù)Fcr寫(xiě)成的形式：l2 2EIFcr ( l 2 2 EIFcrl 2 2EIFcr (0. l 2 2EIFcr (0. l 2

8、四種不同桿端約束條件下理想壓桿的Fcr及其撓曲線形狀 2EIl 相當(dāng)長(zhǎng)度。 長(zhǎng)度系數(shù)公式： Fcr臨界壓力l2相當(dāng)長(zhǎng)度為撓曲線上零彎矩點(diǎn)（鉸鏈或拐點(diǎn)）之間的距離，兩相鄰零彎矩點(diǎn)之間的距離就相當(dāng)于一兩端鉸支壓桿。四一端固定，一端：一端固定，一端鉸接： 2EI 2EIl 0Fcrll = 2lFcrl2l2臨界壓力公式的一般形式: 2EI一端，一端固定:2.00.70.51.0F一端鉸支，一端固定兩端固定兩端鉸支lcr2實(shí)際壓桿較復(fù)雜桿端與其他彈性構(gòu)件固接，壓桿受到彈性介質(zhì)的阻抗力，壓力沿軸線分布等，可用不同長(zhǎng)度系數(shù) 來(lái)反映。臨界載荷公式的一般形式: 2EI(l)2一端，一端固定:2.00.70.

9、51.0F一端鉸支，一端固定兩端固定兩端鉸支cr注意失穩(wěn)時(shí)彎曲平面的判別當(dāng)壓桿桿端的約束情況在最大和最小抗彎剛度平面內(nèi)相同時(shí)，則上式中的 I 應(yīng)取壓桿橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。 EI2Fcrmin(l)2當(dāng)壓桿在最大和最小抗彎剛度平面內(nèi)的約束情況不相同時(shí)，則應(yīng)分別計(jì)算在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的臨界力，然后再確定該壓桿的臨界力。當(dāng)壓桿在最大和最小抗彎剛度平面內(nèi)的約束情況不相同時(shí)，則應(yīng)分別計(jì)算在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的臨界力，然后再確定該壓桿的臨界力。連 桿 EI2Fcrzz( L )2z1 2 EIyFcry(L )2y2rz )例：一根 305 mm2矩形截面木桿，對(duì)其施加軸

10、向壓力，若材 c 40 MPa ，當(dāng)長(zhǎng)料的抗壓強(qiáng)度度分別 10GPF 30 mm,1000 mmFcr12時(shí)，求臨界壓力: Fcr .木材:().F木桿兩端約束可視為鉸支解：1、短桿是強(qiáng)度問(wèn)題l 1305 40 6 kN1cF2、細(xì)長(zhǎng)桿是穩(wěn)定問(wèn)題l2hb330 53 I yImin 312mm4y1212 2 EIzmin2crl 2FFcr2 2 10109101231212 200./ 30.84 (N)d 20 mm例：圖示細(xì)長(zhǎng)圓截面連桿，長(zhǎng)度 l 800 mm，直徑料為Q235鋼，E200GPa.試計(jì)算連桿的臨界載荷,材Fcr.B解：1、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷FcrA2 Ed 42 EIF

11、crlyl 200l 26410.002 32z0.82 64(kN 24. s 235MPa2、從強(qiáng)度分析.0022 73.(kN623510ss4例：求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。（L=0.5m，E=200 GPa）P解：圖（a）一端固定，一端鉸支P3 5010 0. 4167 mm4Imin12 EI2 24167200103Fcrminl0(.7 500)22 67.14 kNFcr圖（b） 一端固定，一端鉸支 ,2I y 14.76 cm4Iz .89 cm4.38910 m查表，minz圖（b）z圖（a）y EI2 2 .0389108 200106Fcrminl2( .5)250 76

12、FcrkNLL10例：求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。（L = 0.5 m，E = 200 GPa）28 4)2(45解：一端固定，一端 ,2PIz .569 cm4I y .0 cm4.查表（單個(gè)）：Izc52.69 11.38 cm4a圖zc.0 cm4I23.ycayccm4 6minyc EI2 2 6104200103Fcrminl222(.0 500)z 118FcrkNybL11-3公式的使用范臨界應(yīng)力總一、臨界應(yīng)力與柔度 2E 2E 2E 2EIF 2 crcr2 il22lAlA2)(i臨界應(yīng)力的壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比）公式l i綜合反映桿長(zhǎng)、支承方式與截面幾何性質(zhì)對(duì)臨界應(yīng)力的影響柔度是

13、反映壓桿承載能力的綜合指標(biāo)。 i2 ,IAi 慣性半徑 i2.yy 桿越細(xì)長(zhǎng)，cr 壓桿容易失穩(wěn)圖圍二、公式的適用范 2E p .p,crpcr2 2E 2E 細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界柔度ppp p公式的適用范:，稱大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿 ）例：Q235鋼， E 200GPa, p 200 MPa. 2 E 2 20010399.35100p200 100p用 Q235鋼制成的壓桿，只有在時(shí)，才能用公式計(jì)算其臨界力。圍圍 2EI 2E Fcr公式cr2 A2lA p與 的關(guān)系為一:適用范臨界應(yīng)力雙曲線，只有當(dāng) p時(shí)，公式才有效；當(dāng) p 時(shí)，該曲線無(wú)效了。 p的壓桿稱大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿 ）1、大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿

14、）采用公式計(jì)算臨界壓力pp 2EI 2 E2臨界壓力：Fcr，臨界應(yīng)力： crl2圍1、大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿）采用 p ( p )公式計(jì)算臨界壓力 2EI 2 E2(l)2，臨界應(yīng)力： cr臨界壓力：Fcr當(dāng) p 時(shí)，壓桿屬于臨界應(yīng)力超出比例極限的非彈性穩(wěn)定問(wèn)題。此時(shí)，臨界應(yīng)力一般運(yùn)用由實(shí)驗(yàn)所得的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有二種，一種是直線型經(jīng)驗(yàn)公式，另一種是拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式。1、大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)壓桿） p ( p ) 采用公式計(jì)算 2 E 2EI(l)2臨界壓力：Fcr，臨界應(yīng)力：cr22：中柔度桿（中長(zhǎng)壓桿）(0 p ) 采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算直線型經(jīng)驗(yàn)公式 cr a ba, b 值是與材料性能

15、有關(guān)的常數(shù)適用于合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等 a s ( b ) ( ) a b可使用直線型經(jīng)驗(yàn)公式的最小柔度sb00bcrSP 2 E細(xì)長(zhǎng)壓桿。cr2粗短桿中柔度桿大柔度桿 lo0Pi3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。0 FN crcrA直線型經(jīng)驗(yàn)公式crs SP 2 E細(xì)長(zhǎng)壓桿。cr2粗短桿中柔度桿大柔度桿 lo0Pi-臨界應(yīng)力總：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系細(xì)長(zhǎng)桿發(fā)生彈性屈曲 ( p )中長(zhǎng)桿發(fā)生彈塑性屈曲 ( 0 p )粗短桿不發(fā)生屈曲，而發(fā)生強(qiáng)度破壞 ( 0 )圖臨界應(yīng)力總：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。 crSP直線型經(jīng)驗(yàn)公式 2 E細(xì)長(zhǎng)壓桿。cr2粗短桿中柔度桿大柔度桿

16、 lo0Pi圖中柔度桿拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式2cr11,是與材料性能有關(guān)的常數(shù)。拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。、注意問(wèn)題：1、計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，先計(jì)算柔度，判斷所用公式。2、對(duì)局部面積有削弱的壓桿，計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計(jì)算。但進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)需按削弱后的尺寸計(jì)算。四例 兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度 l=1.2m ，材料為 Q235 鋼，E=200GPa， P 200 MPa ， s 240 MPa 。已知截面的面積 A = 900mm ，若截面的2形狀分別為圓形、正方形、d /D = 0.7的空心圓管。試分別計(jì)算各桿的臨界力。解 （1）圓形截面4

17、9004A 直徑D 33.85mm 33.85103 mD4 / 6433.85103IAD43i 8.4610m慣性半徑D2/ 44 l 11.28.46103200 109E 142 99.3柔度P200 106iP因?yàn)?142 P 99.3 ，所以屬細(xì)長(zhǎng)壓桿，用公式計(jì)算臨界力 2 200109 33.85103 4 2EI 64 88.3kNF l 211.22cr例 兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度 l=1.2m ，材料為 Q235 鋼，E=200GPa， P 200MPa ， s 240MPa。已知截面的面積 A = 900mm ，若截面的2形狀分別為圓形、正方形、d /D = 0.7的空心圓管。

18、試分別計(jì)算各桿的臨界力。（2） 正方形截面截面邊長(zhǎng)A 900 30103 ma 30103a4IA/12a3i 8.6610m慣性半徑a211.21212 l 138柔度8.66 103i因?yàn)?138 P 99.3，所以屬細(xì)長(zhǎng)壓桿，用公式計(jì)算臨界力。 30103 14 2 200109 2EI 12 92.5kNF l 211.22cr例 兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度 l=1.2m ，材料為 Q235 鋼，E=200GPa， P 200 MPa ， s 235MPa 。已知截面的面積 A = 900mm ，若截面的2形狀分別為圓形、正方形、d /D = 0.7的空心圓管。試分別計(jì)算各桿的臨界力。（3）

19、空心圓管截面 D2 d 2 D2 0.7D2 A 900mm2因?yàn)?d /D = 0.7，所以44D = 47.410-3 m， d = 33.1810-3 m解得：I D4 d 4 47.44 33.184 1012 1.88107 m4慣性矩64641.88107900106IAi 1.4510m2慣性半徑 l11.2柔度 82.71.451012i a s 304 235 61.60b1.12例 兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度 l=1.2m ，材料為 Q235 鋼，E=200GPa， P 200 MPa ， s 240MPa。已知截面的面積 A = 900mm ，若截面的2形狀分別為圓形、正方形、d

20、 /D = 0.7的空心圓管。試分別計(jì)算各桿的臨界力。 l 11.2 82.7（3） 空心圓管截面1.451012i a s 304 235 61.6E 99.30Pb1.12PS P因?yàn)?，所以屬中長(zhǎng)壓桿，現(xiàn)采用直線公式（也可采用拋物線公式）計(jì)算臨界力。 a b AFcr 304 1.1282.7106 900106 190 kN三根桿件截面積均相同，但臨界力相差很大，空心圓管截面具有最大的臨界力。這說(shuō)明此種截面較為合理，具有較大的慣性矩和慣性半徑，從而使得柔度 值比較小。例：一壓桿長(zhǎng)L =1.5m，由兩根 56566 等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力F=150kN，角鋼為Q235鋼，求臨界壓力（

21、 cr = 304 - 1.12 ）。解：查表：一個(gè)角鋼：A .8367cm2, 23.63cm4, I 47.24cm4I1y1z1 92.48cm4兩根角鋼圖示組合之后zy 23.63 47.26cm4Imin1z1Imin47.26.168cmiminA.367y1l1l508.92i .168 82max.1451012imina s304 2350 p 100 61Q235鋼b.112例：一壓桿長(zhǎng)L =1.5m，由兩根 56566 等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力F=150kN，角鋼為Q235鋼，求臨界壓力（ cr = 304 - 1.12 ）。l 150 89maxi.168minl

22、.2p 100 8212.14510iQ235鋼a 304 2350 61sb.1120 y（必先繞 z 軸失穩(wěn)）max z 121,461010E 110p8 106pmax p，為細(xì)長(zhǎng)壓桿可由公式計(jì)算臨界力例截面為120200mm的矩形木柱，材料的彈性模量E=1104 Mpa,p=8 Mpa 。其支承情況為：在xoz平面失穩(wěn)（即繞y軸失穩(wěn)）時(shí)柱的兩端可視為固定端（圖a）；在xoy平面失穩(wěn)（即繞z軸失穩(wěn)）時(shí)，柱的兩端可視為鉸支端（圖b ）。試求該木柱的臨界力。(3) 計(jì)算臨界力從上面計(jì)算可知：zy（必先繞 z 軸失穩(wěn)）max z 121,461010E 110p8 106pmax p，為細(xì)長(zhǎng)

23、壓桿，可由公式計(jì)算臨界力 2 EIz 2 EA cr A 161KNPcr或Pcrl 2 2zz該柱將可能在 xoy 平面內(nèi)失穩(wěn)（繞 z 軸）。例：圓截面壓桿，E=210GPa， p=206 MPa，s=235MPa，cr=304-1.12 1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已知：d =160 mm。求：二桿的臨界載荷解：1、判斷臨界載荷大小i d l ,i4 0.5 7000 8740Fcrb 1 5000 125.160baFcra a b 7m 例：截面壓桿，E=210GPa， p=206 MPa，s=235MPa，cr=304-1.12 1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已

24、知：d =160 mm。求：二桿的臨界載荷 1 5000 125.160 0.5 7000 87ab402、確定計(jì)算各桿臨界力的公式210103E125 100屬細(xì)長(zhǎng)壓桿Pa0p206P 304 235 61.112屬中長(zhǎng)壓桿0 7m 圓E=210GPa， p=206 MPa，s=235MPa，cr=304-1.12 1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已知：d =160 mm。求：二桿的臨界載荷a125 b87.屬細(xì)長(zhǎng)壓桿p0屬中長(zhǎng)壓桿p3、計(jì)算各桿臨界力的大小 2EI 2E 21032 2663 kNA Fcra222L.11287. 1602crb crb(304 .112)A 41

25、15.4kN(3044Fcra 2663 kN,Fcrb 4115kN7m11-4一、穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定計(jì)算1、安全系數(shù)法:nststF Fcr規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)；穩(wěn)定許用壓力。 F.crnFst cr . 穩(wěn)定許用壓應(yīng)力。crcrnstFcr n也可寫(xiě)成：stF應(yīng)用上面的穩(wěn)定條件，能夠解決壓桿下列面：驗(yàn)算壓桿的穩(wěn)定性確定容許荷載選擇壓桿的截面尺寸和形狀2、折減系數(shù)法在工程中為了簡(jiǎn)便計(jì)算，對(duì)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算還采用折減系數(shù)法。 cr 工作應(yīng)力； 穩(wěn)定許用應(yīng)力。式中crnstcr由于穩(wěn)定許用應(yīng)力 cr 總是小于強(qiáng)度許用應(yīng)力 ，在工程中常將穩(wěn)定許用應(yīng)力表示為強(qiáng)度許用應(yīng)力 與一個(gè)小于1的系數(shù) 的乘cr

26、cr 積來(lái)表示，即。稱為折減系數(shù)。由于臨界應(yīng)力隨壓桿的柔度而變化，而對(duì)不同柔度的壓桿又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)，故 nst 是柔度的函數(shù)。從中可以看出，折減系數(shù) 也是 的函數(shù)。幾種常用材料的 值可在表中查到。引入折減系數(shù)后，壓桿的穩(wěn)定條件為： P crA按穩(wěn)定條件上式對(duì)壓桿進(jìn)行的穩(wěn)定計(jì)算稱為折減系數(shù)法。2、折減系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件為：F () A應(yīng)用上面的穩(wěn)定條件，同樣能夠解決壓桿下列面。驗(yàn)算壓桿的穩(wěn)定性F () A確定容許荷載先算出 ,查表得 F ()A選擇壓桿的截面尺寸和形狀有時(shí)穩(wěn)定條件中，A 和 都是未知的，需采用逐次漸近行計(jì)算。二、注意：強(qiáng)度的許用應(yīng)力和穩(wěn)定的許用應(yīng)力的別強(qiáng)度的許用應(yīng)力只

27、與材料有關(guān)；穩(wěn)定的許用應(yīng)力不僅與材料有關(guān)，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關(guān)。區(qū)例 圖示結(jié)構(gòu)，、桿材料、長(zhǎng)度相同，已知：Q=90kN, E=200Gpa, l=0.8m, P=99.3, 0=57, 經(jīng)驗(yàn)公式cr=304-1.12(MPa), nst=3。校核結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。解：、桿受力：QQP P 51.96kN332123桿的穩(wěn)定性：30o30o30i1 8.66mm12 1l1 800 92.381i18.66 屬中長(zhǎng)壓桿s1P A (304 1.12 92.38) 302 180.5kNFcr1cr110例 圖示結(jié)構(gòu)，、桿材料、長(zhǎng)度相同，已知：Q=90kN, E=200Gpa, l=

28、0.8m, P=99.3, s=57, 經(jīng)驗(yàn)公式cr=304-1.12(MPa), nst=3。校核結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。QP P 51.96kNQ123 1l1 800332 92.381i18.66s 1 PFcr1 cr1 A1屬中長(zhǎng)壓桿30o30o 180.5kN Fcr1 180.5 3.47 nn1stF51.961桿滿足穩(wěn)定性條件0例 圖示結(jié)構(gòu)，、桿材料、長(zhǎng)度相同，已知：Q=90kN, E=200Gpa, l=0.8m, P=99.3, s=57, 經(jīng)驗(yàn)公式cr=304-1.12(MPa), nst=3。校核結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。桿的穩(wěn)定性：Q32i2 8mm4332 2l2 800 100 2

29、Pi830o30o2屬細(xì)長(zhǎng)壓桿 158.7kN EI2Fcr 22( l)22 2 Fcr 2 158.7 3.05 n桿均滿足穩(wěn)定要求結(jié)構(gòu)穩(wěn)定n2stF251.960，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求，確定橫梁上均布載荷集度例托架的撐桿為2m1mqAB30q之值。穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3.C-截面解： 1）求BC桿的軸力分離體，對(duì)A點(diǎn)取矩，有： MA 0以AB 1 q 3222）求BC桿的臨界力i sin 30 2 0FNBC 4.5qFNBCI181132=16mm707Al1.02/cos30103 =144.31

30、6i，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求，確定橫梁上均布載荷集度例托架的撐桿為2m1mqAB30q之值。穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3.Cl-截面1.0 2/cos30103 =144.3 4.5qFNBC16i因?yàn)?P=100，故可用公式計(jì)算BC桿的臨界力。 2 EI 2 206103181132Fcr=69 kN(l)2(1.02/cos30103 )2FcrFcr69n nq 5.1kN / mst4.5 3F4.5nstNBC例結(jié)構(gòu)受力如圖示，BC桿采用No18工字鋼(Iz=1660cm4, iz=7.36cm,Iy=1

31、22cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的彈性模量E =2105 MPa，比例極限，穩(wěn)定安全系數(shù) nst =3。試確定容許載荷 G。 200Mpap(BC 桿繞 y 失穩(wěn)時(shí)，B 端可視為鉸支， BC 桿繞z 失穩(wěn)時(shí)，B 端可視為端)max y 0.7解（一）求 yl 0.7 4 140y2 102iyz 2zl 2 7 109z7.36 102izmax y 140（先繞 y 軸失穩(wěn)）例結(jié)構(gòu)受力如圖示，BC桿采用No18工字鋼(Iz=1660cm4, iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的彈性模量E =2105 MPa，比例極限，穩(wěn)定安全

32、系數(shù) nst =3。試確定容許載荷 G。 200Mpap(BC 桿繞 y 失穩(wěn)時(shí)，B 端可視為鉸支， BC 桿繞z 失穩(wěn)時(shí)，B 端可視為端)（二）確定BC桿的臨界載荷E p 99,pmaxypBC桿的臨界力可用公式計(jì)算 2 EI 2 21011 122108F y 306KN l 0. cr22y（三）確定結(jié)構(gòu)的容許載荷 Fcr 306 102KNFBC桿能承受的容許載荷為：BCn3st 2 204KN結(jié)構(gòu)的容許載荷:BC例 結(jié)構(gòu)受力如圖a 所示，CD柱由Q235鋼制成，E=200GPa，p=200MPa，許用應(yīng)力=120MPa。柱的截面積為a =60mm 的正方形。試求：（1）當(dāng)F=40kN

33、 時(shí)，CD柱的穩(wěn)定安全系數(shù)n；（2）如設(shè)計(jì)要求穩(wěn)定安全系數(shù)nw=3，結(jié)構(gòu)的許用載荷F 。解 （1）計(jì)算CD柱的內(nèi)力和外力F的關(guān)系由平衡條件可知（見(jiàn)圖b）。F 1 F M 0NCDA4（2）計(jì)算CD柱的臨界力a412I , A a2a4IA/12ai a212 l 13 173i1.73103因?yàn)?p ,所以CD柱屬細(xì)長(zhǎng)桿，用公式計(jì)算臨界力2EI l 2Fcr例 結(jié)構(gòu)受力如圖a 所示，CD柱由Q235鋼制成，E=200GPa，p=200MPa，許用應(yīng)力=120MPa。柱的截面積為a =60mm 的正方形。試求：（1）當(dāng)F=40kN 時(shí)，CD柱的穩(wěn)定安全系數(shù)n；（2）如設(shè)計(jì)要求穩(wěn)定安全系數(shù)nw=3

34、，結(jié)構(gòu)的許用載荷F 。 236.6KNFcr（3） 確定CD 柱的穩(wěn)定安全系數(shù)因?yàn)?FNCD=4F=160kN，所以CD 柱的穩(wěn)定安全系數(shù)為Fcr236.6 1.48n FNCD160注意：此安全系數(shù)即為CD柱工作時(shí)的安全系數(shù)。（4） 安全系數(shù)法計(jì)算許用載荷（ n st = 3 ）由CD 柱的穩(wěn)定條件 236.6 78.9KNr3 19.7KNst78.9F 1 FFF 再由NCDNCD444例 圖示結(jié)構(gòu)，桿的直徑d=60mm, Q235鋼，許用應(yīng)力=160 MPa。試根據(jù)桿的穩(wěn)定條件確定載荷F解。：（1）求桿的受力：結(jié)構(gòu)的F1=3F（2）確定： ()F 1, i d 15mm4100,()

35、0.604 1500 15a2a（3）確定結(jié)構(gòu)的載荷PF1A()3FA() F 1 A() 91kN3d1.5m例 由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，兩端為柱形鉸，即在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端鉸z=1.0；當(dāng)在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端支，長(zhǎng)度約束情況接近于兩端固定，長(zhǎng)度y=0.6。已知連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為F=35kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力=206MPa,并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中a類(lèi)中心受壓桿的要求。試校核其穩(wěn)定性。22O12xl2=580yl1=750yA=522mm2Iy=1.41104mm4 Iz=7.40104mm4zxO2466解： 1)計(jì)算慣性半徑I y1.411

36、04iy 5.05mmAI z5227.40104i11.58mmzA522 z =1.0 y =1.02)計(jì)算柔度 y l2 0.658022iy= 69yO125.05xl2=580yl1=750z l11.0750yA=522mm2Iy=1.41104mm4zzi11.58zI =7.40104mm4zx= 64.8O2466 y l2 0.65802)計(jì)算柔度= 69iyy5.05 z l1 1.0750= 64.8ziz11.583)穩(wěn)定計(jì)算z中較大的 y來(lái)查表和計(jì)算：max= 69 y 和取9(0.844-0.849) =0.84510= 0.849+4)求穩(wěn)定許用應(yīng)力cr = =

37、0.845206=174MPa22O12xl2=580y35103Fl1=750 yA=522mm2Iy=1.41104mm4522Az=64.3MPa crIz=7.40104mm4x故該連桿滿足穩(wěn)定性要求。O24663) 穩(wěn)定計(jì)算取 y 和 z中較大的 y來(lái)查表和計(jì)算：max= 699(0.844-0.849) =0.84510= 0.849+4)求穩(wěn)定許用應(yīng)力 = =0.845206=174MPacr 35103 F=64.3MPa crA522故該連桿滿足穩(wěn)定性要求。22O12此題中的連桿在兩個(gè)平面失穩(wěn)時(shí)的約束情況、計(jì)算長(zhǎng)度和慣性矩都不同，應(yīng)分別計(jì)算其柔度以判斷其穩(wěn)定性的強(qiáng)弱。xl2=

38、580yl1=750yA=522mm2Iy=1.41104mm4zIz=7.40104mm4xO2466例：圖示起重機(jī)， AB 桿為圓松木，長(zhǎng) L= 6m， =11MPa，直徑為：d = 0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy 面兩端視為鉸支；xz 面一端視為定，一端視為）木桿: 80時(shí), 30002xB解：折減系數(shù)法y1、最大柔度F1xy =1 . 0面內(nèi)，zF2 z L 164 80Ayzi0面內(nèi)， yzy =2 . 0 L 264 160 oxymaxi0zW固例：圖示起重機(jī)， AB 桿為圓松木，長(zhǎng) L= 6m， =11MPa，直徑為：d = 0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy 面兩端視

39、為鉸支；xz 面一端視為定，一端視為）木桿: 80時(shí), 30002x L 264 160 Bymaxi0y2、求折減系數(shù)查表：木桿F1160時(shí).117F 23、求許用壓力crAycr287MPaBCBC cr ox 3002z 91 kN.12874W固例：圖示立柱，L=6m，由兩根10號(hào)槽鋼組成（Q235鋼），下端定，上端為球鉸支座，試問(wèn)由壓桿合理性出發(fā)臨界壓力為多少？a=？，此時(shí)立柱的解：1、對(duì)于單個(gè)10號(hào)槽鋼，形心在C1點(diǎn)。I 198. cm4 I25. cm4A 12.74cm2 z.52cm,10z1y1 2兩根槽鋼圖示組合之后:1 396cm4 2198 2a / 2)2 A z（

40、z ）011122512.741(.52 a / 2當(dāng)時(shí)最為合理：zy)212.741(.52 a即: 19825a=4.32cm固例：圖示立柱，L=6m，由兩根10號(hào)槽鋼組成（Q235鋼），下端定，上端為球鉸支座，試問(wèn)由壓桿合理性出發(fā)臨界壓力為多少？2、求臨界力：a=？，此時(shí)立柱的 L0. 0.106pi8I10396z2 A1104公式求臨界力。212.74大柔度桿，由 2EIFcr2l 2 20039610 443.8 kN)2(00. 443.8 kNF.cr固例：一等直壓桿長(zhǎng) L=3.4 m，A=14.72 cm2，Imin =79.95 cm4，E =210 GPa，受壓力F =6

41、0 kN，材料為Q235鋼，兩端為鉸支座。試進(jìn)行穩(wěn)定校核。1、nst= 2；2、=140 MPa解：1、安全系數(shù)法： l.4100p 100145i79.9414.73 2 EI 2 E2 2 210103A 14.7310 143.3 kN2FcrL2145 143 FcrF 60kN穩(wěn)定性足夠71.(kNFN2nst例：一等直壓桿長(zhǎng) L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，E =210 GPa，受壓力F =60 kN，材料為Q235鋼，兩端為鉸支座。試進(jìn)行穩(wěn)定校核。1、nst= 2；2、=140 MPa l .4100 1452、折減系數(shù)法i79.9414.73查表

42、 =140， = 0.349； =150， = 0.306。 .349 0.349 .0306 .59 .033145.10 40.7(MPa)60103 F 14.73102A .033 140 46.2 MPa穩(wěn)定性足夠例AB、AC桿材料相同為低碳鋼，直徑為 d=6cm, lAB=3m, lAC=2m ， 160Mpa,考慮圖示平面內(nèi)穩(wěn)定時(shí)，結(jié)構(gòu)的容許載荷P。解：（一）由平衡條件解出兩桿內(nèi)力與載荷 P 的關(guān)系。 N AB P cos 60 (1) P cos 30 (2) N AC（二）用折減系數(shù)法求容許載荷 Pa由AB桿確定容許載荷 P1。 lAB 1 300 200表得：查 0.18ABi6 4 N AB A AB桿的容許載荷為： 0.18 0.062 4 81.4KN 160 106 N AB代入(1)后得：P 162.8KN1cos 60例AB、AC桿材料相同為低碳鋼，直徑為 d=6cm, lAB=3m, lAC=2m ， 160Mp