運(yùn)用非慣性系的觀點(diǎn)求解復(fù)雜的動力學(xué)競賽題例析

1、運(yùn)用非慣性系的觀點(diǎn)求解復(fù)雜的動力學(xué)競賽題例析摘要：牛頓運(yùn)動定律只在慣性系中成立。但有時需要考察質(zhì)點(diǎn)相對非慣性系的運(yùn)動，如何處理這種問題呢？當(dāng)然可以先在慣性系中用牛頓運(yùn)動定律考察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，然后用相對運(yùn)動的公式把它變換到非慣性系中，求得質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中的運(yùn)動。但這樣做有時很麻煩，其實(shí)只要引進(jìn)適當(dāng)?shù)奶摂M力即慣性力，就可以在非慣性系中用牛頓運(yùn)動定律求解質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。關(guān)鍵詞：慣性系非慣性系慣性力速度合成公式 加速度合成公式一、非慣性系與慣性力牛頓運(yùn)動定律成立的參照系叫做慣性系。實(shí)驗(yàn)表明：地球上的物體相對于地球的運(yùn)動并不完全遵守牛頓運(yùn)動定律，所以地球不是慣性系，不過這種偏差一般是比較微小的。因此，我們常常

2、把地球看做近似程度相當(dāng)好的慣性系。一般情況下，相對地面靜止或做勻速運(yùn)動的參照系都可作為慣性系。牛頓運(yùn)動定律不成立的參照系叫做非慣性系，非慣性系相對慣性系必然做加速運(yùn)動或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。為了使牛頓運(yùn)動定律在非慣性系中也能使用，可以人為地引進(jìn)一個虛擬的慣性力。如果非慣性系相對慣性系有平動加速度，那么只要認(rèn)為非慣性系中的所有物體都受到一個大小為、方向與的方向相反的慣性力，牛頓運(yùn)動定律即可照用，證明如下：設(shè)非慣性系相對慣性系有平動加速度（牽連加速度），質(zhì)點(diǎn)相對于系的加速度為（絕對加速度），質(zhì)點(diǎn)相對于系的加速度為（相對加速度），根據(jù)加速度合成公式，有（1）在慣性系中牛頓運(yùn)動定律成立，即（2）是作用在質(zhì)點(diǎn)上的合

3、外力，是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。在非慣性系中，為使牛頓運(yùn)動定律成立，引入虛擬的慣性力，使（3）聯(lián)立（1）（2）（3）知慣性力，證畢。二、競賽題例析例題1如圖1所示，質(zhì)量為的汽車在水平地面上向左做勻加速直線運(yùn)動，其重心離開前輪和后輪的水平距離分別為和（），重心離地面的高度為，假設(shè)車輪和地面之間不打滑，求：汽車以多大的加速度前進(jìn)時其前、后輪對地面的壓力相等？圖1解析：選汽車為參照系，汽車處于靜止?fàn)顟B(tài)，但由于其為非慣性系，為使牛頓運(yùn)動定律成立，必須引入慣性力，故在質(zhì)心上加一個向右的慣性力。假設(shè)汽車的前輪為從動輪，則前輪受到向后的靜摩擦力（阻礙汽車的運(yùn)動，是阻力），汽車的后輪為主動輪，后輪受到向前的靜摩擦力（是汽

4、車運(yùn)動的動力，也是我們常說的汽車的牽引力），對汽車受力分析如圖2所示。圖2豎直方向由平衡條件：（1）取后輪上與地接觸的那一點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，由力矩平衡條件得（2）聯(lián)立（1）（2）解得，當(dāng)，即時，汽車前、后輪對地面的壓力相等。顯然以上解答過程中由于恰當(dāng)引入慣性力，使該動力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題，從而使問題簡化。例題2如圖3所示，一質(zhì)量為的光滑斜面放在光滑的水平面上，斜面上放一質(zhì)量為的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）。求滑塊從斜面頂端由靜止開始下滑到斜面底端所需的時間。（已知斜面傾角為、高為）圖3圖4解析：對斜面受力分析可知斜面有水平向右的加速度 （1）選斜面為參照系（非慣性系）來研究滑塊的運(yùn)動，為使牛頓運(yùn)動定律成立，必

5、須引入慣性力，故可認(rèn)為滑塊受三個力：重力、對的彈力和水平向左的慣性力 （2）在斜面的參照系中，滑塊在垂直于斜面的方向上是平衡的，由平衡條件得（和是一對作用力與反作用力）（3）聯(lián)立（1）（2）（3）解得 （4）在斜面的參照系中，滑塊在沿斜面的方向上做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律得 （5）聯(lián)立（1）（2）（4）（5）解得 （6）由運(yùn)動學(xué)公式有 （7）聯(lián)立（6）（7）解得顯然在解決這道題的過程中，慣性力的引入帶來了很大的方便。例題3如圖5所示，長為的輕繩，兩端各系一個質(zhì)量為的小球，中央系一個質(zhì)量為的小球，三球均靜止于光滑的水平面上，繩處于拉直狀態(tài)，三球在一直線上。今給小球一瞬時沖量使之獲得水平初速

6、度，的方向與繩垂直。求在兩端的小球發(fā)生碰撞前且繩與原方向成角時繩中的張力。圖5圖6 圖7解析：如圖6所示，選為參照系（非慣性系），相對于做圓周運(yùn)動，根據(jù)速度合成公式有，其中與繩垂直。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，繩的初始方向?yàn)榉较蚪⑷鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系，則左端的， （）方向由動量守恒定律：（）由機(jī)械能守恒定律： （）聯(lián)立（）（）（）解得（）對受力分析可求得，方向沿軸的負(fù)方向。研究相對的運(yùn)動，為使牛頓運(yùn)動定律成立，必須引入慣性力（），方向沿軸的正方向。相對的徑向運(yùn)動方程：（）聯(lián)立（4）（5）（6）解得以上解答過程的思路是先運(yùn)用速度合成公式、動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律正確求解相對速度，然后在非慣性系中恰當(dāng)

7、引入慣性力，從而使問題迎刃而解，筆者不妨再舉一例。例題4如圖8所示，一質(zhì)量為的小珠套在光滑的水平金屬絲上，另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)通過無質(zhì)量的不可伸長的長度為的繩子連在小珠上。握住小珠與質(zhì)點(diǎn)，使繩子沿金屬絲拉直，然后突然由靜止釋放，求此后繩子的張力與繩子和水平金屬絲間的夾角的關(guān)系。圖8圖9圖10解析：如圖9所示，選為參照系（非慣性系），相對于做圓周運(yùn)動，根據(jù)速度合成公式有，其中與繩垂直。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，繩的初始方向?yàn)榉较蚪⑷鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系，則的,（1）方向由動量守恒定律： （2）由機(jī)械能守恒定律： （3）聯(lián)立（1）（2）（3）解得 （4）對受力分析可求得,方向沿軸的正方向。研究相對的運(yùn)動，為使牛頓運(yùn)動定律成立，必須引入慣性力（），方向沿軸的負(fù)方向。相對的徑向運(yùn)動方程：（6）聯(lián)立（）（）（）解得通過以上四道例題解答可知，運(yùn)用非慣性系的觀點(diǎn)能使復(fù)雜的動力學(xué)問題簡單化，從而可以比較圓滿地解決一些問題，但是特別注意，在非慣性系中引入的慣性力與真實(shí)力不同，慣性力不是物體與物體間的相互作用，它沒有施力物體，因而也沒有反作用力，慣性力是為了解決問題的方便而人為地引