高中數(shù)學(xué)必修二 8. 簡單幾何體的表面積與體積（精講）(含答案)

1、8.3 簡單幾何體的表面積與體積(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點一 旋轉(zhuǎn)體的體積【例1】(2021山東萊西高一期末)在中，若將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積是_【答案】【解析】依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，所以，所以旋轉(zhuǎn)體的體積: 故答案為：【一隅三反】1(2021湖南省邵東市第三中學(xué)高一期中)圓臺上、下底面面積分別是、，高為，這個圓臺的體積是( )ABCD【答案】D【解析】由題意故選：D2(2021山東任城高一期中)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周六尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放

2、米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為6尺，米堆的高為5尺，問堆放的米有多少斛？”已知1斛米的體積約為1.6立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有_斛【答案】12.5【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r尺，則2r6，r4，圓錐的體積V20立方尺，堆放的米約有12.5斛故答案為：12.53(2021上海市七寶中學(xué))已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的體積為_.【答案】【解析】由題意圓錐的母線長為，設(shè)圓錐底面半徑為，則，所以高為，體積為故答案為：考點二 旋轉(zhuǎn)體的表面積【例2】(2021吉林延邊二中高一期中)如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底

3、面挖去一個圓柱，(1)求剩余幾何體的體積(2)求剩余幾何體的表面積【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意知，因為為的中點，所以挖去圓柱的半徑為1，高為2，剩下幾何體的體積為圓錐的體積減去挖去小圓柱的體積，所以.(2)因為圓錐的底面直徑和高均是4，所以半徑為2，母線，所以圓錐的表面積為，挖去的圓柱的側(cè)面積為：，所以剩余幾何體的表面積為.【一隅三反】1(2021廣東仲元中學(xué)高一期中)已知一個母線長為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的側(cè)面積為( )ABCD【答案】D【解析】將圓心角化為弧度為：，設(shè)圓錐底面圓的半徑為由圓心角、弧長和半徑的公式得：，即由扇形面積公式得：所以圓錐的側(cè)面積為.

4、故選：D.2(2021全國高一課時練習(xí))已知圓臺的上、下底面半徑分別為10和20，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角為180，則這個圓臺的側(cè)面積為( )A600B300C900D450【答案】A【解析】圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，設(shè)圓臺的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為x，依題意有：，解得，所以圓臺的側(cè)面積.故選：A3(2021全國高一課時練習(xí))圓臺的上、下底面半徑和高的比為，若母線長為10，則圓臺的表面積為_【答案】【解析】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，高為則，則它的母線長為，所以，故，.故答案為：考點三 多面體的體積【例3-1】(2021全國高一課時練習(xí))如圖所示，

5、正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是( )ABCD1【答案】A【解析】三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形，高D1D=1，三棱錐D-ACD1的體積為V=111=.故選：A【例3-2】(2021全國高一課時練習(xí))若正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為528，體積為14，則棱臺的高度為( )A8B4C2D2【答案】C【解析】如圖，設(shè)棱臺的上、下底面邊長分別為2x，8x，斜高為5x，則棱臺的高h=4x，由棱臺的體積公式得：，解得，棱臺的高為h=4x=2.故選：C【一隅三反】1(2021全

6、國高一課時練習(xí))設(shè)四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形，四棱錐的高為3，則該四棱錐的體積為( )A12B24C4D30【答案】C【解析】所求的體積為，故選：C.2(2021全國高一課時練習(xí))棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積等于( )ABCD6【答案】C【解析】依題意，棱臺的上底面面積，下底面面積，高為，故由公式可知，棱臺的體積是，故選：C.3(2021全國高一課時練習(xí))若一個四棱錐的底面的面積為3，體積為9，則其高為( )AB1C3D9【答案】D【解析】設(shè)四棱錐的高為h，則由錐體的體積公式得：3h=9，解得h=9，所以所求高為9.故選：D4(2021廣東仲元中學(xué)高一期

7、中)如圖所示，在長方體中，用截面截下一個棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為( )A1：5B1：4C1：3D1：2【答案】A【解析】由圖知：，而，剩余部分的體積為，棱錐的體積與剩余部分的體積之比為1：5.故選：A考點四 多面體的表面積【例4】(2021全國高一課時練習(xí))正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為()ABCD【答案】B【解析】正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則高為，它的表面積為.故選:B.【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積等于( )A12B48C64D72【答案】D【解

8、析】六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，故底面周長，又側(cè)面是矩形，側(cè)棱長為4，故棱柱的高，棱柱的側(cè)面積，故選：D2(2021全國高一課時練習(xí))如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1AB1C的表面積與正方體的表面積的比為( )A11B1C1D12【答案】C【解析】設(shè)正方體的邊長為，則表面積，因為三棱錐的各面均是正三角形，其邊長為正方體側(cè)面對角線則面對角線長為，三棱錐D1AB1C的表面積，所以.故選：C3(2021全國高一課時練習(xí))長方體同一頂點上的三條棱長分別為2，2，3，則長方體的體積與表面積分別為( )A12，32B12，24C22，12D12，11【答案】A【解析】長方體的體

9、積為，表面積為，故選：A.4(2021全國高一課時練習(xí))(多選)正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是( )A正三棱錐高為3B正三棱錐的斜高為C正三棱錐的體積為D正三棱錐的側(cè)面積為【答案】ABD【解析】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，故,故AB正確.而正三棱錐的體積為，側(cè)面積為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.5(2021全國高一課時練習(xí))(多選)在正方體中，三棱錐的表面積與正方體的表面積的比不可能是( )ABCD【答案】ABD【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的表面積為.三棱錐為各棱長均為的正四面體，其中一個面的面積為，則三棱錐的表面積為 所

10、以三棱錐的表面積與正方體的表面積的比為.故選：ABD.考點五 有關(guān)球的計算【例5-1】(2021全國高一課時練習(xí))長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為( )AB56C14D16【答案】C【解析】設(shè)長方體的三條棱長分別為a，b，c，由題意得，得長方體的體對角線長為，其外接球的半徑為故選：C【例5-2】(2021廣東高州高一期末)已知正四面體的表面積為，且、，四點都在球的球面上，則球的體積為( )ABCD【答案】C【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，

11、若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球的體積為故選：C.【一隅三反】1(2021全國高一課時練習(xí))表面積為16的球的內(nèi)接軸截面為正方形的圓柱的體積為( )ABC16D8【答案】A【解析】由題意可知，4R216，所以R2，即球的半徑R2設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則，即，所以r，V圓柱r22r224故選：A.2(2021全國高一課時練習(xí))若一個正方體內(nèi)接于表面積為4的球，則正方體的表面積等于( )A4B8C8D8【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長為，球半徑為，則，解得，正方體的體對角線為，所以，解得.所以該正方體的表面積為.故

12、選：B.3(2021全國高一課時練習(xí))(多選)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中將正四棱錐稱為方錐已知半球內(nèi)有一個方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說法正確的是( )A半徑是3B體積為C表面積為D表面積為【答案】ABC【解析】如圖，是正四棱錐的對角面，設(shè)球半徑為，是半圓的直徑，則正四棱錐底面邊長為，棱錐體積為，半球體積為，表面積為，故選：ABC4(2021全國高一課時練習(xí))一個球內(nèi)有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和2，求球的體積和表面積【答案】球的表面積為，球的體積為【解析】(1)當(dāng)截面在球心的同側(cè)時，如圖所示為球的軸截面，由截面性質(zhì)知，為兩

13、截面圓的圓心，且，設(shè)球的半徑為，因為，所以，同理得.設(shè)，則，在中，在中，聯(lián)立可得，所以，.(2)當(dāng)截面在球心的兩側(cè)時，如圖所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，分別為兩截面圓的圓心，且，設(shè)球的半徑為，因為，所以因為，所以設(shè)，則在中，在中，所以，解得(不合題意，舍去)綜上所述，球的表面積為球的體積為考點六 綜合運用【例6】(2021全國高一課時練習(xí))一塊邊長為的正三角形薄鐵片，按如圖所示設(shè)計方案，裁剪下三個全等的四邊形(每個四邊形中有且只有一組對角為直角)，然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器(1)請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積表示

14、為關(guān)于的函數(shù)，并標(biāo)明其定義域；(2)若加工人員為了充分利用邊角料，考慮在加工過程中，使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”請指出此時的值(不用說明理由)，并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側(cè)面積【答案】(1)；(2)，【解析】(1)結(jié)合平面圖形數(shù)據(jù)及三棱柱直觀圖，求得三棱柱的高，其底面積，則三棱柱容器的容積，即所求函數(shù)關(guān)系式為；(2)此時，而相應(yīng)棱柱的高，故側(cè)面積為【一隅三反】1(2021安徽鏡湖高一期中)如圖所示，在邊長為的正方形中，以為圓心畫一個扇形，以為圓心畫一個圓，為切點，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓為圓錐的底面，圍成一個圓錐，求該圓錐的表面積與體積.【答案】表面積

15、，體積為.【解析】設(shè)圓的半徑為，扇形的半徑為，由題意，得，解得.所以圍成的圓錐的母線長為，底面半徑為，高為圓錐的表面積；圓錐的體積為.2(2021全國高一課時練習(xí))有一塔形幾何體由3個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2，求該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積).【答案】36【解析】易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，1.考慮該幾何體在水平面的投影，可知其水平投影面積等于下底面最大正方體的底面面積.S表2S下S側(cè)222422()21236，該幾何體的表面積為36.3(2021全國高一課時練習(xí))養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12 m，高為4 m.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4 m(高不變);二是高度增加4 m(底面直徑不變).(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積;(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積;(3)哪個方案更經(jīng)濟些?【答案】(1)(m3)，96(m3)；(2)32(m2)，60(m2)；(3)方案二比方案一更加經(jīng)濟.【解析】(1)若按方案一，倉